Clase 12 RD Sharma Solutions – Capítulo 13 Derivado como medidor de tasa – Ejercicio 13.2

Pregunta 17. La parte superior de una escalera de 6 metros de largo está apoyada contra una pared vertical sobre un pavimento nivelado, cuando la escalera comienza a deslizarse hacia afuera. En el momento en que el pie de la escalera está a 4 metros de la pared, se desliza alejándose de la pared a razón de 0,5 m/seg. ¿Qué tan rápido se desliza hacia abajo la parte superior en este caso? ¿A qué distancia está el pie de la pared cuando éste y la parte superior se mueven a la misma velocidad?

Solución:

Sea el pie de la escalera a una distancia de x metro de la base de la pared y su parte superior a una distancia de y metro sobre el suelo.

Usando el Teorema de Pitágoras podemos obtener, x ² + y ² = 36

⇒ 2x $\frac{\mathrm{d} x }{\mathrm{d} t}$ = -2y $\frac{\mathrm{d} y }{\mathrm{d} t}$ ……………………..(ecuación 1)

cuando x = 4, y = 2√5

⇒ 2x4x0.5 = -2×2√5 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}$

⇒ $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}$ = -1/√5 m/s

Ahora usando la ecuación 1, podemos escribir

⇒ 2x $\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}$ = -2y $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}$

⇒ x = -y

Poniendo x = -y en x ² + y ² = 36, obtenemos

⇒ 2x ² = 36 ⇒ x = 3 √2 metro

Pregunta 18. Se está inflando un globo en forma de cono circular recto coronado por un hemisferio, que tiene un diámetro igual a la altura del cono. ¿Qué tan rápido cambia su volumen con respecto a su altura total h, cuando h = 9 cm.

Solución:

Sea r el radio del hemisferio y el cono tiene altura h y el volumen del arreglo compuesto sea V, entonces de acuerdo con la figura,

⇒ H = h+ r

⇒ H = 3r [Ya que, h = 2r]

⇒ $\frac{\mathrm{d} H}{\mathrm{d} t}$ = 3 $\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t}$ ———————(ecuación 1)

Ahora, el volumen del arreglo compuesto es:

V = $\frac{1}{3} \pi r^2 h+ \frac{2}{3} \pi r^3$

⇒ V = $\frac{2}{3} \pi r^3+ \frac{2}{3} \pi r^3$ [h = 2r]

⇒V = $\frac{4}{3} \pi r^3$

⇒ $\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} t}$ = $4 \pi r^2\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t}$

⇒\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} t} = \frac{4}{3} \pi r^2 \frac{\mathrm{d} H}{\mathrm{d} t } [usando la ecuación 1]

⇒ $\frac{dV}{dH}$ = $\frac{4}{3}\pi (3)^2$

⇒ $\frac{dV}{dH}$ = 12 $\pi$ cm ³ /seg

Pregunta 19. El agua corre hacia un cono invertido a razón de π metros cúbicos por minuto. La altura del cono es de 10 metros y el radio de su base es de 5 m. ¿Qué tan rápido sube el nivel del agua cuando el agua se encuentra a 7,5 m por debajo de la base?

Solución:

Sea r el radio, h la altura y V el volumen del cono en cualquier momento t.

V = πr ² h/3

$\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} t}$ = $\frac{1}{3} \pi r^2\frac{\mathrm{d} h}{\mathrm{d} t} + \frac{2}{3}\pi rh\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t}$

De la imagen podemos concluir,

h = 2r y $\frac{\mathrm{d} h}{\mathrm{d} t} = 2 \frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t}$

⇒ $\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} t}$ = $\frac{1}{3}\pi(\frac{h}{2})^2h\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t}$ + $\frac{2}{3}\pi(\frac{h}{2})h\frac{1}{2}\frac{\mathrm{d} h}{\mathrm{d} t}$

⇒ $\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} t}$ = $\frac{\pi h^2}{6}\left [ \frac{1}{2}\frac{\mathrm{d} h}{\mathrm{d} t} + \frac{\mathrm{d} h}{\mathrm{d} t} \right ]$

⇒ $\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} t}$ = $\frac{\pi h^2}{6} \times \left [ \frac{3}{2}\frac{\mathrm{d} h}{\mathrm{d} t} \right ]$

⇒ $\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} t}$ = $\frac{\pi h^2}{4}.\frac{\mathrm{d} h}{\mathrm{d} t}$

⇒ $\frac{\pi h^2}{4}.\frac{\mathrm{d} h}{\mathrm{d} t}$ = $\pi$

⇒ $\frac{\mathrm{d} h}{\mathrm{d} t} = \frac{4}{h^2}$

⇒ $\frac{\mathrm{d} h}{\mathrm{d} t} = \frac{4}{(2.5)^2}$

⇒ $\frac{\mathrm{d} h}{\mathrm{d} t}$ = 0,64 m/min

Pregunta 20. Un hombre de 2 metros de altura camina a una velocidad uniforme de 6 km/h alejándose de un poste de luz de 6 metros de altura. ¿Encuentre la tasa a la que aumenta la longitud de su sombra?

Solución:

Dado que, $\triangle$ MNO ∼ $\triangle$ XYO,

$\frac{MN}{XY}$ = $\frac{NO}{YO}$

⇒ $\frac{6}{2}$ = $\frac{m+n}{m}$

⇒ m/n = 2

⇒ metro = 2n

⇒ $\frac{\mathrm{d} m}{\mathrm{d} t} = 2 \frac{\mathrm{d} n}{\mathrm{d} t}$

⇒6 = 2 $\frac{\mathrm{d} n}{\mathrm{d} t}$

⇒ $\frac{\mathrm{d} n}{\mathrm{d} t}$ = 3 km/h

Pregunta 21. El área de la superficie de una burbuja esférica aumenta a razón de 2 cm ² /s. Cuando el radio de la burbuja es de 6 cm, ¿a qué velocidad aumenta el volumen de la burbuja?

Solución:

Sean r, S, V el radio, el área superficial y el volumen de la burbuja esférica, respectivamente.

El área superficial está aumentando, por lo tanto $\frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{d} t}$ = 2 cm ² /s

Dado que el área de superficie de una burbuja esférica está dada por S = 4πr ²

⇒ $\frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{d} t}$ = 8πr $\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t}$

⇒ 2 = 8πx6 $\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t}$

⇒ $\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t}$ = $\frac{1}{24\pi}$ cm/s

Sabemos, V = $\frac{4}{3}\pi r^3$

⇒ $\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} t}$ = 4πr ² $\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t}$

⇒ $\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} t}$ = 4π x 36 x $\frac{1}{24 \pi}$

⇒ $\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} t}$ = 6 cm ³ /seg

Pregunta 22. El radio de un cilindro aumenta a razón de 2 cm/seg. y su altura está disminuyendo a razón de 3 cm/seg. Encuentre la tasa de cambio de volumen cuando el radio es de 3 cm y la altura de 5 cm.

Solución:

Sea r el radio y h la altitud y V el volumen del cilindro, entonces según lo dado

$\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t}$ = 2 cm/seg y $\frac{\mathrm{d} h}{\mathrm{d} t}$ = -3 cm/seg

El volumen del cilindro viene dado por:

V = πr ² horas

⇒ $\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} t}$ = 2πrh $\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t}$ + πr ² $\frac{\mathrm{d} h}{\mathrm{d} t}$

⇒ $\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} t}$ = πr $\left (2h\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t}+r \frac{\mathrm{d} h}{\mathrm{d} t} \right )$

⇒ $\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} t}$ = π x 3 (2 x 5 x 2 + 2 x (-3) )

⇒ $\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} t}$ = 33π cm ³ /seg

Pregunta 23. El volumen de metal en una esfera hueca es constante. Si el radio interior aumenta a razón de 1 cm/s, encuentre la tasa de aumento del radio exterior cuando los radios son 4 cm y 8 cm respectivamente.

Solución:

Sea el radio exterior representado por R y el radio interior por r. Ahora, el volumen de la esfera hueca está dado por

V = $\frac{4}{3}\pi [R^3 - r^3]$

⇒ $\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} t}$ = 4π $\left [ R^2 \frac{\mathrm{d} R}{\mathrm{d} t} - r^2 \frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t} \right ]$

Como el volumen es constante, $\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} t}$ = 0

⇒ $R^2 \frac{\mathrm{d} R}{\mathrm{d} t} = r^2 \frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t}$

⇒ 64 $\frac{\mathrm{d} R}{\mathrm{d} t}$ = 16×1

⇒ $\frac{\mathrm{d} R}{\mathrm{d} t}$ = $\frac{1}{4}$ cm/s

Pregunta 24. Se vierte arena sobre una pila cónica a razón constante de 50 cm ³ /minuto, de manera que la altura del cono es siempre la mitad del radio de su base. ¿Qué tan rápido aumenta la altura de la pila cuando la arena tiene 5 cm de profundidad?

Solución:

Sea r el radio, h la altura y V el volumen del pilote cónico. Ahora, el volumen de la pila cónica se da como:

V = $\frac{1}{3}\pi r^2h$

⇒ V = $\frac{1}{3}\pi (2h)^2 h$ [Ya que, h = r/2]

⇒ $\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} t}$ = $\frac{4}{3}\pi h^3$

⇒ $\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} t}$ = 4πh ² $\frac{\mathrm{d} h}{\mathrm{d} t}$

⇒ 50 = 4πh ² $\frac{\mathrm{d} h}{\mathrm{d} t}$

⇒ $\frac{\mathrm{d} h}{\mathrm{d} t}$ = $\frac{50}{100\pi}$

⇒ $\frac{\mathrm{d} h}{\mathrm{d} t}$ = $\frac{1}{2\pi}$ cm/min

Pregunta 25. Una cometa tiene 120 m de altura y 130 m de cuerda están fuera. Si la cometa se aleja horizontalmente a una velocidad de 52 m/s, encuentre la velocidad a la que se desenrolla la cuerda.

Solución:

De la figura anterior, podemos inferir usando el Teorema de Pitágoras

MN ² + NO ² = MO ²

⇒ x2 ⁺ (120) = ^y2

⇒ 2 $\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}$ = 2 años $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}$

⇒ $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}$ = $\frac{x}{y}\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}$

Ahora, x = $\sqrt{(130)^2 - (120)^2}$ = 50

⇒ $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}$ = $\frac{50}{130}$ × 52

⇒ $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}$ = 20 m/s

Pregunta 26. Una partícula se mueve a lo largo de la curva y = (2/3)x ³ + 1. Encuentra los puntos en la curva en los que la coordenada y cambia el doble de rápido que la coordenada x.

Solución:

Dado y = $\frac{2}{3}$ x ³ + 1

⇒ $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}$ = ^2×2 $\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}$

También se da que la coordenada y está cambiando el doble de rápido que la coordenada x, por lo tanto $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} = 2\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}$

⇒ $2\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}$ = $2x^2\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}$

Resolviendo la ecuación anterior, obtenemos x = ±1

Sustituyendo el valor de x en la ecuación anterior y = 5/3 y y = 1/3

Entonces las coordenadas del punto son $\left ( 1,\frac{5}{3} \right )$ y $\left ( -1,\frac{1}{3} \right )$

Pregunta 27. ¿ Encuentra el punto en la curva y ² = 8x para el cual la abscisa y la ordenada cambian al mismo ritmo?

Solución:

Dado, y ² = 8x

⇒ 2 años $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}$ = 8 $\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}$

Ahora, dado que la abscisa y la ordenada cambian a la misma velocidad, por lo tanto $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} = \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}$

⇒ 2 años = 8

⇒ y = 4

Por lo tanto, sustituyendo el valor de y en la ecuación original. obtenemos

16 = 8x ⇒ x = 2

Por lo tanto, la coordenada del punto es (2,4)

Pregunta 28. El volumen de un cubo aumenta a razón de 9 cm ³ /seg. ¿Qué tan rápido aumenta el área de la superficie cuando la longitud de un borde es de 10 cm?

Solución:

Denotemos la arista del cubo con a y su volumen con V.

Sabemos, Volumen del cubo, V = a ³

⇒ $\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} t}$ = 3a ² $\frac{\mathrm{d} a}{\mathrm{d} t}$

⇒ 9 = 3 × (10) ² $\frac{\mathrm{d} a}{\mathrm{d} t}$

⇒ $\frac{\mathrm{d} a}{\mathrm{d} t}$ = 0,03 cm/s

Ahora, dejemos que el área de la superficie del cubo esté dada por A = 6a ²

⇒ $\frac{\mathrm{d} A}{\mathrm{d} t}$ = 12a $\frac{\mathrm{d} a}{\mathrm{d} t}$

⇒ $\frac{\mathrm{d} A}{\mathrm{d} t}$ = 12x10x0,03

⇒ $\frac{\mathrm{d} A}{\mathrm{d} t}$ = 3,6 cm ² /seg

Pregunta 29. El volumen de un globo esférico aumenta a razón de 25 cm ³ /seg. ¿Encuentra la tasa de cambio de su área superficial en el instante en que el radio es de 5 cm?

Solución:

Sea r el radio, V el volumen y S el área superficial del globo esférico.

Sabemos, V = $\frac{4}{3}$ πr ³

⇒ $\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} t}$ = 4πr ² $\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t}$

⇒ 25 = 4π (5) ² $\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t}$

⇒ $\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t}$ = $\frac{1}{4\pi}$ cm/s

Además, área de superficie, A = 4πr ²

⇒ $\frac{\mathrm{d} A}{\mathrm{d} t}$ = 8πr $\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t}$

⇒ $\frac{\mathrm{d} A}{\mathrm{d} t}$ = 8π x 5 x $\frac{1}{4\pi}$

⇒ $\frac{\mathrm{d} A}{\mathrm{d} t}$ = 10 cm ² /seg

Pregunta 30. (i) La longitud x de un rectángulo disminuye a razón de 5 cm/minuto y el ancho y aumenta a razón de 4 cm/minuto. Cuando x = 8 cm y y = 6 cm, ¿cuáles son las tasas de cambio del perímetro?

(ii) La longitud x de un rectángulo disminuye a razón de 5 cm/minuto y el ancho y aumenta a razón de 4 cm/minuto. Cuando x = 8 cm y y = 6 cm, encuentre las tasas de cambio del área del rectángulo.

Solución:

Nos dan, $\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}$ = -5cm/min y $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}$ = 4cm/min

(i) Sabemos, perímetro de un rectángulo P = 2(x + y)

⇒ $\frac{\mathrm{d} P}{\mathrm{d} t}$ = 2 ( $\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}$ + $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}$ )

⇒ $\frac{\mathrm{d} P}{\mathrm{d} t}$ = 2 (-5 + 4)

⇒ $\frac{\mathrm{d} P}{\mathrm{d} t}$ = -2cm/min

(ii) Además, Área del rectángulo A = xy

⇒ $\frac{\mathrm{d} A}{\mathrm{d} t}$ = x $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}$ + y $\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}$

⇒ $\frac{\mathrm{d} A}{\mathrm{d} t}$ = 8×4 + 6x (-5)

⇒ $\frac{\mathrm{d} A}{\mathrm{d} t}$ = 2 cm ² /min

Pregunta 31. Se está calentando un disco circular de 3 cm de radio. Debido a la expansión, su radio aumenta a razón de 0,05 cm/seg. Encuentre la tasa a la que su área aumenta cuando el radio es de 3,2 cm.

Solución:

Sea r el radio y A el área del disco circular respectivamente.

Entonces A = πr ²

⇒ $\frac{\mathrm{d} A}{\mathrm{d} t}$ = 2πr $\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t}$

⇒ $\frac{\mathrm{d} A}{\mathrm{d} t}$ = 2π x 3,2 x 0,05

⇒ $\frac{\mathrm{d} A}{\mathrm{d} t}$ = 0,32π cm ² /seg

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por saurabh48782 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Clase 12 RD Sharma Solutions – Capítulo 13 Derivado como medidor de tasa – Ejercicio 13.2 | conjunto 2

Pregunta 18. Se está inflando un globo en forma de cono circular recto coronado por un hemisferio, que tiene un diámetro igual a la altura del cono. ¿Qué tan rápido cambia su volumen con respecto a su altura total h, cuando h = 9 cm.

Pregunta 19. El agua corre hacia un cono invertido a razón de π metros cúbicos por minuto. La altura del cono es de 10 metros y el radio de su base es de 5 m. ¿Qué tan rápido sube el nivel del agua cuando el agua se encuentra a 7,5 m por debajo de la base?

Pregunta 20. Un hombre de 2 metros de altura camina a una velocidad uniforme de 6 km/h alejándose de un poste de luz de 6 metros de altura. ¿Encuentre la tasa a la que aumenta la longitud de su sombra?

Pregunta 21. El área de la superficie de una burbuja esférica aumenta a razón de 2 cm ² /s. Cuando el radio de la burbuja es de 6 cm, ¿a qué velocidad aumenta el volumen de la burbuja?

Pregunta 22. El radio de un cilindro aumenta a razón de 2 cm/seg. y su altura está disminuyendo a razón de 3 cm/seg. Encuentre la tasa de cambio de volumen cuando el radio es de 3 cm y la altura de 5 cm.

Pregunta 23. El volumen de metal en una esfera hueca es constante. Si el radio interior aumenta a razón de 1 cm/s, encuentre la tasa de aumento del radio exterior cuando los radios son 4 cm y 8 cm respectivamente.

Pregunta 24. Se vierte arena sobre una pila cónica a razón constante de 50 cm ³ /minuto, de manera que la altura del cono es siempre la mitad del radio de su base. ¿Qué tan rápido aumenta la altura de la pila cuando la arena tiene 5 cm de profundidad?

Pregunta 25. Una cometa tiene 120 m de altura y 130 m de cuerda están fuera. Si la cometa se aleja horizontalmente a una velocidad de 52 m/s, encuentre la velocidad a la que se desenrolla la cuerda.

Pregunta 26. Una partícula se mueve a lo largo de la curva y = (2/3)x ³ + 1. Encuentra los puntos en la curva en los que la coordenada y cambia el doble de rápido que la coordenada x.

Pregunta 27. ¿ Encuentra el punto en la curva y ² = 8x para el cual la abscisa y la ordenada cambian al mismo ritmo?

Pregunta 28. El volumen de un cubo aumenta a razón de 9 cm ³ /seg. ¿Qué tan rápido aumenta el área de la superficie cuando la longitud de un borde es de 10 cm?

Pregunta 29. El volumen de un globo esférico aumenta a razón de 25 cm ³ /seg. ¿Encuentra la tasa de cambio de su área superficial en el instante en que el radio es de 5 cm?

Pregunta 30. (i) La longitud x de un rectángulo disminuye a razón de 5 cm/minuto y el ancho y aumenta a razón de 4 cm/minuto. Cuando x = 8 cm y y = 6 cm, ¿cuáles son las tasas de cambio del perímetro?

(ii) La longitud x de un rectángulo disminuye a razón de 5 cm/minuto y el ancho y aumenta a razón de 4 cm/minuto. Cuando x = 8 cm y y = 6 cm, encuentre las tasas de cambio del área del rectángulo.

Pregunta 31. Se está calentando un disco circular de 3 cm de radio. Debido a la expansión, su radio aumenta a razón de 0,05 cm/seg. Encuentre la tasa a la que su área aumenta cuando el radio es de 3,2 cm.

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Pregunta 18. Se está inflando un globo en forma de cono circular recto coronado por un hemisferio, que tiene un diámetro igual a la altura del cono. ¿Qué tan rápido cambia su volumen con respecto a su altura total h, cuando h = 9 cm.

Pregunta 19. El agua corre hacia un cono invertido a razón de π metros cúbicos por minuto. La altura del cono es de 10 metros y el radio de su base es de 5 m. ¿Qué tan rápido sube el nivel del agua cuando el agua se encuentra a 7,5 m por debajo de la base?

Pregunta 20. Un hombre de 2 metros de altura camina a una velocidad uniforme de 6 km/h alejándose de un poste de luz de 6 metros de altura. ¿Encuentre la tasa a la que aumenta la longitud de su sombra?

Pregunta 21. El área de la superficie de una burbuja esférica aumenta a razón de 2 cm 2 /s. Cuando el radio de la burbuja es de 6 cm, ¿a qué velocidad aumenta el volumen de la burbuja?

Pregunta 22. El radio de un cilindro aumenta a razón de 2 cm/seg. y su altura está disminuyendo a razón de 3 cm/seg. Encuentre la tasa de cambio de volumen cuando el radio es de 3 cm y la altura de 5 cm.

Pregunta 23. El volumen de metal en una esfera hueca es constante. Si el radio interior aumenta a razón de 1 cm/s, encuentre la tasa de aumento del radio exterior cuando los radios son 4 cm y 8 cm respectivamente.

Pregunta 24. Se vierte arena sobre una pila cónica a razón constante de 50 cm 3 /minuto, de manera que la altura del cono es siempre la mitad del radio de su base. ¿Qué tan rápido aumenta la altura de la pila cuando la arena tiene 5 cm de profundidad?

Pregunta 25. Una cometa tiene 120 m de altura y 130 m de cuerda están fuera. Si la cometa se aleja horizontalmente a una velocidad de 52 m/s, encuentre la velocidad a la que se desenrolla la cuerda.

Pregunta 26. Una partícula se mueve a lo largo de la curva y = (2/3)x 3 + 1. Encuentra los puntos en la curva en los que la coordenada y cambia el doble de rápido que la coordenada x.

Pregunta 27. ¿ Encuentra el punto en la curva y 2 = 8x para el cual la abscisa y la ordenada cambian al mismo ritmo?

Pregunta 28. El volumen de un cubo aumenta a razón de 9 cm 3 /seg. ¿Qué tan rápido aumenta el área de la superficie cuando la longitud de un borde es de 10 cm?

Pregunta 29. El volumen de un globo esférico aumenta a razón de 25 cm 3 /seg. ¿Encuentra la tasa de cambio de su área superficial en el instante en que el radio es de 5 cm?

Pregunta 30. (i) La longitud x de un rectángulo disminuye a razón de 5 cm/minuto y el ancho y aumenta a razón de 4 cm/minuto. Cuando x = 8 cm y y = 6 cm, ¿cuáles son las tasas de cambio del perímetro?

(ii) La longitud x de un rectángulo disminuye a razón de 5 cm/minuto y el ancho y aumenta a razón de 4 cm/minuto. Cuando x = 8 cm y y = 6 cm, encuentre las tasas de cambio del área del rectángulo.

Pregunta 31. Se está calentando un disco circular de 3 cm de radio. Debido a la expansión, su radio aumenta a razón de 0,05 cm/seg. Encuentre la tasa a la que su área aumenta cuando el radio es de 3,2 cm.

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Pregunta 21. El área de la superficie de una burbuja esférica aumenta a razón de 2 cm ² /s. Cuando el radio de la burbuja es de 6 cm, ¿a qué velocidad aumenta el volumen de la burbuja?

Pregunta 24. Se vierte arena sobre una pila cónica a razón constante de 50 cm ³ /minuto, de manera que la altura del cono es siempre la mitad del radio de su base. ¿Qué tan rápido aumenta la altura de la pila cuando la arena tiene 5 cm de profundidad?

Pregunta 26. Una partícula se mueve a lo largo de la curva y = (2/3)x ³ + 1. Encuentra los puntos en la curva en los que la coordenada y cambia el doble de rápido que la coordenada x.

Pregunta 27. ¿ Encuentra el punto en la curva y ² = 8x para el cual la abscisa y la ordenada cambian al mismo ritmo?

Pregunta 28. El volumen de un cubo aumenta a razón de 9 cm ³ /seg. ¿Qué tan rápido aumenta el área de la superficie cuando la longitud de un borde es de 10 cm?

Pregunta 29. El volumen de un globo esférico aumenta a razón de 25 cm ³ /seg. ¿Encuentra la tasa de cambio de su área superficial en el instante en que el radio es de 5 cm?