Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 19 Integrales indefinidas – Ejercicio 19.9

Pregunta 25. ∫(1 + cos⁡x)/((x + sen⁡x) ³ ) dx

Solución:

Dado que I = ∫(1 + cos⁡x)/((x + sin⁡x) ³ ) dx …..(i)

x + sen⁡x = t entonces,

d(x + sen⁡x) = dt

(1 + cos⁡x)dx = dt

x + sin⁡x = t y (1 + cos⁡x)dx = dt en la ecuación (i), obtenemos

yo = ∫ dt/t ³

= ∫ t ^-3 dt

= t ^-2 /-2 + c

= -1/(2t ² ) + c

= (-1)/(2(x + sen⁡x) ² ) + c

Por lo tanto, yo = (-1)/(2(x + sen⁡x) ² ) + c

Pregunta 26. ∫(cos⁡x – sen⁡x)/(1 + sen⁡2x) dx

Solución:

Dado que I = (cos⁡x – sin⁡x)/(1 + sin⁡2x)

= (cos⁡x – sin⁡x)/((sin ² ⁡x + cos ² ⁡x) + 2sin⁡xcos⁡x) [Porque sin ² ⁡x + cos ² ⁡x = 1 y sin⁡2x = 2sin⁡ xcos⁡x]

sen⁡x + cos⁡x = t

(cos⁡x – sen⁡x)dx = dt

Ahora,

= ∫(cos⁡x – sen⁡x)/(1 + sen⁡2x) dx

= ∫(cos⁡x – sen⁡x)/((sen⁡x + cos⁡x) ² ) dx

= ∫dt/t ²

= ∫t ^-2 dt

= -t ^-1 + c

= -1/t + c

Por lo tanto, yo = (-1)/(sen⁡x + cos⁡x) + c

Pregunta 27. ∫(sen⁡2x)/(a + bcos⁡2x) ² dx

Solución:

Dado que I = ∫(sen⁡2x)/((a + bcos⁡2x) ² ) dx ……(i)

a + bcos⁡2x = t entonces,

(a + bcos⁡2x) = dt

b(-2sen⁡2x)dx = dt

sin⁡2x dx = -dt/2b

a + bcos⁡2x = t y sin⁡2xdx = -dt/2b en la ecuación (i), obtenemos

yo = ∫1/t ² × (-dt)/2b

= (-1)/2b ∫ t ^-2 dt

= -1/2b (-1t ^-1 ) + c

= 1/2bt + c

= 1/(2b(a + bcos⁡2x)) + c

Por lo tanto, yo = 1/(2b(a + bcos⁡2x)) + c

Pregunta 28. ∫(log⁡x ² )/x dx

Solución:

Dado que I = ∫(log⁡x ² )/x dx ……..(i)

log⁡x = t entonces,

d(log⁡x) = dt

1/x dx = dt

dx/x = dt

Ahora, yo = ∫(log⁡x ² )/x dx

= ∫(2log⁡x)/x dx

= 2∫(log⁡x)/x dx …….(ii)

log⁡x = t y dx/x = dt en la ecuación (ii), obtenemos

yo = 2∫tdt

= (2t ² )/2 + c

= t ² + c

yo = (log⁡x) ² + c

Pregunta 29. ∫(sen⁡x)/(1 + cos⁡x) ² dx

Solución:

Dado que I = ∫(sen⁡x)/((1 + cos⁡x) ² ) dx …..(i)

1 + cos⁡x = t entonces,

d(1 + cos⁡x) = dt

-sin⁡xdx = dt

sen⁡xdx = -dt

1 + cos⁡x = t y sin⁡dx = -dt en la ecuación (i), obtenemos

yo = ∫(-dt)/t ²

= -∫t ^-2 dt

= -(-1t ^-1 ) + c

= 1/t + c

= 1/(1 + cos⁡x) + c

Por lo tanto, yo = 1/(1 + cos⁡x) + c

Pregunta 30. ∫cot⁡x log⁡ sin⁡x dx

Solución:

Dado que I = ∫cot⁡x log⁡ sin⁡x dx

Consideremos log⁡ sin⁡x = t

1/(sen⁡x).cos⁡xdx = dt

cuna⁡x dx = dt

∫cot⁡x log⁡ sin⁡x dx = ∫tdt

= t ² /2 + c

= 1/2(log⁡sin⁡x) ² + c

Pregunta 31. ∫sec⁡x.log⁡(sec⁡x + tan⁡x)dx

Solución:

Dado que I = ∫sec⁡x.log⁡(sec⁡x + tan⁡x)dx ……..(i)

Consideremos log⁡(sec⁡x + tan⁡x) = t entonces,

d[log⁡(seg⁡x + tan⁡x)] = dt

sec⁡x dx = dt [Ya que, d/dx(log⁡(sec⁡x + tan⁡x)) = sec⁡x]

log⁡(sec⁡x + tan⁡x) = t y sec⁡x dx = dt en la ecuación (i), obtenemos

yo = ∫tdt

= t ² /2 + c

= 1/2[log⁡(seg⁡x + tan⁡x)] ² + c

Por lo tanto, yo = 1/2[log⁡(sec⁡x + tan⁡x)] ² + c

Pregunta 32. ∫cosec⁡x log⁡(cosec⁡x – cot⁡x)dx

Solución:

Dado que I = ∫cosec⁡x log⁡(cosec⁡x – cot⁡x)dx ……(i)

Consideremos log⁡(cosec⁡x – cot⁡x) = t entonces,

dx[log⁡(cosec⁡x – cot⁡x)] = dt

cosec⁡x dx = dt [ Dado que, d/dx(log⁡(cosec⁡x – cot⁡x)) = cosec⁡x]

log⁡(cosec⁡x – cot⁡x) = t y cosec⁡xdx = dt en la ecuación (i), obtenemos

yo = ∫tdt

= t ² /2 + c

Por lo tanto, yo = 1/2[log⁡(cosec⁡x – cot⁡x)] ² + c

Pregunta 33. ∫x ³ cos⁡x ⁴ dx

Solución:

Dado que I = ∫x ³ cos⁡x ⁴ dx …….(i)

Consideremos x ⁴ = t entonces,

dx(x ⁴ ) = dt

4x ³ dx = dt

x3 ⁼ dt/4

x ⁴ = t y x ³ dx = dt/4 en la ecuación (i), obtenemos

yo = ∫ cos⁡t dt/4

= 1/4sent + c

Por lo tanto, I = 1/4senx ⁴ + c

Pregunta 34. ∫x ³ sen⁡x ⁴ dx

Solución:

Dado que I = ∫x ³ sen⁡x ⁴ dx …..(i)

Consideremos x ⁴ = t entonces,

d(x ⁴ ) = dt

4x ³ dx = dt

x3 ⁼ dt/4

x ⁴ = t y x ³ dx = dt/4 en la ecuación (i), obtenemos

yo = ∫sen⁡t dt/4

= 1/4 ∫sen⁡t dt

= -1/4 costo⁡t + c

Por lo tanto, yo = -1/4 cos⁡x ⁴ + c

Pregunta 35. ∫(xsen ^-1 x ² )/√(1 – x ⁴ ) dx

Solución:

Dado que I = ∫(xsen ^-1 ⁡x ² )/√(1 – x ⁴ ) dx …….(i)

Consideremos sen ^-1 x ² = t entonces,

d(sen ^-1 x ² ) = dt

2x × 1/√(1 – x ⁴ ) dx = dt

x/√(1 – x ⁴ ) dx = dt/2

sen ^-1 x ² = t y x/√(1 – x ⁴ ) dx = dt/2 en la ecuación (i), obtenemos

yo = ∫t dt/2

= 1/2 × t ² /2 + c

= 1/4 (sen ^-1 x ² ) ² + c

Por tanto, I = 1/4 (sen ^-1 x ² ) ² + c

Pregunta 36. ∫x ³ sen⁡(x ⁴ + 1)dx

Solución:

Dado que I = ∫x ³ sin⁡(x ⁴ + 1)dx ……..(i)

Consideremos x ⁴ + 1 = t entonces,

d(x ⁴ + 1) = dt

x ³ dx = dt/4

x ⁴ + 1 = t y x ³ dx = dt/4 en la ecuación (i), obtenemos

yo = ∫ sin⁡t dt/4

= -1/4 costo⁡t + c

= -1/4 cos⁡(x ⁴ + 1) + c

Por lo tanto, yo = -1/4 cos⁡(x ⁴ + 1) + c

Pregunta 37. ∫(x + 1)e ^x /(cos ² ⁡(xe ^x ) dx

Solución:

Dado que I = ∫((x + 1)e ^x )/(cos ² ⁡(xe ^x )) dx ……(i)

Consideremos xe ^x = t entonces,

d(xe ^x ) = dt

(e ^x + xe ^x )dx = dt

(x + 1)e ^x dx = dt

xe ^x = t y (x + 1)e ^x dx = dt en la ecuación (i), obtenemos

yo = ∫dt/(cos ² ⁡t)

= ∫ seg ² tdt

= bronceado⁡t + c

= tan⁡(xe ^x ) + c

Por lo tanto, yo = tan⁡(xe ^x ) + c

Pregunta 38. $∫x^2 e^{x^3} cos⁡(e^{x^3})dx$

Solución:

Dado que I = $∫x^2 e^{x^3} cos⁡(e^{x^3})dx$ ……..(i)

Consideremos $e^{x^3}$ = t entonces,

d( $e^{x^3}$ ) = dt

3x ² $e^{x^3}$ dx = dt

x ² $e^{x^3}$ dx = dt/3

$e^{x^3}$ = t y x ² $e^{x^3}$ dx = dt/3 en la ecuación (i), obtenemos

yo = ∫cos⁡t dt/3

= (sen⁡t)/3 + c

Por lo tanto, I = sen⁡( $e^{x^3}$ )/3 + c

Pregunta 39. ∫2xsec ³ (x ² + 3)tan⁡(x ² + 3)dx

Solución:

Dado que I = ∫2xsec ³ (x ² + 3)tan⁡(x ² + 3)dx ………(i)

Consideremos sec⁡(x ² + 3) = t entonces,

d[seg⁡(x ² + 3)] = dt

2xsec⁡(x ² + 3)tan⁡(x ² + 3)dx = dt

sec⁡(x ² + 3) = t y 2xsec⁡(x ² + 3)tan⁡(x ² + 3)dx = dt en la ecuación (i), obtenemos

yo = ∫t ² dt

= t ³ /3 + c

= 1/3 [seg⁡(x ² + 3)] ³ + c

Por lo tanto, yo = 1/3 [seg⁡(x ² + 3)] ³ + c

Pregunta 40. ∫(1 + 1/x)(x + log⁡x) ² dx

Solución :

Dado que I = ((x + 1)(x + log⁡x) ² )/x

= ((x + 1)/x)(x + log⁡x) ²

= (1 + 1/x)(x + log⁡x) ²

Consideremos (x + log⁡x) = t

(1 + 1/x)dx = dt

Ahora,

yo = ∫(1 + 1/x)(x + log⁡x) ² dx

= ∫t ² dt

= t ³ /3 + c

Por lo tanto, yo = 1/3(x + log⁡x) ³ + c

Pregunta 41. ∫tan⁡x sec ² ⁡x√(1 – tan ² x) dx

Solución:

Dado que I = ∫tan⁡x sec ² ⁡x√(1 – tan ² x) dx ………(i)

Consideremos 1 – tan ² ⁡x = t entonces,

d(1 – tan ² x) = dt

-2tan⁡x seg ^2⁡x dx = dt

tan⁡x seg ² ⁡x dx = (-dt)/2

1 – tan ² x = t y tan⁡x sec ² ⁡x dx = -dt/2 en la ecuación (i), obtenemos

yo = ∫√t × (-dt)/2

=-1/2 ∫t ^1/2 dt

=-1/2×t ^3/2 /(3/2) + c

=-1/3 t ^3/2 + c

Por lo tanto, yo = -1/3 [1 – tan ² ⁡x] ^3/2 + c

Pregunta 42.∫log⁡x (sen⁡(1 + (log⁡x) ² )/x dx

Solución:

Dado que I = ∫log⁡x (sin⁡(1 + (log⁡x) ² )/x dx ……..(i)

1 + (log⁡x) ² = t y (log⁡x)/x dx = dt/2 en la ecuación (i), obtenemos

yo = ∫sen⁡t × dt/2

= 1/2 ∫ sen⁡tdt

= -1/2 costo⁡t + c

= -1/2 cos⁡[1 + (log⁡x) ² ] + c

Por lo tanto, yo = -1/2 cos⁡[1 + (log⁡x) ² ] + c

Pregunta 43.∫ 1/x ² × (cos ² (1/x))dx

Solución:

Dado que I = ∫ 1/x ² × (cos ² ⁡(1/x))dx ……(i)

Consideremos 1/x = t entonces,

d(1/x) = dt

(-1)/x ² dx = dt

1/x ² dx = -dt

1/x = t y 1/x ² dx = -dt en la ecuación (i), obtenemos

yo = ∫cos ² t(-dt)

= -∫cos ² tdt

= -∫(cos2t + 1)/2 dt

= -1/2 ∫cos⁡2t dt – 1/2 ∫dt

= -1/2 × (sen⁡2t)/2 – 1/2 t + c

= -1/4 sen⁡2t – 1/2 t + c

= -1/4 sin⁡2 × 1/x – 1/2 × 1/x + c

Por lo tanto, yo = -1/4 sen⁡(2/x) – 1/2 (1/x) + c

Pregunta 44. ∫sec ⁴ x tan⁡x dx

Solución:

Dado que I = ∫sec ⁴ x tan⁡x dx ……(i)

Consideremos tan⁡x = t entonces,

d (tan⁡x) = dt

seg ² xdx = dt

dx = dt/seg ² ⁡x

tan⁡x = t y dx = dt/(sec ² ⁡x) en la ecuación (i), obtenemos

yo = ∫seg ⁴ x tan⁡x dt/(seg ² ⁡x)

= ∫ seg ² x tdt

= ∫ (1 + bronceado ² ⁡x)tdt

= ∫(1 + t ² )tdt

= ∫(t + t ³ )dt

= t ² /2 + t ⁴ /4 + c

= (broncearse ² ⁡x)/2 + (broncearse ⁴ ⁡x)/4 + c

Por lo tanto, I = 1/2 tan ² ⁡x + 1/4 tan ⁴ ⁡x + c

Pregunta 45. ∫(e ^√x cos⁡(e ^√x ))/√x dx

Solución:

Dado que I = ∫(e ^√x cos⁡(e ^√x ))/√x dx …….(i)

Consideremos e ^√x = t entonces,

d(e ^√x ) = dt

e ^√x (1/(2√x))dx = dt

e ^√x /√x dx = 2dt

e ^√x = t y e ^√x /√x dx = 2dt en la ecuación (i), obtenemos

yo = ∫ cos⁡t × 2dt

= 2∫ cos⁡tdt

= 2sen⁡t + c

= 2sen⁡(e ^√x ) + c

yo = 2sen⁡(e ^√x ) + c

Pregunta 46. ∫(cos ⁵ x)/(sen⁡x) dx

Solución:

Dado que I = ∫(cos ⁵ ⁡x)/(sin⁡x) dx …..(i)

Consideremos sen⁡x = t entonces,

d(sen⁡x) = dt

cos⁡x dx = dt

dx = dt/(cos⁡x)

sin⁡x = t y dx = dt/(cos⁡x) en la ecuación (i), obtenemos

yo = ∫(cos ⁵ ⁡x)/t × dt/(cos ⁡x)

= ∫(cos ⁴ ⁡x)/t dt

= ∫(1 – sen ² ⁡x) ² /t dt

= ∫(1 – t ² ) ² /t dt

= ∫(1 + t ⁴ – 2t ² )/t dt

= ∫1/t dt + ∫t ⁴ /t dt – 2∫t ² /t dt

= log⁡|t| + t ⁴ /4 – (2t ² )/2 + c

= log⁡|sin⁡x| + (sen ⁴ ⁡x)/4 – sin ² ⁡x + c

Por lo tanto, I = 1/4 sin ⁴ x – sin ² x + log⁡|sin⁡x| +c

Pregunta 47. ∫(sen⁡√x)/√x dx

Solución:

Dado que I = ∫(sin⁡√x)/√x dx

Consideremos √x = t entonces,

1/(2√x) dx = dt

1/√x dx = 2dt

Ahora,

yo = ∫(sen⁡√x)/√x dx

= 2 ∫sint dt

= -2 costo⁡t + c

Por lo tanto, yo = -2cos⁡√x + c

Pregunta 48. ∫((x + 1)e ^x )/(sen ² (xe ^x )) dx

Solución:

Dado que I = ∫((x + 1)e ^x )/(sen ² ⁡(xe ^x )) dx …….(i)

Consideremos xe ^x = t entonces,

d(xe ^x ) = dt

(xe ^x + e ^x )dx = dt

(x + 1)e ^x dx = dt

xe ^x = t y (x + 1)e ^x dx = dt en la ecuación (i), obtenemos

yo = ∫dt/(sen ² t)

= ∫cos⁡ec ² t dt

= -cuna + c

Por lo tanto, yo = -cot⁡(xe ^x ) + c

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Artículo escrito por anandchaturvedirishra y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 19 Integrales indefinidas – Ejercicio 19.9 | conjunto 2

Pregunta 25. ∫(1 + cos⁡x)/((x + sen⁡x) ³ ) dx

Pregunta 26. ∫(cos⁡x – sen⁡x)/(1 + sen⁡2x) dx

Pregunta 27. ∫(sen⁡2x)/(a + bcos⁡2x) ² dx

Pregunta 28. ∫(log⁡x ² )/x dx

Pregunta 29. ∫(sen⁡x)/(1 + cos⁡x) ² dx

Pregunta 30. ∫cot⁡x log⁡ sin⁡x dx

Pregunta 31. ∫sec⁡x.log⁡(sec⁡x + tan⁡x)dx

Pregunta 32. ∫cosec⁡x log⁡(cosec⁡x – cot⁡x)dx

Pregunta 33. ∫x ³ cos⁡x ⁴ dx

Pregunta 34. ∫x ³ sen⁡x ⁴ dx

Pregunta 35. ∫(xsen ^-1 x ² )/√(1 – x ⁴ ) dx

Pregunta 36. ∫x ³ sen⁡(x ⁴ + 1)dx

Pregunta 37. ∫(x + 1)e ^x /(cos ² ⁡(xe ^x ) dx

Pregunta 38. $∫x^2 e^{x^3} cos⁡(e^{x^3})dx$

Pregunta 39. ∫2xsec ³ (x ² + 3)tan⁡(x ² + 3)dx

Pregunta 40. ∫(1 + 1/x)(x + log⁡x) ² dx

Pregunta 41. ∫tan⁡x sec ² ⁡x√(1 – tan ² x) dx

Pregunta 42.∫log⁡x (sen⁡(1 + (log⁡x) ² )/x dx

Pregunta 43.∫ 1/x ² × (cos ² (1/x))dx

Pregunta 44. ∫sec ⁴ x tan⁡x dx

Pregunta 45. ∫(e ^√x cos⁡(e ^√x ))/√x dx

Pregunta 46. ∫(cos ⁵ x)/(sen⁡x) dx

Pregunta 47. ∫(sen⁡√x)/√x dx

Pregunta 48. ∫((x + 1)e ^x )/(sen ² (xe ^x )) dx

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Pregunta 25. ∫(1 + cos⁡x)/((x + sen⁡x) 3 ) dx

Pregunta 26. ∫(cos⁡x – sen⁡x)/(1 + sen⁡2x) dx

Pregunta 27. ∫(sen⁡2x)/(a + bcos⁡2x) 2 dx

Pregunta 28. ∫(log⁡x 2 )/x dx

Pregunta 29. ∫(sen⁡x)/(1 + cos⁡x) 2 dx

Pregunta 30. ∫cot⁡x log⁡ sin⁡x dx

Pregunta 31. ∫sec⁡x.log⁡(sec⁡x + tan⁡x)dx

Pregunta 32. ∫cosec⁡x log⁡(cosec⁡x – cot⁡x)dx

Pregunta 33. ∫x 3 cos⁡x 4 dx

Pregunta 34. ∫x 3 sen⁡x 4 dx

Pregunta 35. ∫(xsen -1 x 2 )/√(1 – x 4 ) dx

Pregunta 36. ∫x 3 sen⁡(x 4 + 1)dx

Pregunta 37. ∫(x + 1)e x /(cos 2 ⁡(xe x ) dx

Pregunta 38.

Pregunta 39. ∫2xsec 3 (x 2 + 3)tan⁡(x 2 + 3)dx

Pregunta 40. ∫(1 + 1/x)(x + log⁡x) 2 dx

Pregunta 41. ∫tan⁡x sec 2 ⁡x√(1 – tan 2 x) dx

Pregunta 42.∫log⁡x (sen⁡(1 + (log⁡x) 2 )/x dx

Pregunta 43.∫ 1/x 2 × (cos 2 (1/x))dx

Pregunta 44. ∫sec 4 x tan⁡x dx

Pregunta 45. ∫(e √x cos⁡(e √x ))/√x dx

Pregunta 46. ∫(cos 5 x)/(sen⁡x) dx

Pregunta 47. ∫(sen⁡√x)/√x dx

Pregunta 48. ∫((x + 1)e x )/(sen 2 (xe x )) dx

Deja una respuesta Cancelar la respuesta

Pregunta 25. ∫(1 + cos⁡x)/((x + sen⁡x) ³ ) dx

Pregunta 27. ∫(sen⁡2x)/(a + bcos⁡2x) ² dx

Pregunta 28. ∫(log⁡x ² )/x dx

Pregunta 29. ∫(sen⁡x)/(1 + cos⁡x) ² dx

Pregunta 33. ∫x ³ cos⁡x ⁴ dx

Pregunta 34. ∫x ³ sen⁡x ⁴ dx

Pregunta 35. ∫(xsen ^-1 x ² )/√(1 – x ⁴ ) dx

Pregunta 36. ∫x ³ sen⁡(x ⁴ + 1)dx

Pregunta 37. ∫(x + 1)e ^x /(cos ² ⁡(xe ^x ) dx

Pregunta 38. $∫x^2 e^{x^3} cos⁡(e^{x^3})dx$

Pregunta 39. ∫2xsec ³ (x ² + 3)tan⁡(x ² + 3)dx

Pregunta 40. ∫(1 + 1/x)(x + log⁡x) ² dx

Pregunta 41. ∫tan⁡x sec ² ⁡x√(1 – tan ² x) dx

Pregunta 42.∫log⁡x (sen⁡(1 + (log⁡x) ² )/x dx

Pregunta 43.∫ 1/x ² × (cos ² (1/x))dx

Pregunta 44. ∫sec ⁴ x tan⁡x dx

Pregunta 45. ∫(e ^√x cos⁡(e ^√x ))/√x dx

Pregunta 46. ∫(cos ⁵ x)/(sen⁡x) dx

Pregunta 48. ∫((x + 1)e ^x )/(sen ² (xe ^x )) dx