La trigonometría es básicamente el estudio de la relación entre los ángulos y los lados de un triángulo. Es uno de los temas más utilizados de las Matemáticas que se utiliza en la vida diaria. Se trata de operaciones sobre un triángulo rectángulo, es decir, un triángulo que tiene uno de los ángulos igual a 90°. Hay algunos términos que debemos conocer antes de continuar. Estos términos son,
- Hipotenusa: Es el lado opuesto al ángulo recto en un triángulo rectángulo. Es el lado más largo de un triángulo rectángulo. En la Figura 1, el lado AC es la hipotenusa.
- Perpendicular: la perpendicular de un triángulo, correspondiente a un ángulo θ particularmente agudo, es el lado opuesto al ángulo θ. En la Figura 1, el lado AB es la perpendicular correspondiente al ángulo θ.
- Base – Es el lado adyacente a un ángulo particularmente agudo θ. En la figura 1, el lado BC es la base correspondiente al ángulo θ.
Figura 1
Como se dijo anteriormente, la trigonometría representa la relación entre los ángulos y los lados de un triángulo rectángulo. Esta relación está representada por razones estándar y se da de la siguiente manera
- Seno (sin) – El seno de un ángulo θ es la relación entre la longitud de la perpendicular, correspondiente al ángulo θ, y la longitud de la hipotenusa del triángulo.
- Coseno (cos) – El coseno de un ángulo θ es la razón de la longitud de la base, correspondiente al ángulo θ, a la longitud de la hipotenusa del triángulo.
- Tangente (tan) – La tangente de un ángulo θ es la relación entre la longitud de la perpendicular, correspondiente al ángulo θ, y la longitud de la base para el ángulo particular del triángulo.
- Cotangente (cot) – Es el recíproco de la tangente.
- Secante (seg) – Es el recíproco del coseno.
- Cosecante (cosec) – Es el recíproco del seno.
Si A y B son ángulos agudos tales que cosA = cosB, entonces demuestre que A = B
Solución:
Dado,
cos A = cos B
Supongamos que el triángulo se parece a la figura 2, con ángulos agudos A y B.
Figura 2
Entonces cos A = AC/AB ⇢ (i)
cos B = BC/AB ⇢ (ii)
Ya que, cos A = cos B
Por lo tanto,
AC/AB = BC/AB
Para que la ecuación sea correcta, AC debe ser igual a BC
=> ángulo A = ángulo B (ya que los ángulos opuestos a los lados iguales son iguales)
Preguntas similares
Pregunta 1: Si A y B son ángulos agudos tales que sen A = sen B, comprueba si A = B.
Solución:
Dado,
sen A = sen B
Supongamos que el triángulo se parece a la figura 2, con ángulos agudos A y B.
Entonces sen A = BC/AB ⇢ (i)
sen B = AC/AB ⇢ (ii)
Ya que, sen A = sen B
Por lo tanto,
AC/AB = AC/AB
Para que la ecuación sea correcta, AC debe ser igual a BC
=> ángulo A = ángulo B (ya que los ángulos opuestos a los lados iguales son iguales)
Pregunta 2: Si A y B son ángulos agudos tales que tan A = tan B, comprueba si A = B.
Solución:
Dado,
bronceado A = bronceado B
Supongamos que el triángulo se parece a la figura 2, con ángulos agudos A y B.
Entonces tan A = BC/AC ⇢ (i)
tan B = AC/BC ⇢ (ii)
Dado que tan A = tan B
Por lo tanto,
BC/CA = CA/BC
Para que la ecuación sea correcta, AC debe ser igual a BC
=> ángulo A = ángulo B (ya que los ángulos opuestos a los lados iguales son iguales)
Pregunta 3: Si A y B son ángulos agudos tales que cot A = cot B, comprueba si A = B.
Solución:
Dado,
cuna A = cuna B
Supongamos que el triángulo se parece a la figura 2, con ángulos agudos A y B.
Entonces cot A = AC/BC ⇢ (i)
cuna B = BC/AC ⇢ (ii)
Ya que cuna A = cuna B
Por lo tanto,
CA/BC = BC/CA
Para que la ecuación sea correcta, AC debe ser igual a BC
=> ángulo A = ángulo B (ya que los ángulos opuestos a los lados iguales son iguales)
Pregunta 4: Si A y B son ángulos agudos tales que sec A = sec B entonces verifica si A = B.
Solución:
Dado,
segundo A = segundo B
Supongamos que el triángulo se parece a la figura 2, con ángulos agudos A y B.
Entonces sec A = AB/AC ⇢ (i)
segundo B = AB/BC ⇢ (ii)
Dado que, sec A = sec B
Por lo tanto,
AB/AC = AB/BC
Para que la ecuación sea correcta, AC debe ser igual a BC
=> ángulo A = ángulo B (ya que los ángulos opuestos a los lados iguales son iguales)
Pregunta 5: Si A y B son ángulos agudos tales que cosec A = cosec B entonces comprueba si A = B.
Solución:
Dado,
cosec A = cosec B
Supongamos que el triángulo se parece a la figura 2, con ángulos agudos A y B.
Entonces cosec A = AB/BC ⇢ (i)
cosec B = AB/AC ⇢ (ii)
Dado que, cosec A = cosec B
Por lo tanto,
AB/BC = AB/AC
Para que la ecuación sea correcta, AC debe ser igual a BC
=> ángulo A = ángulo B (ya que los ángulos opuestos a los lados iguales son iguales)
Entonces, en general, podemos decir que si la razón trigonométrica de un ángulo agudo es igual a la razón trigonométrica de otro ángulo agudo, entonces los ángulos deberían ser iguales.