Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 19 Integrales indefinidas – Ejercicio 19.9

Evalúa las siguientes integrales:

Pregunta 1. ∫(log⁡x)/x dx

Solución:

Dado que, I = ∫(log⁡x)/x dx

Consideremos log⁡x = t

Ahora diferenciando ambos lados obtenemos,

d(log⁡x) = dt

1/x dx = dt

dx = xdt

Entonces, ponemos log⁡x = t y dx = xdt, obtenemos

yo = ∫ t/x × (x)dt

= ∫ tdt

= t ² /2 + c

= (log⁡x) ² /2 + c

Por lo tanto, yo = (log⁡x) ² /2 + c

Pregunta 2.∫(log⁡(1 + 1/x))/(x(1 + x)) dx

Solución:

Dado que I = ∫(log⁡(1 + 1/x))/(x(1 + x)) dx ……(i)

Consideremos log⁡(1 + 1/x) = t entonces

Al diferenciar ambos lados obtenemos,

d[log⁡(1 + 1/x)]=dt

1/(1 + 1/x) × (-1)/x ² dx = dt

1/((x + 1)/x) × (-1)/x ² dx = dt

(-x)/(x ² (x + 1)) dx = -dt

dx/(x(x + 1)) = -dt

Ahora, al poner log⁡(1 + 1/x) = t y dx/(x(x + 1)) = -dt en la ecuación (i), obtenemos

yo = ∫t × -dt

= -t ² /2 + c

= -1/2 [log⁡(1 + 1/x)] ² + c

Por lo tanto, yo = -1/2 [log⁡(1 + 1/x)] ² + c

Pregunta 3. ∫((1 + √x ) ² )/√x dx

Solución:

Dado que I = ∫((1 + √x) ² )/√x dx

Consideremos (1 + √x) = t entonces,

Al diferenciar ambos lados obtenemos,

d(1 + √x) = dt

1/(2√x) dx = dt

dx = dt × 2√x

Ahora al poner (1 + √x) = t y dx = dt × 2√x, obtenemos

yo = ∫t ² /√x × dt × 2√x

= 2∫t ² dt

= 2 × t ³ /3 + c

= 2/3[1 + √x] ³ + c

Por lo tanto, yo = 2/3(1 + √x) ³ + c

Pregunta 4. ∫√(1 + e ^x ) e ^x d

Solución:

Dado que I = ∫√(1 + e ^x ) e ^x dx ……(i)

Consideremos 1 + e ^x = t entonces,

Al diferenciar ambos lados obtenemos,

d(1 + e ^x ) = dt

e ^x dx = dt

dx = dt/ ^ex

Ahora, al poner 1 + e ^x = t y dx = dt/e ^x en la ecuación (i), obtenemos

yo = ∫√t × e ^x × dt/e ^x

= ∫ t ^1/2 dt

= 2/3t ^3/2 + c

= 2/3 (1 + e ^x ) ^3/2 +c

Pregunta 5. ∫∛(cos ² x) sen⁡x dx

Solución:

Dado que I = ∫∛(cos ² x) sen⁡x dx ……(i)

Consideremos cos⁡x = t entonces,

Al diferenciar ambos lados obtenemos,

d(cos⁡x) = dt

-sin⁡xdx = dt

dx = -dt/(sen⁡x))

Ahora, al poner cos⁡x = t y dx = -dt/(sin⁡x) en la ecuación (i), obtenemos

yo = ∫∛(t ² ) sin⁡x × (-dt)/(sin⁡x)

= -∫t ^2/3 sen⁡x dt/(sen⁡x)

= -∫ t ^2/3 dt

= -3/5 × t ^5/3

Por lo tanto, yo = -3/5(cos⁡x) ^5/3 + c

Pregunta 6. ∫e ^x /(1 + e ^x ) ² dx

Solución:

Dado que I = ∫e ^x /(1 + e ^x ) ² dx …….(i)

Consideremos 1 + e ^x = t entonces,

Al diferenciar ambos lados obtenemos,

d(1 + e ^x ) = dt

e ^x dx = dt

dx = dt/ ^ex

Ahora, al poner 1 + e ^x = t y dx = dt/e ^x en la ecuación (i), obtenemos

yo = ∫e ^x /t ² × dt/e ^x

= ∫dt/t ²

= ∫t ^-2 dt

= -t ^-1 + c

= -1/t + c

= -1/(1 + e ^x ) + c

Por lo tanto, yo = -1/(1 + e ^x ) + c

Pregunta 7. ∫cot ³ ⁡x cosec ² ⁡x dx

Solución:

Dado que I = ∫cot ³ ⁡x cosec ² ⁡x dx …….(i)

Consideremos cot⁡x = t entonces,

Al diferenciar ambos lados obtenemos,

d(cotx) = dt

-coseg ² x dx = dt

dx = -dt/coseg ² x

Ahora, al poner cot⁡x = t y dx = -dt/(cosec ² ⁡x) en la ecuación (i), obtenemos

yo = ∫ t ³ cosec ² x × (-dt)/(cosec ² ⁡x)

= -∫ t ³ dt

= -t ⁴ /4 + c

= -(cuna ⁴ ⁡x)/4 + c

Por lo tanto, yo = -(cot ⁴ ⁡x)/4 + c

pregunta 8 $∫\frac{(e^{sin^{-1} x})^2}{\sqrt{1-x^2}} dx$

Solución:

Dado que I = $∫\frac{(e^{sin^{-1} x})^2}{\sqrt{1-x^2}} dx$ [Tex] [/Tex] …….(i)

Consideremos sen ^-1 ⁡x = t entonces,

Al diferenciar ambos lados obtenemos,

d(sen ^-1 x) = dt

1/√(1 – x ² )dx = dt

dx = √(1 – x ² ) dt)

Ahora, al poner sen ^-1 x = t y dx = √(1 – x ² ) dt en la ecuación (i), obtenemos

yo = ∫ (e ^t ) ² /√(1 – x ² ) × √(1 – x ² ) dt

= ∫e ^2t dt

= e ^2t /2 + c

= $\frac{e^{sin^{-1}x}}{2}$ + c

Por lo tanto, yo = $\frac{e^{sin^{-1}x}}{2}$ + c

Pregunta 9. ∫(1 + sin⁡x)/√(x – cos⁡x) dx

Solución:

Dado que I = ∫(1 + sin⁡x)/√(x – cos⁡x) dx ……..(i)

Consideremos x – cos⁡x = t, entonces

Al diferenciar ambos lados obtenemos,

d(x – cos⁡x) = dt

[1 – (-sen⁡x)]dx = dt

(1 + sen⁡x)dx = dt

Ahora, al poner x – cos⁡x = t y (1 + sin⁡x)dx = dt en la ecuación (i), obtenemos

yo = ∫ dt/√t

= ∫ t ^-1/2 dt

= 2t ^1/2 + c

= 2(x – cos⁡x) ^1/2 + c

Por lo tanto, yo = 2√(x – cos⁡x) + c

Pregunta 10. ∫1/(√(1 – x ² ) (sen ^-1 x) ² ) dx

Solución:

Dado que I = ∫1/(√(1 – x ² ) (sin ^-1 ⁡x) ² ) dx …..(i)

Consideremos sen ^-1 ⁡x = t entonces,

Al diferenciar ambos lados obtenemos,

d(sen ^-1 ⁡x) = dt

1/√(1 – x ² ) dx = dt

Ahora, al poner sen ^-1 ⁡x = t y 1/√(1 – x ² ) dx = dt en la ecuación (i), obtenemos

yo = ∫dt/t ²

= ∫t ^-2 dt

= -t ^-1 + c

= (-1)/t + c

= (-1)/(sen ^-1 ⁡x) + c

Por lo tanto, yo = (-1)/(sen ^-1 ⁡x) + c

Pregunta 11. ∫(cot⁡x)/√(sen⁡x) dx

Solución:

Dado que I = ∫(cot⁡x)/√(sin⁡x) dx …….(i)

Consideremos sen⁡x = t entonces,

Al diferenciar ambos lados obtenemos,

d(sen⁡x) = dt

cos⁡xdx = dt

Ahora, yo = ∫(cot⁡x)/√(sin⁡x) dx

= ∫(cos⁡x)/(sen⁡x√(sen⁡x)) dx

= ∫ cos⁡x/(sen⁡x) ^3/2 dx

= ∫ cos⁡x/(sen⁡x) ^3/2 dx …….(ii)

Ahora, al poner sen⁡x = t y cos⁡xdx = dt en la ecuación (ii), obtenemos

yo = ∫ dt/t ^3/2

= ∫ t ^-3/2 dt

= -2t ^-1/2 + c

= -2/√t + c

= -2/√(sen⁡x) + c

yo = -2/√sen⁡x + c

Pregunta 12. ∫(tan⁡x)/√(cos⁡x) dx

Solución:

Dado que I = ∫(tan⁡x)/√(cos⁡x) dx

yo = ∫sen⁡x/cos⁡x√(cos⁡x) dx

= ∫ sin⁡x/(cos⁡x) ^3/2 dx

= ∫sen⁡x/(cos⁡x) ^3/2 dx ……..(i)

Consideremos cos⁡x = t entonces,

Al diferenciar ambos lados obtenemos,

d(cos⁡x) = dt

-sin⁡xdx = dt

sen⁡xdx = -dt

Ahora, al poner cos⁡x = t y sin⁡xdx = -dt en la ecuación (i), obtenemos

yo = ∫(-dt)/t ^-3/2

= -∫t ^-3/2 dt

= -[-2t ^-1/2 ] + c

= 2/t ^1/2 + c

= 2/√(cos⁡x) + c)

Por lo tanto, yo = 2/√(cos⁡x) + c

Pregunta 13. ∫cos ³ x/√(sen⁡x) dx

Solución:

Dado que I = ∫cos ³ ⁡x/√(sin⁡x) dx

= ∫(cos ² xcos⁡x)/√(sen⁡x) dx

= ∫((1 – sen ² ⁡x)cos⁡x)/√(sen⁡x) dx

= ∫((1 – sen ² x))/√(sen⁡x) cos⁡xdx ……(i)

Consideremos sen⁡x = t entonces,

Al diferenciar ambos lados obtenemos,

d(sen⁡x) = dt

cos⁡xdx = dt

Ahora, al poner sen⁡x = t y cos⁡xdx = dt en la ecuación (i), obtenemos

yo = ∫(1 – t ² )/√t dt

= ∫(t ^-1/2 -t ² xt ^-1/2 )dt

=∫(t ^-1/2 – t ^3/2 )dt

= 2t ^1/2 – 2/5 t ^5/2 + c

= 2(sen⁡x) ^1/2 – 2/5(sen⁡x) ^5/2 + c

Por lo tanto, yo = 2√(sin⁡x) – 2/5(sin⁡x) ^5/2 + c

Pregunta 14. ∫(sen ³ x)/√(cos⁡x) dx

Solución :

Dado que I = ∫(sen ³ ⁡x)/√(cos⁡x) dx

= ∫(sen ² ⁡xsen⁡x)/√(cos⁡x) dx

=∫((1 – cos ² ⁡x))/√(cos⁡x) sen⁡xdx …….(i)

Consideremos cos⁡x = t entonces,

Al diferenciar ambos lados obtenemos,

d(cos⁡x) = dt

-sin⁡xdx = dt

sen⁡xdx = -dt

Ahora, al poner cos⁡x = t y sin⁡xdx = -dt en la ecuación (i), obtenemos

yo = ∫((1 – t ² ))/√t × -dt

= ∫(t ² – 1)/√t dt

= ∫(t ² /t ^1/2 – 1/t ^1/2 )dx

= ∫(t ^2-1/2 – t ^-1/2 )dt

= ∫(t ^3/2 – t ^1/2 )dt

= 2/5 t ^5/2 – 2t ^1/2 + c

= 2/5 cos ^5/2 ⁡x – 2 cos ^1/2 ⁡x + c

Por lo tanto, I = 2/5 cos ^5/2 x – 2√(cos⁡x) + c

Pregunta 15. ∫1/(√(tan ^-1 x) (1 + x ² )) dx

Solución:

Dado que I = ∫1/(√(tan ^-1 x) (1 + x ² )) dx …..(i)

Consideremos tan ^-1 ⁡x = t, entonces

Al diferenciar ambos lados obtenemos,

d(tan ^-1 ⁡x) = dt

1/(1 + x ² ) dx = dt

Ahora, al poner tan ^-1 ⁡x = t y 1/(1 + x ² ) dx = dt en la ecuación (i), obtenemos

yo = ∫1/√t dt

= ∫t ^-1/2 dt

= 2t ^1/2 + c

= 2√tan ^-1 ⁡x + c

Por lo tanto, yo = 2√tan ^-1 ⁡x + c

Pregunta 16. ∫√(tan⁡x)/(sen⁡xcos⁡x) dx

Solución:

Dado que I = ∫√(tan⁡x)/(sin⁡xcos⁡x) dx

= ∫(√(tan⁡x)×cos⁡x)/(sen⁡xcos⁡x×cos⁡x) dx

= ∫√(tan⁡x)/(tan⁡xcos ² ⁡x) dx

= ∫(seg ² ⁡xdx)/√(bronceado⁡x) dx

Consideremos tan⁡x = t, entonces

Al diferenciar ambos lados obtenemos,

segundo ² ⁡xdx = dt

Ahora

yo = ∫ dt/√t

= 2√t + c

Por lo tanto, yo = 2√tan⁡x + c

Pregunta 17. 1/x × (log⁡x) ² dx

Solución:

Dado que I = ∫1/x × (log⁡x) ² dx …..(i)

Consideremos log⁡x = t entonces,

Al diferenciar ambos lados obtenemos,

d(log⁡x) = dt

1/x dx = dt

Ahora, al poner log⁡x = t y 1/x dx = dt en la ecuación (i), obtenemos

yo = ∫t ² dt

= t ³ /3 + c

= (log⁡x) ³ /3 + c

Por lo tanto, yo = (log⁡x) ³ /3 + c

Pregunta 18. ∫sen ⁵ x cos⁡x dx

Solución:

Dado que I = ∫sen ⁵ ⁡x cos⁡x dx ……(i)

Consideremos sen⁡x = t entonces,

Al diferenciar ambos lados obtenemos,

d(sen⁡x) = dt

cos⁡xdx = dt

Ahora, al poner sen⁡x = t y cos⁡xdx = dt en la ecuación (i), obtenemos

yo = ∫ t ⁵ dt

= t ⁶ /6 + c

= (sen ⁶ ⁡x)/6 + c

Por lo tantoc, I = 1/6 (sen ⁶ ⁡x) + c

Pregunta 19. ∫tan ^3/2 ⁡x seg ² ⁡x dx

Solución:

Dado que I = ∫tan ^3/2 ⁡xsec ² ⁡xdx ……(i)

Consideremos tan⁡x = t entonces,

Al diferenciar ambos lados obtenemos,

d(tan⁡x) = dt

segundo ² ⁡xdx = dt

Ahora, al poner tan⁡x = t y sec ² xdx = dt en la ecuación (i), obtenemos

yo = ∫ t ^3/2 dt

= 2/5 t ^5/2 + c

= 2/5(tan⁡x) ^5/2 + c

Por lo tanto, I = 2/5 tan ^5/2 ⁡x + c

Pregunta 20. ∫(x ³ )/(x ² + 1) ² dx

Solución:

Dado que I = ∫(x ³ )/(x ² + 1) ² dx …….(i)

Consideremos 1 + x ² = t entonces,

Al diferenciar ambos lados obtenemos,

d(1 + x ² ) = dt

2xdx = dt

xdx = dt/2

Ahora, al poner 1 + x ² = t y xdx = dt/2 en la ecuación (i), obtenemos

yo = ∫x ² /t ³ × dt/2

= 1/2∫(t – 1)/t ³ dt [1 + x ² = t]

= 1/2∫[(t/t ³ – 1/t ³ )dt]

= 1/2∫(t ^-2 – t ^-3 )dt

= 1/2 [-1t ^-1 – t ^-2 /(-2)] + c

= 1/2 [-1/t + 1/(2t ² )] + c

= -1/2t + 1/(4t ² ) + c

= -1/2(1 + x ² ) + 1/(4(1 + x ² ) ² ) + c

= (-2(1 + x ² ) + 1)/(4(1 + x ² ) ² ) + c

= (-2 – 2x ² + 1)/(4(1 + x ² ) ² ) + c

= (-2x ² – 1)/(4(1 + x ² ) ² ) + c

= -(1 + 2x ² )/(4(x ² + 1) ² ) + c

Henec, yo = -(1 + 2x ² )/(4(x ² + 1) ² ) + c

Pregunta 21. ∫(4x + 2)√(x ² + x + 1) dx

Solución:

Dado que I = ∫(4x + 2)√(x ² + x + 1) dx

Consideremos x ² + x + 1 = t entonces,

Al diferenciar ambos lados obtenemos,

(2x + 1)dx = dt

Ahora,

yo = ∫ (4x + 2)√(x ² + x + 1) dx

= ∫2√t dt

= 2∫√t dt

= 2t ^3/2 /(3/2) + c

Por tanto, yo = 4/3 (x ² + x + 1) ^3/2 + c

Pregunta 22. ∫(4x + 3)/√(2x ² + 3x + 1) dx

Solución:

Dado que l = ∫(4x + 3)/√(2x ² + 3x + 1) dx ……(i)

Consideremos 2x ² + 3x + 1 = t entonces,

Al diferenciar ambos lados obtenemos,

d(2x ² + 3x + 1) = dt

(4x + 3)dx = dt

Ahora al poner 2x ² + 3x + 1 = t y (4x + 3)dx = dt en la ecuación (i), obtenemos

yo = ∫dt/√t

= ∫t ^-1/2 dt

= 2t ^1/2 + c

= 2√t + c

Por lo tanto, yo = 2√(2x ² + 3x + 1) + c

Pregunta 23. ∫1/(1 + √x) dx

Solución:

Dado que I = ∫1/(1 + √x) dx …….(i)

Consideremos x = t ² entonces,

Al diferenciar ambos lados obtenemos,

dx = d(t ² )

dx = 2tdt

Ahora, al poner x = t ² y dx = 2tdt en la ecuación (i), obtenemos

yo = ∫2t/(1 + √(t ² )) dt

= ∫2t/(1 + t) dt

= 2∫t/(1 + t) dt

= 2∫(1 + t – 1)/(1 + t) dt

= 2⌋[(1 + t)/(1 + t) – 1/(1 + t)]dt

= 2∫dt – 2∫1/(1 + t) dt

= 2t – 2log⁡|(1 + t)| +c

= 2√x – 2log⁡|(1 + √x)| +c

Por lo tanto, yo = 2√x – 2log⁡|(1 + √x)| +c

Pregunta 24. $∫e^{cos^{2}x} sin⁡2xdx$

Solución:

Dado que I = $∫e^{cos^{2}x} sin⁡2xdx$ …….(i)

Consideremos cos ² x = t entonces,

Al diferenciar ambos lados obtenemos,

d(cos ² ⁡x) = dt

-2cos⁡x sen⁡x dx = dt

-sin⁡2x dx = dt

sin⁡2x dx = -dt

Ahora al poner cos ² ⁡x = t y sin⁡2x dx = -dt en la ecuación (i), obtenemos

yo = ∫e ^t (-dt)

= -e ^t + c

= – $e^{cos^{2}x}$ + c

Por lo tanto, yo = – $e^{cos^{2}x}$ + c

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por anandchaturvedirishra y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 19 Integrales indefinidas – Ejercicio 19.9 | Serie 1

Evalúa las siguientes integrales:

Pregunta 1. ∫(log⁡x)/x dx

Pregunta 2.∫(log⁡(1 + 1/x))/(x(1 + x)) dx

Pregunta 3. ∫((1 + √x ) ² )/√x dx

Pregunta 4. ∫√(1 + e ^x ) e ^x d

Pregunta 5. ∫∛(cos ² x) sen⁡x dx

Pregunta 6. ∫e ^x /(1 + e ^x ) ² dx

Pregunta 7. ∫cot ³ ⁡x cosec ² ⁡x dx

pregunta 8 $∫\frac{(e^{sin^{-1} x})^2}{\sqrt{1-x^2}} dx$

Pregunta 9. ∫(1 + sin⁡x)/√(x – cos⁡x) dx

Pregunta 10. ∫1/(√(1 – x ² ) (sen ^-1 x) ² ) dx

Pregunta 11. ∫(cot⁡x)/√(sen⁡x) dx

Pregunta 12. ∫(tan⁡x)/√(cos⁡x) dx

Pregunta 13. ∫cos ³ x/√(sen⁡x) dx

Pregunta 14. ∫(sen ³ x)/√(cos⁡x) dx

Pregunta 15. ∫1/(√(tan ^-1 x) (1 + x ² )) dx

Pregunta 16. ∫√(tan⁡x)/(sen⁡xcos⁡x) dx

Pregunta 17. 1/x × (log⁡x) ² dx

Pregunta 18. ∫sen ⁵ x cos⁡x dx

Pregunta 19. ∫tan ^3/2 ⁡x seg ² ⁡x dx

Pregunta 20. ∫(x ³ )/(x ² + 1) ² dx

Pregunta 21. ∫(4x + 2)√(x ² + x + 1) dx

Pregunta 22. ∫(4x + 3)/√(2x ² + 3x + 1) dx

Pregunta 23. ∫1/(1 + √x) dx

Pregunta 24. $∫e^{cos^{2}x} sin⁡2xdx$

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Evalúa las siguientes integrales:

Pregunta 1. ∫(log⁡x)/x dx

Pregunta 2.∫(log⁡(1 + 1/x))/(x(1 + x)) dx

Pregunta 3. ∫((1 + √x ) 2 )/√x dx

Pregunta 4. ∫√(1 + e x ) e x d

Pregunta 5. ∫∛(cos 2 x) sen⁡x dx

Pregunta 6. ∫e x /(1 + e x ) 2 dx

Pregunta 7. ∫cot 3 ⁡x cosec 2 ⁡x dx

pregunta 8

Pregunta 9. ∫(1 + sin⁡x)/√(x – cos⁡x) dx

Pregunta 10. ∫1/(√(1 – x 2 ) (sen -1 x) 2 ) dx

Pregunta 11. ∫(cot⁡x)/√(sen⁡x) dx

Pregunta 12. ∫(tan⁡x)/√(cos⁡x) dx

Pregunta 13. ∫cos 3 x/√(sen⁡x) dx

Pregunta 14. ∫(sen 3 x)/√(cos⁡x) dx

Pregunta 15. ∫1/(√(tan -1 x) (1 + x 2 )) dx

Pregunta 16. ∫√(tan⁡x)/(sen⁡xcos⁡x) dx

Pregunta 17. 1/x × (log⁡x) 2 dx

Pregunta 18. ∫sen 5 x cos⁡x dx

Pregunta 19. ∫tan 3/2 ⁡x seg 2 ⁡x dx

Pregunta 20. ∫(x 3 )/(x 2 + 1) 2 dx

Pregunta 21. ∫(4x + 2)√(x 2 + x + 1) dx

Pregunta 22. ∫(4x + 3)/√(2x 2 + 3x + 1) dx

Pregunta 23. ∫1/(1 + √x) dx

Pregunta 24.

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Pregunta 3. ∫((1 + √x ) ² )/√x dx

Pregunta 4. ∫√(1 + e ^x ) e ^x d

Pregunta 5. ∫∛(cos ² x) sen⁡x dx

Pregunta 6. ∫e ^x /(1 + e ^x ) ² dx

Pregunta 7. ∫cot ³ ⁡x cosec ² ⁡x dx

pregunta 8 $∫\frac{(e^{sin^{-1} x})^2}{\sqrt{1-x^2}} dx$

Pregunta 10. ∫1/(√(1 – x ² ) (sen ^-1 x) ² ) dx

Pregunta 13. ∫cos ³ x/√(sen⁡x) dx

Pregunta 14. ∫(sen ³ x)/√(cos⁡x) dx

Pregunta 15. ∫1/(√(tan ^-1 x) (1 + x ² )) dx

Pregunta 17. 1/x × (log⁡x) ² dx

Pregunta 18. ∫sen ⁵ x cos⁡x dx

Pregunta 19. ∫tan ^3/2 ⁡x seg ² ⁡x dx

Pregunta 20. ∫(x ³ )/(x ² + 1) ² dx

Pregunta 21. ∫(4x + 2)√(x ² + x + 1) dx

Pregunta 22. ∫(4x + 3)/√(2x ² + 3x + 1) dx

Pregunta 24. $∫e^{cos^{2}x} sin⁡2xdx$