Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 24 Producto escalar o escalar – Ejercicio 24.1

Pregunta 17. Si $\vec{α}=3\sombrero{i}+4\sombrero{j}+5\sombrero{k}$ y $\vec{β}=2\hat{i}+\hat{j}-4\hat{k}$ , entonces exprese $\vec{β}$ en la forma $\vec{β}=\vec{β_1}+\vec{β_2}$ donde $\vec{β_1}$ es paralelo a $\vec{α}$ y $\vec{β_2}$ es perpendicular a $\vec{α}$ .

Solución:

Dado, $\vec{α}=3\hat{i}+4\hat{j}+5\hat{k}$

$\vec{β}=2\hat{i}+\hat{j}-4\hat{k}$

segun pregunta

$\vec{β_1} = λ\vec{α}$ también $\vec{β_2}.\vec{α}$ = 0

Ahora,

$\vec{β_1} = λ(3\hat{i}+4\hat{j}+5\hat{k})$

⇒ $\vec{β_1} = 3λ\hat{i}+4λ\hat{j}+5λ\hat{k}$

$\vec{β_2}=\vec{β}-\vec{β_1}$

⇒ $\vec{β_2}=2\hat{i}+\hat{j}-4\hat{k}-(3λ\hat{i}+4λ\hat{j}+5λ\hat{k})$

⇒ $\vec{β_2}=(2-3λ)\hat{i}+(1-4λ)\hat{j}-(4+5λ)\hat{k}$

Ahora,

$\vec{β_2}.\vec{α}=0$

⇒ $[(2-3λ)\hat{i}+(1-4λ)\hat{j}-(4+5λ)\hat{k}](3\hat{i}+4\hat{j}+5\hat{k})=0$

⇒ 3(2-3λ)+4(1-4λ)-5(4+5λ) = 0

⇒ 6-9λ+4-16λ-20-25λ = 0

⇒ -10 -50λ = 0

⇒ λ = -1/5

$\vec{β_1} = -3/5\hat{i}-4/5\hat{j}-1\hat{k}$

$\vec{β_2} = 13/5\hat{i}+9/5\hat{j}-3\hat{k}$

Pregunta 18. Si $\vec{a}=\vec{0}$ o bien $\vec{b}=\vec{0}$ , entonces $\vec{a}.\vec{b}=0$ . Pero, lo contrario no tiene por qué ser cierto. Justifica tu respuesta con un ejemplo.

Solución:

Dado,

$\vec{a}=\vec{0}$ o $\vec{b}=\vec{0}$ entonces $\vec{a}.\vec{b}=0$

Suponer $\vec{a}=2\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$

$\vec{b}=\hat{i}-\hat{j}-\hat{k}$

$\vec{a}.\vec{b}=0$

Pero,

$|\vec{a}|$ = √(2) ² +(1) ² +(1) ²

= √4+1+1

= √6 ≠ 0

$|\vec{b}|$ = √(1) ² +(1) ² +(1) ²

= √3 ≠ 0

Por lo tanto probado

Pregunta 19. Demuestra que los vectores $\vec{a}=3\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}, \vec{b}=\hat{i}-3\hat{j}+5\hat{k},\vec{c}=2\hat{i}+\hat{j}-4\hat{k}$ forman un triángulo rectángulo.

Solución:

Dado, $\vec{a}=3\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}$

$\vec{b}=\hat{i}-3\hat{j}+5\hat{k}$

$\vec{c}=2\hat{i}+\hat{j}-4\hat{k}$

Demostrar que los vectores dados forman un triángulo rectángulo

$|\vec{a}|$ = √(3 ² +(-2) ² +1 ² ) = √14

$|\vec{b}|$ = √(1 ² +(-3) ² +5 ² ) = √35

$|\vec{c}|$ = √(2 ² +1 ² +(-4) ² ) = √21

$|\vec{a}|^2+|\vec{c}|^2 = (\sqrt14)^2+(\sqrt21)^2$

= 14 + 21 = 35

Ya que, $|\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2+|\vec{c}|^2$ (Teorema de Pitágoras)

Por lo tanto, $\vec{a},\vec{b}$ y $\vec{c}$ forman un triángulo rectángulo.

Pregunta 20. Si $\vec{a}=2\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}$ , $\vec{b}=-\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}$ y $\vec{c}=3\hat{i}+\hat{j}$ son tales que $\vec{a}+λ\vec{b}$ son perpendiculares a $\vec{c}$ , entonces encuentra el valor de λ.

Solución:

Dado:

$\vec{a}=2\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}$

$\vec{b}=-\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}$

$\vec{c}=3\hat{i}+\hat{j}$

Ahora, $(\vec{a}+λ\vec{b}).\vec{c}=0$

⇒ $[2\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}+λ(-\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k})](3\hat{i}+\hat{j})=0$

⇒ $[(2-λ)\hat{i}+(2+2λ)\hat{j}+(3+λ)\hat{k}](3\hat{i}+\hat{j})=0$

⇒ (2 – λ)3 + (2 + 2λ) + 0 = 0

⇒ 6 – 3λ + 2 + 2λ =0

⇒ λ = 8

Pregunta 21. Encuentra los ángulos de un triángulo cuyos vértices son A (0, -1, -2), B (3, 1, 4) y C (5, 7, 1).

Solución:

Dado ese ángulo de un triángulo cuyos vértices son A (0, -1. -2), B (3, 1, 4) y C (5, 7, 1).

$\vec{AB}=(\vec{B}-\vec{A}) =3\hat{i}+2\hat{j}+6\hat{k}$

$\vec{BC}=(\vec{C}-\vec{B}) =2\hat{i}+6\hat{j}-3\hat{k}$

$\vec{AC}=(\vec{C}-\vec{A}) =5\hat{i}+8\hat{j}+3\hat{k}$

$|\vec{AB}|=\sqrt{3^2+2^2+6^2}=7$

$|\vec{BC}|=\sqrt{2^2+6^2+(-3)^2}=7$

$|\vec{AC}|=\sqrt{5^2+8^2+3^2}$

= √98 = 7√2

Ahora,

$\vec{AB}.\vec{BC}$ = (3 × 2 + 2 × 6 – 6 × 3) = 0

Por tanto, podemos decir que AB es perpendicular a BC.

Por lo tanto, AB = BC = 7, ∠A =∠C y ∠B = 90°

∠A + ∠B + ∠C = 180°

2∠A = 180° – 90°

∠A = 45°

∠C = 45°

∠B = 90°

Pregunta 22. Halla la magnitud de dos vectores $\vec{a}$ y $\vec{b}$ , que tienen la misma magnitud y tales que el ángulo entre ellos es de 60° y su producto escalar es 1/2.

Solución:

Sabemos $\vec{a}.\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|cos θ$

⇒ 1/ 2 = $|\vec{a}||\vec{a}|cos θ$

⇒ 1/2 = $|\vec{a}|^2$ (1/2)

⇒ $|\vec{a}| = 1$

o

⇒ $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1$

Pregunta 23. Demostrar que los puntos cuyo vector de posición son $\vec{a} =4\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k},\vec{b} =2\hat{i}-4\hat{j}+5\hat{k}, \vec{c} =\hat{i}-\hat{j}$ forman un triángulo rectángulo.

Solución:

Dado que los vectores de posiciones

$\vec{a} =4\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}$

$\vec{b} =2\hat{i}-4\hat{j}+5\hat{k}$

$\vec{c} =\hat{i}-\hat{j}$

Ahora,

$\vec{AB} = (\vec{b}-\vec{a})$

⇒ $\vec{AB} =-2\hat{i}-\hat{j}+4\hat{k}$

$\vec{BC} = (\vec{c}-\vec{b})$

⇒ $\vec{BC} =-\hat{i}+3\hat{j}-5\hat{k}$

$\vec{CA} = (\vec{a}-\vec{c})$

⇒ $\vec{CA} =3\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}$

Ahora, $\vec{AB}.\vec{BC} =(-2\hat{i}-\hat{j}+4\hat{k})(-\hat{i}+3\hat{j}-5\hat{k})$

= 2 – 3 – 20 = -21

$\vec{BC}.\vec{CA} =(-\hat{i}+3\hat{j}-5\hat{k})(3\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k})$

= -3 – 6 – 5 = -14

$\vec{AB}.\vec{CA} =(-2\hat{i}-\hat{j}+4\hat{k})(3\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k})$

= -6 + 2 + 4 = 0

Entonces, AB es perpendicular a CA o los vectores de posición dados forman un triángulo rectángulo.

Pregunta 24. Si los vértices A, B, C de △ABC tienen vectores de posición (1, 2, 3), (-1, 0, 0), (0, 1, 2) respectivamente, ¿cuál es la magnitud de ∠ABC ?

Solución:

Dados los vértices de △ABC son A(1, 2, 3), B(-1, 0, 0), C(0, 1, 2)

Ahora, $\vec{AB} = (-1-1)\hat{i}+(0-2)\hat{j}+(0-3)\hat{k}$

= $-2\hat{i}-2\hat{j}-3\hat{k}$

O, $\vec{BA}=2\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}$

$\vec{BC}=\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}$

Lo sabemos $\vec{BA}.\vec{BC} = |\vec{BA}||\vec{BC}|$

$\vec{BA}.\vec{BC} =$ (2 × 1) + (2 × 1) + (3 × 2)

= 2 + 2 + 6 = 10

Ahora, $|\vec{BA}|=\sqrt{4+4+9}$ = √17

$|\vec{BC}|=\sqrt{1+1+4}$ = √6

Por lo tanto,

cos θ = $= \frac{\vec{BA}.\vec{BC}}{|\vec{BA}||\vec{BC}|}$

porque θ = 10/ √(17×6)

θ = cos ^-1 (10/√102)

Pregunta 25. Si A, B, C tienen vectores de posición (0, 1, 1), (3, 1, 5), (0, 3, 3) respectivamente, muestra que △ABC es un ángulo recto en C.

Solución:

Dados los vectores de posición A(0, 1, 1), B(3, 1, 5), C(0, 3, 3)

Ahora, $\vec{AC} = (0-0)\hat{i}+(3-1)\hat{j}+(3-1)\hat{k}$

$=2\hat{j}+2\hat{k}$

$\vec{BC}=(0-3)\hat{i}+(3-1)\hat{j}+(3-5)\hat{k}$

= $-3\hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k}$

$\vec{AC}.\vec{BC}=(2\hat{j}+2\hat{k}).(-3\hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k})$

= 2 × 2 – 2 × 2 = 0

Por lo tanto, $\vec{AC}$ y $\vec{BC}$ son perpendiculares, por lo tanto, △ABC tiene un ángulo recto en C

Pregunta 26. Encuentra la proyección de $\vec{b}+\vec{c}$ sobre $\vec{a}$ , dónde $\vec{a}=2\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}, \vec{b}=\hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k}$ y $\vec{c}=2\hat{i}-\hat{j}+4\hat{k}$ .

Solución:

Dado:

$\vec{a}=2\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}$

$|\vec{a}|=\sqrt{4+4+1} = 3$

$\vec{b}=\hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k}$

$\vec{c}=2\hat{i}-\hat{j}+4\hat{k}$

Para encontrar la proyección de $\vec{b}+\vec{c}$ sobre $\vec{a}$

$\vec{b}+\vec{c} = 3\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}$

Ahora, Proyección de $\vec{b}+\vec{c}$ = $[\frac{(\vec{b}+\vec{c})\vec{a}}{|\vec{a}|^2}]\vec{a}$

= $[\frac{6-2+2}{3^2}](2\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k})$

= 6/9 × 3

= 2

Pregunta 27. Si $\vec{a}=5\hat{i}-\hat{j}-3\hat{k}$ y $\vec{b}=\hat{i}+3\hat{j}-5\hat{k}$ , entonces demuestre que los vectores $\vec{a}+\vec{b}$ y $\vec{a}-\vec{b}$ son ortogonales.

Solución:

Dado: $\vec{a}=5\hat{i}-\hat{j}-3\hat{k}$

$\vec{b}=\hat{i}+3\hat{j}-5\hat{k}$

Probar

$(\vec{a}+\vec{b})(\vec{a}-\vec{b})=0$

Tomando LHS

= $|\vec{a}|^2-|\vec{b}|^2$

= $\sqrt{5^2+1+3^2}-\sqrt{1+3^2+5^2}$

= √35 – √35

= 0

Así, los vectores dados $\vec{a}+\vec{b}$ y $\vec{a}-\vec{b}$ son ortogonales.

Pregunta 28. Un vector unitario $\vec{a}$ forma un ángulo π/2 y π/3 con $\hat{i}$ y $\hat{j}$ respectivamente y un ángulo agudo θ con $\hat{k}$ . Encuentre el ángulo θ y las componentes de $\vec{a}$ .

Solución:

Supongamos $\vec{a}=a_1i + a_2j+a_3k$

Lo sabemos

un ₁² + un ₂² + un ₃² = 1 ….(1)

Asi que,

$\vec{a}i=a_1$

$|\vec{a}||i|cos\frac{π}{4}=a_1$

(1)(1)(1/√2) = un ₁

un ₁ = 1/√2

Nuevamente tomamos

$\vec{a}j=a_2$

$|\vec{a}||j|cos\frac{π}{3}=a_2$

(1)(1)(1/2) = un ₂

un ₂ = 1/2

Ponga todos estos valores en la ecuación (1) para encontrar el valor de un ₃

(1/√2) ² + (1/2) ² + a ₃² = 1 ….(1)

un ₃² = 1/4

un ₃ = 1/2

Ahora encontramos el valor de θ

$\vec{a}k=a_3$

$|\vec{a}||k|cos\theta=a_3$

(1)(1)cosθ = 1/2

cosθ = 1/2

cosθ = π/3

y componentes de $\vec{a}$

$\vec{a}=\frac{1}{\sqrt{2}}i + \frac{1}{2}j+\frac{1}{2}k$

Pregunta 29. Si dos vectores $\vec{a}$ y $\vec{b}$ son tales que $|\vec{a}|$ = 2, $|\vec{b}|$ = 1 y $\vec{a}.\vec{b}$ =1. Encuentre el valor de $(3\vec{a}-5\vec{b}).(2\vec{a}+7\vec{b}).$

Solución:

Dado, $(3\vec{a}-5\vec{b}).(2\vec{a}+7\vec{b})$

= $6|\vec{a}|^2+21\vec{a}.\vec{b}-10\vec{a}.\vec{b}-35|\vec{b}|^2$

= $6|\vec{a}|^2+11\vec{a}.\vec{b}-35|\vec{b}|^2$

= 6(2) ² + 11(1) – 35(1) ²

= 24 + 11 – 35

= 35 – 35 = 0

Pregunta 30. Si $\vec{a}$ es un vector unitario, entonces encuentre $|\vec{x}|$ en cada uno de los siguientes:

(i) $(\vec{x}-\vec{a})(\vec{x}+\vec{a})=8$

Solución:

Dado, $(\vec{x}-\vec{a})(\vec{x}+\vec{a})=8$

⇒ $|\vec{x}|^2-\vec{x}.\vec{a}+\vec{a}\vec{x}+|\vec{a}|^2=8$

⇒ $|\vec{x}|^2-|\vec{a}|^2=8$

⇒ $|\vec{x}|^2-1=8$

⇒ $|\vec{x}|^2=9$

⇒ $|\vec{x}|=3$

(ii) $(\vec{x}-\vec{a})(\vec{x}+\vec{a})=12$

Solución:

Dado, $(\vec{x}-\vec{a})(\vec{x}+\vec{a})=12$

⇒ $|\vec{x}|^2-\vec{x}.\vec{a}+\vec{a}\vec{x}+|\vec{a}|^2=12$

⇒ $|\vec{x}|^2-|\vec{a}|^2=12$

⇒ $|\vec{x}|^2-1=12$

⇒ $|\vec{x}|^2=13$

⇒ $|\vec{x}|$ =√13

Pregunta 31. Encuentra $|\vec{a}|$ y $|\vec{b}|$ , si

(i) $(\vec{a}+\vec{b})(\vec{a}-\vec{b})$ = 12 y $|\vec{a}| = 2 |\vec{b}|$

Solución:

Dado, $(\vec{a}+\vec{b})(\vec{a}-\vec{b})$ = 12

⇒ $|\vec{a}|^2-\vec{a}.\vec{b}+\vec{a}\vec{b}-|\vec{b}|^2=12$

⇒ $|\vec{a}|^2-|\vec{b}|^2$ = 12

⇒ $4|\vec{b}|^2-|\vec{b}|^2$ = 12

⇒ $3|\vec{b}|^2$ = 12

⇒ $|\vec{b}|$ = 2

Asi que,

$|\vec{a}|$ = 4

(ii) $(\vec{a}+\vec{b})(\vec{a}-\vec{b})$ = 8 y $|\vec{a}|$ = 8 $|\vec{b}|$

Solución:

Dado, $(\vec{a}+\vec{b})(\vec{a}-\vec{b})$ = 8

⇒ $|\vec{a}|^2-\vec{a}.\vec{b}+\vec{a}\vec{b}-|\vec{b}|^2=8$

⇒ $|\vec{a}|^2-|\vec{b}|^2=8$

⇒ $64|\vec{b}|^2-|\vec{b}|^2=8$

⇒ $63|\vec{b}|^2=8$

⇒ $|\vec{b}|$ = √(8/63)

Asi que,

$|\vec{a}|$ = 8√(8/63)

(iii) $(\vec{a}+\vec{b})(\vec{a}-\vec{b})$ = 3 y $|\vec{a}|$ = 2 $|\vec{b}|$

Solución:

Dado, $(\vec{a}+\vec{b})(\vec{a}-\vec{b})= 3$

⇒ $|\vec{a}|^2-\vec{a}.\vec{b}+\vec{a}\vec{b}-|\vec{b}|^2=3$

⇒ $|\vec{a}|^2-|\vec{b}|^2 = 3$

⇒ $4|\vec{b}|^2-|\vec{b}|^2=3$

⇒ 3 $|\vec{b}|^2$ = 3

⇒ $|\vec{b}|$ = 1

Asi que,

$|\vec{a}|$ = 2

Pregunta 32. Halla $|\vec{a}-\vec{b}|$ , si

(yo) $|\vec{a}| = 2, |\vec{b}| = 5$ y $\vec{a}.\vec{b} = 8$

Solución:

Tenemos, $|\vec{a}-\vec{b}|$

⇒ $|\vec{a}-\vec{b}|^2 =|\vec{a}|^2-2\vec{a}.\vec{b}+|\vec{b}|^2$

⇒ $|\vec{a}-\vec{b}|^2$ = 2 ² – 2 × 8 + 5 ²

⇒ $|\vec{a}-\vec{b}|^2$ = 4 – 16 + 25

⇒ $|\vec{a}-\vec{b}|^2$ = 13

⇒ $|\vec{a}-\vec{b}|$ = √13

(ii) $|\vec{a}|$ = 3, $|\vec{b}|$ = 4 y $\vec{a}.\vec{b}$ = 1

Solución:

Tenemos, $|\vec{a}-\vec{b}|$

⇒ $|\vec{a}-\vec{b}|^2 =|\vec{a}|^2-2\vec{a}.\vec{b}+|\vec{b}|^2$

⇒ $|\vec{a}-\vec{b}|^2$ = 3 ² – 2 × 1 + 4 ²

⇒ $|\vec{a}-\vec{b}|^2$ = 9 – 2 + 16

⇒ $|\vec{a}-\vec{b}|^2$ = 23

⇒ $|\vec{a}-\vec{b}|$ = √23

(iii) $|\vec{a}|=2, |\vec{b}| = 3$ y $\vec{a}.\vec{b}$ = 4

Solución:

Tenemos, $|\vec{a}-\vec{b}|$

⇒ $|\vec{a}-\vec{b}|^2 =|\vec{a}|^2-2\vec{a}.\vec{b}+|\vec{b}|^2$

⇒ $|\vec{a}-\vec{b}|^2$ = 2 ² – 2 × 4 + 3 ²

⇒ $|\vec{a}-\vec{b}|^2$ = 4 – 8 + 9

⇒ $|\vec{a}-\vec{b}|^2$ = 5

⇒ $|\vec{a}-\vec{b}|$ = √5

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Artículo escrito por rahulsharma1771996 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 24 Producto escalar o escalar – Ejercicio 24.1 | conjunto 2

Pregunta 17. Si $\vec{α}=3\sombrero{i}+4\sombrero{j}+5\sombrero{k}$ y $\vec{β}=2\hat{i}+\hat{j}-4\hat{k}$ , entonces exprese $\vec{β}$ en la forma $\vec{β}=\vec{β_1}+\vec{β_2}$ donde $\vec{β_1}$ es paralelo a $\vec{α}$ y $\vec{β_2}$ es perpendicular a $\vec{α}$ .

Pregunta 18. Si $\vec{a}=\vec{0}$ o bien $\vec{b}=\vec{0}$ , entonces $\vec{a}.\vec{b}=0$ . Pero, lo contrario no tiene por qué ser cierto. Justifica tu respuesta con un ejemplo.

Pregunta 19. Demuestra que los vectores $\vec{a}=3\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}, \vec{b}=\hat{i}-3\hat{j}+5\hat{k},\vec{c}=2\hat{i}+\hat{j}-4\hat{k}$ forman un triángulo rectángulo.

Pregunta 20. Si $\vec{a}=2\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}$ , $\vec{b}=-\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}$ y $\vec{c}=3\hat{i}+\hat{j}$ son tales que $\vec{a}+λ\vec{b}$ son perpendiculares a $\vec{c}$ , entonces encuentra el valor de λ.

Pregunta 21. Encuentra los ángulos de un triángulo cuyos vértices son A (0, -1, -2), B (3, 1, 4) y C (5, 7, 1).

Pregunta 22. Halla la magnitud de dos vectores $\vec{a}$ y $\vec{b}$ , que tienen la misma magnitud y tales que el ángulo entre ellos es de 60° y su producto escalar es 1/2.

Pregunta 23. Demostrar que los puntos cuyo vector de posición son $\vec{a} =4\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k},\vec{b} =2\hat{i}-4\hat{j}+5\hat{k}, \vec{c} =\hat{i}-\hat{j}$ forman un triángulo rectángulo.

Pregunta 24. Si los vértices A, B, C de △ABC tienen vectores de posición (1, 2, 3), (-1, 0, 0), (0, 1, 2) respectivamente, ¿cuál es la magnitud de ∠ABC ?

Pregunta 25. Si A, B, C tienen vectores de posición (0, 1, 1), (3, 1, 5), (0, 3, 3) respectivamente, muestra que △ABC es un ángulo recto en C.

Pregunta 26. Encuentra la proyección de $\vec{b}+\vec{c}$ sobre $\vec{a}$ , dónde $\vec{a}=2\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}, \vec{b}=\hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k}$ y $\vec{c}=2\hat{i}-\hat{j}+4\hat{k}$ .

Pregunta 27. Si $\vec{a}=5\hat{i}-\hat{j}-3\hat{k}$ y $\vec{b}=\hat{i}+3\hat{j}-5\hat{k}$ , entonces demuestre que los vectores $\vec{a}+\vec{b}$ y $\vec{a}-\vec{b}$ son ortogonales.

Pregunta 28. Un vector unitario $\vec{a}$ forma un ángulo π/2 y π/3 con $\hat{i}$ y $\hat{j}$ respectivamente y un ángulo agudo θ con $\hat{k}$ . Encuentre el ángulo θ y las componentes de $\vec{a}$ .

Pregunta 29. Si dos vectores $\vec{a}$ y $\vec{b}$ son tales que $|\vec{a}|$ = 2, $|\vec{b}|$ = 1 y $\vec{a}.\vec{b}$ =1. Encuentre el valor de $(3\vec{a}-5\vec{b}).(2\vec{a}+7\vec{b}).$

Pregunta 30. Si $\vec{a}$ es un vector unitario, entonces encuentre $|\vec{x}|$ en cada uno de los siguientes:

(i) $(\vec{x}-\vec{a})(\vec{x}+\vec{a})=8$

(ii) $(\vec{x}-\vec{a})(\vec{x}+\vec{a})=12$

Pregunta 31. Encuentra $|\vec{a}|$ y $|\vec{b}|$ , si

(i) $(\vec{a}+\vec{b})(\vec{a}-\vec{b})$ = 12 y $|\vec{a}| = 2 |\vec{b}|$

(ii) $(\vec{a}+\vec{b})(\vec{a}-\vec{b})$ = 8 y $|\vec{a}|$ = 8 $|\vec{b}|$

(iii) $(\vec{a}+\vec{b})(\vec{a}-\vec{b})$ = 3 y $|\vec{a}|$ = 2 $|\vec{b}|$

Pregunta 32. Halla $|\vec{a}-\vec{b}|$ , si

(yo) $|\vec{a}| = 2, |\vec{b}| = 5$ y $\vec{a}.\vec{b} = 8$

(ii) $|\vec{a}|$ = 3, $|\vec{b}|$ = 4 y $\vec{a}.\vec{b}$ = 1

(iii) $|\vec{a}|=2, |\vec{b}| = 3$ y $\vec{a}.\vec{b}$ = 4

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Pregunta 17. Si y , entonces exprese en la forma donde es paralelo a y es perpendicular a .

Pregunta 18. Si o bien , entonces . Pero, lo contrario no tiene por qué ser cierto. Justifica tu respuesta con un ejemplo.

Pregunta 19. Demuestra que los vectores forman un triángulo rectángulo.

Pregunta 20. Si , y son tales que son perpendiculares a , entonces encuentra el valor de λ.

Pregunta 21. Encuentra los ángulos de un triángulo cuyos vértices son A (0, -1, -2), B (3, 1, 4) y C (5, 7, 1).

Pregunta 22. Halla la magnitud de dos vectores y , que tienen la misma magnitud y tales que el ángulo entre ellos es de 60° y su producto escalar es 1/2.

Pregunta 23. Demostrar que los puntos cuyo vector de posición son forman un triángulo rectángulo.

Pregunta 24. Si los vértices A, B, C de △ABC tienen vectores de posición (1, 2, 3), (-1, 0, 0), (0, 1, 2) respectivamente, ¿cuál es la magnitud de ∠ABC ?

Pregunta 25. Si A, B, C tienen vectores de posición (0, 1, 1), (3, 1, 5), (0, 3, 3) respectivamente, muestra que △ABC es un ángulo recto en C.

Pregunta 26. Encuentra la proyección de sobre , dónde y .

Pregunta 27. Si y , entonces demuestre que los vectores y son ortogonales.

Pregunta 28. Un vector unitario forma un ángulo π/2 y π/3 con y respectivamente y un ángulo agudo θ con . Encuentre el ángulo θ y las componentes de .

Pregunta 29. Si dos vectores y son tales que = 2, = 1 y =1. Encuentre el valor de

Pregunta 30. Si es un vector unitario, entonces encuentre en cada uno de los siguientes:

(i)

(ii)

Pregunta 31. Encuentra y , si

(i) = 12 y

(ii) = 8 y = 8

(iii) = 3 y = 2

Pregunta 32. Halla , si

(yo) y

(ii) = 3, = 4 y = 1

(iii) y = 4

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Pregunta 17. Si $\vec{α}=3\sombrero{i}+4\sombrero{j}+5\sombrero{k}$ y $\vec{β}=2\hat{i}+\hat{j}-4\hat{k}$ , entonces exprese $\vec{β}$ en la forma $\vec{β}=\vec{β_1}+\vec{β_2}$ donde $\vec{β_1}$ es paralelo a $\vec{α}$ y $\vec{β_2}$ es perpendicular a $\vec{α}$ .

Pregunta 18. Si $\vec{a}=\vec{0}$ o bien $\vec{b}=\vec{0}$ , entonces $\vec{a}.\vec{b}=0$ . Pero, lo contrario no tiene por qué ser cierto. Justifica tu respuesta con un ejemplo.

Pregunta 19. Demuestra que los vectores $\vec{a}=3\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}, \vec{b}=\hat{i}-3\hat{j}+5\hat{k},\vec{c}=2\hat{i}+\hat{j}-4\hat{k}$ forman un triángulo rectángulo.

Pregunta 20. Si $\vec{a}=2\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}$ , $\vec{b}=-\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}$ y $\vec{c}=3\hat{i}+\hat{j}$ son tales que $\vec{a}+λ\vec{b}$ son perpendiculares a $\vec{c}$ , entonces encuentra el valor de λ.

Pregunta 22. Halla la magnitud de dos vectores $\vec{a}$ y $\vec{b}$ , que tienen la misma magnitud y tales que el ángulo entre ellos es de 60° y su producto escalar es 1/2.

Pregunta 23. Demostrar que los puntos cuyo vector de posición son $\vec{a} =4\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k},\vec{b} =2\hat{i}-4\hat{j}+5\hat{k}, \vec{c} =\hat{i}-\hat{j}$ forman un triángulo rectángulo.

Pregunta 26. Encuentra la proyección de $\vec{b}+\vec{c}$ sobre $\vec{a}$ , dónde $\vec{a}=2\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}, \vec{b}=\hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k}$ y $\vec{c}=2\hat{i}-\hat{j}+4\hat{k}$ .

Pregunta 27. Si $\vec{a}=5\hat{i}-\hat{j}-3\hat{k}$ y $\vec{b}=\hat{i}+3\hat{j}-5\hat{k}$ , entonces demuestre que los vectores $\vec{a}+\vec{b}$ y $\vec{a}-\vec{b}$ son ortogonales.

Pregunta 28. Un vector unitario $\vec{a}$ forma un ángulo π/2 y π/3 con $\hat{i}$ y $\hat{j}$ respectivamente y un ángulo agudo θ con $\hat{k}$ . Encuentre el ángulo θ y las componentes de $\vec{a}$ .

Pregunta 29. Si dos vectores $\vec{a}$ y $\vec{b}$ son tales que $|\vec{a}|$ = 2, $|\vec{b}|$ = 1 y $\vec{a}.\vec{b}$ =1. Encuentre el valor de $(3\vec{a}-5\vec{b}).(2\vec{a}+7\vec{b}).$

Pregunta 30. Si $\vec{a}$ es un vector unitario, entonces encuentre $|\vec{x}|$ en cada uno de los siguientes:

(i) $(\vec{x}-\vec{a})(\vec{x}+\vec{a})=8$

(ii) $(\vec{x}-\vec{a})(\vec{x}+\vec{a})=12$

Pregunta 31. Encuentra $|\vec{a}|$ y $|\vec{b}|$ , si

(i) $(\vec{a}+\vec{b})(\vec{a}-\vec{b})$ = 12 y $|\vec{a}| = 2 |\vec{b}|$

(ii) $(\vec{a}+\vec{b})(\vec{a}-\vec{b})$ = 8 y $|\vec{a}|$ = 8 $|\vec{b}|$

(iii) $(\vec{a}+\vec{b})(\vec{a}-\vec{b})$ = 3 y $|\vec{a}|$ = 2 $|\vec{b}|$

Pregunta 32. Halla $|\vec{a}-\vec{b}|$ , si

(yo) $|\vec{a}| = 2, |\vec{b}| = 5$ y $\vec{a}.\vec{b} = 8$

(ii) $|\vec{a}|$ = 3, $|\vec{b}|$ = 4 y $\vec{a}.\vec{b}$ = 1

(iii) $|\vec{a}|=2, |\vec{b}| = 3$ y $\vec{a}.\vec{b}$ = 4