Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 25 Vector o Producto Cruzado – Ejercicio 25.1 | conjunto 2

Posted on by Rudeus Greyrat

Pregunta 13. Si  |\vec{a}|=13 ,  |\vec{b}|=5 y  \vec{a}.\vec{b}=60 , encuentran |\vec{a}\times\vec{b}|

Solución:

Lo sabemos,

=> \vec{a}.\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta

=>|\vec{a}.\vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}||\sin\theta|

=> 60 = 13\times5\times\cos\theta

=> 65\cos\theta = 60

=> \cos\theta = \dfrac{12}{13}

También,

=>| \vec{a}\times\vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}||\cos\theta||\hat{n}|

Y \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1

=> \sin\theta = \sqrt{1-\cos^2\theta}

=> \sin\theta = \sqrt{1-(\dfrac{12}{13})^2}

=> \sin\theta = \sqrt{\dfrac{25}{169}}

=> \sin\theta = \dfrac{5}{13}

=> |\vec{a}\times\vec{b}| = 13\times5\times\dfrac{5}{13}

=>| \vec{a}\times\vec{b}| = 25

Pregunta 14. Encuentra el ángulo entre 2 vectores  \vec{a} y  \vec{b} , si  |\vec{a}\times\vec{b}| = \vec{a}.\vec{b}

Solución:

Dado |\vec{a}\times\vec{b}| = \vec{a}.\vec{b}

=>|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta|\hat{n}| = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta

=> |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta , como  \hat{n}  es un vector unitario.

=> \sin\theta = \cos\theta

=> \tan\theta = 1

=> \theta = \dfrac{\pi}{4}

Pregunta 15. Si  \vec{a}\times\vec{b} = \vec{b}\times\vec{c} \neq \vec{0} , entonces demuestre que  \vec{a}+\vec{c}=m\vec{b} , donde m es cualquier escalar.

Solución:

Dado que \vec{a}\times\vec{b} = \vec{b}\times\vec{c} \neq \vec{0}

=> \vec{a}\times\vec{b} - \vec{b}\times\vec{c} = \vec{0}

=> \vec{a}\times\vec{b} -[-(\vec{c}\times\vec{a})] = \vec{0}

=> \vec{a}\times\vec{b} + \vec{c}\times\vec{b} = \vec{0}

Usando la propiedad distributiva,

=> (\vec{a}+\vec{c})\times\vec{b}=\vec{0}

Si dos vectores son paralelos, entonces su producto vectorial es 0 vector.

=>  (\vec{a}+\vec{c})  y  \vec{b}  son vectores paralelos.

=> (\vec{a}+\vec{c}) = m\vec{b}

Por lo tanto probado.

 Pregunta 16. Si |\vec{a}|=2 ,  |\vec{b}|=7 y  \vec{a}\times\vec{b} = 3\hat{i}+2\hat{j}+6\hat{k} , encuentra el ángulo entre  \vec{a}  y \vec{b}

Solución:

Dado que |\vec{a}|=2 ,  |\vec{b}|=7 y \vec{a}\times\vec{b} = 3\hat{i}+2\hat{j}+6\hat{k}

Lo sabemos,

=> \vec{a}\times\vec{b} =|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta\hat{n}

=> |\vec{a}\times\vec{b}| =|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta\|\hat{n}|

=> |\vec{a}\times\vec{b}| =|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta

=> \sqrt{3^2+2^2+6^2} = 2\times7\times\sin\theta

=> \sqrt{9+4+36} = 14\sin\theta

=> 7 = 14\sin\theta

=> \sin\theta = \dfrac{1}{2}

=> \theta = \dfrac{\pi}{6}

Pregunta 17. ¿Qué inferencia puedes sacar si  \vec{a}\times\vec{b}=\vec{0} y \vec{a}.\vec{b}=0

Solución:

dado,  \vec{a}\times\vec{b}=\vec{0} y \vec{a}.\vec{b}=0

=>\vec{a}\times\vec{b} = \vec{0}

=> |\vec{a}|\vec{b}|\sin\theta\hat{n} = \vec{0}

Cualquiera de las siguientes condiciones es verdadera,

1. |\vec{a}| = 0

2. |\vec{b}| =0

3. |\vec{a}| = |\vec{b}| = 0

4. \vec{a} es paralelo a \vec{b}

=> \vec{a}.\vec{b}=0

=> |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta = 0

Cualquiera de las siguientes condiciones es verdadera,

1. |\vec{a}| = 0

2. |\vec{b}| =0

3. |\vec{a}| = |\vec{b}| = 0

4.  \vec{a} es perpendicular a \vec{b}

Dado que ambas condiciones son verdaderas, eso implica que al menos una de las siguientes condiciones es verdadera,

1. |\vec{a}| = 0

2. |\vec{b}| =0

3. |\vec{a}| = |\vec{b}| = 0

Pregunta 18. Si  \vec{a} ,  \vec{b} y  \vec{c} son 3 vectores unitarios tales que  \vec{a}\times\vec{b} = \vec{c} ,  \vec{b}\times\vec{c}=\vec{a} y  \vec{c}\times\vec{a} = \vec{b} . Demuestre que  \vec{a} , \vec{b} y  \vec{c}  forme una tríada ortogonal derecha de vectores unitarios.

Solución:

Dado  \vec{a}\times\vec{b} = \vec{c} ,  \vec{b}\times\vec{c}=\vec{a} y \vec{c}\times\vec{a} = \vec{b}

Como,

=> \vec{c} = \vec{a}\times\vec{b}

=>  \vec{c}  es perpendicular a ambos  \vec{a} y  \vec{b} .

Similarmente,

=>  \vec{a}  es perpendicular a ambos  \vec{b} y \vec{c}

=>  \vec{b}  es perpendicular a ambos  \vec{a} y \vec{c}

=>  \vec{a} ,  \vec{b} y  \vec{c}  son mutuamente perpendiculares.

Como,  \vec{a} ,  \vec{b} y  \vec{c}  también son vectores unitarios,

=>  \vec{a} ,  \vec{b} y  \vec{c}  forman una tríada ortogonal dextrógira de vectores unitarios

Por lo tanto probado.

Pregunta 19. Encuentra un vector unitario perpendicular al plano ABC, donde las coordenadas de A, B y C son A(3, -1, 2), B(1, -1, 3) y C(4, – 3, 1).

Solución:

Dados A(3, -1, 2), B(1, -1, 3) y C(4, -3, 1).

Dejar,

=> \vec{a} = A = 3\hat{i}- \hat{j} +2\hat{k}

=> \vec{b} = B = \hat{i} -\hat{j} + 3\hat{k}

=> \vec{c} = C = 4\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}

El plano ABC tiene dos vectores  \vec{AB}  y \vec{AC}

=> \vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}

=> \vec{AB} = (\hat{i}-\hat{j}-3\hat{k})-(3\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k})

=> \vec{AB}= (1-3)\hat{i}+ (-1+1)\hat{j} +(-3-2)\hat{k}

=> \vec{AB} = -2\hat{i}-5\hat{k}

=> \vec{AC} = \vec{c} - \vec{a}

=> \vec{AC} = (4\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k})-(3\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k})

=> \vec{AC} = (4-3)\hat{i}+ (-3+1)\hat{j} +(1-2)\hat{k}

=> \vec{AC} = \hat{i}-2\hat{i}-\hat{k}

Un vector perpendicular a ambos  \vec{AB} y  \vec{AC} viene dado por,

=> \vec{a}\times\vec{b} = \begin{vmatrix}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\a_1 & a_2 & a_3\\b_1 & b_ 2& b_3\end{vmatrix}

=>  \vec{AB}\times\vec{AC}= \dfrac{1}{7}\times\dfrac{1}{7}\begin{vmatrix}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\-2 & 0 & -5\\1 & -2& -1\end{vmatrix}

=> \vec{AB}\times\vec{AC} = \hat{i}[(0)(-1)-(-2)(-5)] -\hat{j}[(-2)(-1)-(1)(-5)] +\hat{k}[(-2)(-2)-(1)(0)]

=> \vec{AB}\times\vec{AC} = \hat{i}[0-10]-\hat{j}[2+5]+\hat{k}[4-0]

=> \vec{AB}\times\vec{AC} = -10\hat{j}-7\hat{j}+4\hat{k}

Para encontrar el vector unitario,

=> \hat{p} = \dfrac{\vec{AB}\times\vec{AC}}{|\vec{AB}\times\vec{AC}|}

=> \hat{p} = \dfrac{1}{\sqrt{(-10^2)+(-7)^2+4^2}}(-10\hat{j}-7\hat{j}+4\hat{k})

=> \hat{p} = \dfrac{1}{\sqrt{100+49+16}}(-10\hat{j}-7\hat{j}+4\hat{k})

=> \hat{p} = \dfrac{1}{\sqrt{165}}(-10\hat{j}-7\hat{j}+4\hat{k})

Pregunta 20. Si a, b y c son las longitudes de los lados BC, CA y AB de un triángulo ABC, demuéstralo  \vec{BC} +\vec{CA} +\vec{AB} = \vec{0} y deduce que \dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}

Solución:

Dado eso  |\vec{BC}|=a ,  |\vec{CA}|=b y |\vec{AB}| = c

De la ley del triángulo de la suma de vectores, tenemos

=> \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}

=> \vec{AB} + \vec{BC} = -\vec{CA}

=> \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA} = \vec{0}

=> \vec{BC} +\vec{CA} +\vec{AB} = \vec{0}

=> \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}

=> \vec{a}\times(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) = \vec{a}\times\vec{0}

=> \vec{a}\times\vec{a} + \vec{a}\times\vec{b} + \vec{a}\times\vec{c} = \vec{0}

=> \vec{0} + \vec{a}\times\vec{b} + \vec{a}\times\vec{c} = \vec{0}

=> \vec{a}\times\vec{b} + \vec{a}\times\vec{c} = \vec{0}

=> \vec{a}\times\vec{b} = -\vec{a}\times\vec{c}

=> \vec{a}\times\vec{b} = \vec{c}\times\vec{a}

=> |\vec{a}||\vec{b}|\sin C = |\vec{c}||\vec{a}|\sin B

=> |\vec{b}|\sin C = |\vec{c}|\sin B

=> b\sin C = c\sin B

=> \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}

Similarmente,

=> \vec{b}\times(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) = \vec{b}\times\vec{0}

=> \vec{b}\times\vec{a} + \vec{b}\times\vec{b} + \vec{b}\times\vec{c} = \vec{0}

=> \vec{0} + \vec{b}\times\vec{a} + \vec{b}\times\vec{c} = \vec{0}

=> \vec{b}\times\vec{a} + \vec{b}\times\vec{c} = \vec{0}

=> \vec{b}\times\vec{a} = -\vec{b}\times\vec{c}

=> \vec{b}\times\vec{a} = \vec{c}\times\vec{b}

=> |\vec{b}||\vec{a}|\sin C = |\vec{c}||\vec{b}|\sin A

=> |\vec{a}|\sin C = |\vec{c}|\sin A

=> a\sin C = c\sin A

=> \dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{c}{\sin C}

=> \dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{sin C}

Por lo tanto probado.

Pregunta 21. Si  \vec{a} = \hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k} y  \vec{b}=2\hat{i}+3\hat{j}-5\hat{k} , entonces encuentra  \vec{a}\times\vec{b} . Compruebe que  \vec{a} y  \vec{a}\times\vec{b}  son perpendiculares entre sí.

Solución:

dado,  \vec{a} = \hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k} y \vec{b}=2\hat{i}+3\hat{j}-5\hat{k}

=> \vec{a}\times\vec{b} = \begin{vmatrix}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\a_1 & a_2 & a_3\\b_1 & b_2 & b_3\end{vmatrix}

=> \vec{a}\times\vec{b} = \begin{vmatrix}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\1 & -2 & 3\\2 & 3 & -5\end{vmatrix}

=> \vec{a}\times\vec{b} = \hat{i}[(-2)(-5)-(3)(3)]-\hat{j}[(1)(-5)-(2)(3)]+\hat{k}[(1)(3)-(2)(-2)]

=> \vec{a}\times\vec{b} = \hat{i}[10-9]-\hat{j}[-5-6]+\hat{k}[3+4]

=> \vec{a}\times\vec{b} = \hat{i}+11\hat{j}+7\hat{k}

Dos vectores son perpendiculares si su producto escalar es cero.

=> (\vec{a}\times\vec{b}).\vec{a} = (\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k}).(\hat{i}+11\hat{j}+7\hat{k})

=> (\vec{a}\times\vec{b}).\vec{a} = \hat{i}.\hat{i}-2\hat{j}.11\hat{j}+3\hat{k}.7\hat{k}

=> (\vec{a}\times\vec{b}).\vec{a} = 1-22+21

=> (\vec{a}\times\vec{b}).\vec{a} =0

Por lo tanto probado.

Pregunta 22. Si  \vec{p}  y  \vec{q}  son vectores unitarios que forman un ángulo de  30\degree , encuentre el área del paralelogramo que tiene  \vec{a}=\vec{p}+2\vec{q} y  \vec{b}=2\vec{p}+\vec{q}  como sus diagonales.

Solución:

Dado  \vec{p} y  \vec{q} formando un ángulo de  30\degree .

Área de un paralelogramo que tiene diagonales  \vec{a}  y  \vec{b}  es \dfrac{1}{2}|\vec{a}\times\vec{b}|

=> \vec{p}\times\vec{q} = |\vec{p}||\vec{q}|\sin 30\degree \hat{n}

=> \vec{p}\times\vec{q} = 1\times1\times\dfrac{1}{2}\times \hat{n}

=> \vec{p}\times\vec{q} = \dfrac{1}{2} \hat{n}

Así el área es,

=> Área = \dfrac{1}{2}|(\vec{p}+2\vec{q})\times( 2\vec{p}+\vec{q})|

=> Área = \dfrac{1}{2}|\vec{p}\times( 2\vec{p}+\vec{q})+2\vec{q}\times( 2\vec{p}+\vec{q})|

=> Área = \dfrac{1}{2}|\vec{p}\times\vec{q}+4(\vec{q}\times\vec{p})|

=> Área = \dfrac{1}{2}|\vec{p}\times\vec{q}+4(-\vec{p}\times\vec{q})|

=> Área = \dfrac{1}{2}|-3(\vec{p}\times\vec{q})|

=> Área = \dfrac{3}{2}|(\vec{p}\times\vec{q})|

=> Área = \dfrac{3}{2}|\dfrac{1}{2} \hat{n}|

=> Área = \dfrac{3}{2}\times\dfrac{3}{2}\times1

=> Área =  \dfrac{3}{4}  unidades cuadradas

Pregunta 23. Para cualesquiera dos vectores  \vec{a}  y  \vec{b}  , demuestre que |\vec{a}\times\vec{b}|^2 = \begin{vmatrix} \vec{a}.\vec{a}& \vec{a}.\vec{b}\\\vec{b}.\vec{a} & \vec{b}.\vec{b}\end{vmatrix}  

Solución:

Lo sabemos,

=> \vec{a}\times\vec{b}= |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta\hat{n}

=> |\vec{a}\times\vec{b}|= |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta|\hat{n}|

=> |\vec{a}\times\vec{b}|= |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta

=> |\vec{a}\times\vec{b}|^2= |\vec{a}|^2|\vec{b}|^2\sin^2\theta

=> |\vec{a}\times\vec{b}|^2= |\vec{a}|^2|\vec{b}|^2(1-\cos^2\theta)

=> |\vec{a}\times\vec{b}|^2= |\vec{a}|^2|\vec{b}|^2 -(|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2\cos^2\theta)

=> |\vec{a}\times\vec{b}|^2= |\vec{a}|^2|\vec{b}|^2 -(|\vec{a}|.|\vec{b}|)^2

=> |\vec{a}\times\vec{b}|^2= (\vec{a}.\vec{a})(\vec{b}.\vec{b})-(\vec{a}.\vec{b})(\vec{b}.\vec{a})

=> |\vec{a}\times\vec{b}|^2 = \begin{vmatrix} \vec{a}.\vec{a}& \vec{a}.\vec{b}\\\vec{b}.\vec{a} & \vec{b}.\vec{b}\end{vmatrix}

Por lo tanto probado.

Pregunta 24. Defina  \vec{a}\times\vec{b} y demuestre que  |\vec{a}\times\vec{b}|=(\vec{a}.\vec{b})\tan \theta , ¿dónde  \theta  está el ángulo entre  \vec{a} y \vec{b}

Solución:

Definición de : Sean   y  sean 2 vectores distintos de cero, no paralelos. Entonces  , se define como un vector con la magnitud de  , y que es perpendicular tanto a los vectores   como  a . \vec{a}\times\vec{b} \vec{a} \vec{b} \vec{a}\times\vec{b} |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta \vec{a} \vec{b}

Lo sabemos,

=> \vec{a}\times\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta\hat{n}

=> |\vec{a}\times\vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta|\hat{n}|

=> |\vec{a}\times\vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta  ……………..(ecuación 1)

Y como,

=> \vec{a}.\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta

=> |\vec{a}||\vec{b}| = \dfrac{\vec{a}.\vec{b}}{\cos\theta}

Sustituyendo en (eq.1),

=> |\vec{a}\times\vec{b}| = \dfrac{\vec{a}.\vec{b}}{\cos\theta} \sin\theta

=> |\vec{a}\times\vec{b}| = (\vec{a}.\vec{b})\tan\theta

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por isha412k y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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