Demostrar que tan4θ + tan2θ = sec4θ – sec2θ

La trigonometría es la rama de las matemáticas que se ocupa de los triángulos y los ángulos asociados a ellos. Si la palabra se divide en 2 partes, a saber, trigon y geometría, se puede entender fácilmente que esta rama de las matemáticas se ocupa de la geometría de los triángulos. Usando la trigonometría, las propiedades de los triángulos y sus aplicaciones pueden entenderse fácilmente. Usando trigonometría, uno puede encontrar los ángulos y los lados faltantes de cualquier triángulo con el uso de razones trigonométricas.

razones trigonométricas

Hay seis funciones o razones trigonométricas de un ángulo que están presentes en la trigonometría. Sus nombres y abreviaturas son seno (sin), coseno (cos), tangente (tan), cotangente (cot), secante (sec) y cosecante (csc). Una cosa importante a tener en cuenta aquí es que las fórmulas trigonométricas solo funcionan en el triángulo rectángulo. Veamos la imagen de abajo.

En este triángulo rectángulo, el lado AC se conoce como hipotenusa. El lado BC se conoce como la base del triángulo. el lado AB se conoce como la altura del triángulo.

Fórmulas básicas de razones trigonométricas

• Tan ∅ = sen ∅/cos ∅
• sen ∅ = 1/coseg ∅
• cos ∅= 1/seg ∅
• Tan ∅= 1/cuna ∅

Demostrar que tan ⁴ θ + tan ² θ = sec ⁴ θ – sec ² θ

Antes de comenzar a resolver la demostración a continuación, es importante conocer algunas identidades básicas asociadas con la trigonometría. Estas fórmulas deben ser de memoria para resolver problemas relacionados con la trigonometría. a continuación están las fórmulas,

bronceado ² ∅ + 1 = segundo ² ∅

En el problema anterior, LHS es tan ⁴ θ + tan ² θ

Tome tan ² θ común desde arriba

es decir, tan ² θ(tan ² θ + 1) ⇢ (i)

De la fórmula, sec ² ∅+1=tan ² ∅, sustituyendo esto en (i),

tan ² ∅(seg ² ∅) ⇢ (ii)

Ahora, el RHS es sec ⁴ θ – sec ² θ, así que transforme el tan ² ∅ presente en (ii) a la forma sec ² ∅.

Entonces, usando la misma fórmula tan ² ∅ + 1 = sec ² ∅, también podemos escribir esto como tan ² ∅=sec ² ∅-1

Sustituyendo esto en (ii),

(seg ² ∅ – 1)(seg ² ∅)

= segundo ⁴ ∅ -segundo ² ∅

= lado derecho

Por lo tanto probado

Problemas similares

Pregunta 1: Demuestre que sec ² θ + cosec ² θ = sec ² θ × cosec ² θ

Solución:

Se sabe, cos∅ = 1/seg ∅ o sec∅ = 1/cos∅

Y sin∅ = 1/coseg∅ o cosec∅ = 1/sin ∅

Sustituyendo estas fórmulas en LHS, 

1/cos ² ∅ + 1/sen ² ∅ 

Tomando MCM,

(sen ² ∅ + cos ² ∅)/sen ² ∅ cos ² ∅ 

sen ² ∅ + cos ² ∅ = 1, por lo tanto,

LHS = 1/sen ² ∅ cos ² ∅

Ahora llegando a RHS,

cos∅ = 1/seg∅ o seg∅ = 1/cos∅

Y sin = 1/coseg∅ o cosec∅ = 1/sin∅,

Así que sustituyendo estas fórmulas en RHS, 

1/sen ² ∅ cos ² ∅ = RHS = LHS

Por lo tanto probado.

Pregunta 2: Demostrar que (sin∅ + cosec∅) ² + (cos∅ + sec∅) ² = 7 + tan ² ∅ + cot ² ∅

Solución:

Se sabe, (a + b) ² = a ² + b ² + 2ab,

Aplicando esta fórmula a LHS,

sen ² ∅ + cosec ² ∅ + 2sen∅ cosec∅ + cos ² ∅ + sec ² ∅ + 2cos∅ sec∅

• sen ∅ = 1/coseg ∅
• cos ∅ = 1/seg ∅

Poniendo estos en la ecuación anterior,

sen ² ∅ + cos ² ∅ + 2 sen ∅ 1/sen ∅ + cos ² ∅ + seg ² ∅ + 2 cos ∅ 1/cos ∅

= sen2∅ + coseg ² ∅ +2 + cos ² ∅ + seg ² ∅ + 2

= (sen ² ∅ + cos ² ∅) + cos ² ∅ + sec ² ∅ + 4

= 1+ cosec ² ∅ + sec ² ∅ + 4 

= (1+ tan ² θ) + (1+ cot ² θ) + 5 [sec ² θ = 1 + tan ² θ; cosec ² θ = 1+ cuna ² θ ]

= 7 + bronceado ² ∅ + cuna ² ∅

Por lo tanto probado