Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 17 Funciones crecientes y decrecientes – Ejercicio 17.2 | conjunto 3

Posted on by Rudeus Greyrat

Pregunta 26. Encuentra los intervalos en los que f(x) = log (1 + x) – x/(1 + x) es creciente o decreciente.

Solución:

Tenemos,

f(x) = registro (1 + x) – x/(1 + x)

Al diferenciar ambos lados con respecto a x, obtenemos

f'(x) = \frac{d}{dx}(\log(1+x) -\frac{x}{(1+x)})

f'(x) = \frac{1}{1+x}-\frac{(1+x)(1)-x(1)}{(1+x)^2}

f'(x) = \frac{1}{1+x}-\frac{1+x-x}{(1+x)^2}

f'(x) = \frac{1}{1+x}-\frac{1}{(1+x)^2}

f'(x) = \frac{1+x-1}{(1+x)^2}

f'(x) = \frac{x}{(1+x)^2}

Para f(x), necesitamos encontrar el punto crítico, así que obtenemos,

=> f'(x) = 0

=>  \frac{x}{(1+x)^2}  = 0

=> x = 0

Claramente, f'(x) > 0 si x > 0.

Además, f'(x) < 0 si –1 < x < 0 o x < –1.

Así f(x) es creciente en (0, ∞) y decreciente en (–∞, –1) ∪ (–1, 0).

Pregunta 27. Encuentra los intervalos en los que f(x) = (x + 2)e –x es creciente o decreciente.

Solución:

Tenemos,

f(x) = (x + 2)e –x

Al diferenciar ambos lados con respecto a x, obtenemos

f'(x) = \frac{d}{dx}((x + 2)e^{-x})

f'(x) = e –x – e –x (x + 2)

f'(x) = e –x (1 – x – 2)

f'(x) = e –x (x + 1)

Para f(x), necesitamos encontrar el punto crítico, así que obtenemos,

=> f'(x) = 0

=> e –x (x + 1) = 0

=> x = –1

Claramente, f'(x) > 0 si x < –1.

Además, f'(x) < 0 si x > –1.

Así f(x) es creciente en (–∞, –1) y decreciente en (–1, ∞).

Pregunta 28. Demuestra que la función f dada por f(x) = 10 x es creciente para todo x.

Solución:

Tenemos,

f(x) = 10x

Al diferenciar ambos lados con respecto a x, obtenemos

f'(x) = \frac{d}{dx}(10^x)

f'(x) = 10 x log 10

Ahora tenemos, x ∈ R, obtenemos

=> 10 x > 0

=> 10 x registro 10 > 0

=> f'(x) > 0

Por tanto, f(x) es creciente para todo x.

Por lo tanto probado.

Pregunta 29. Demuestra que la función f dada por f(x) = x – [x] es creciente en (0, 1).

Solución:

Tenemos,

f(x) = x – [x]

Al diferenciar ambos lados con respecto a x, obtenemos

f'(x) = \frac{d}{dx}(x - [x])

f'(x) = 1

Ahora tenemos,

=> 1 > 0

=> f'(x) > 0

Así, f(x) es creciente en el intervalo (0, 1).

Por lo tanto probado.

Pregunta 30. Demuestra que la función f(x) = 3x 5 + 40x 3 + 240x es creciente en R.

Solución:

Tenemos,

f(x) = 3x 5 + 40x 3 + 240x

Al diferenciar ambos lados con respecto a x, obtenemos

f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^5 + 40x^3 + 240x)

f'(x) = 15x 4 + 120x 2 + 240

f'(x) = 15 (x 4 + 8x 2 + 16)

f'(x) = 15 (x 2 + 4) 2

Ahora sabemos,

=> (x 2 + 4) 2 > 0

=> 15 (x 2 + 4) 2 > 0

=> f'(x) > 0

Por lo tanto, la f(x) dada es creciente en R.

Por lo tanto probado.

Pregunta 31. Demostrar que la función f dada por f(x) = log cos x es estrictamente creciente en (–π/2, 0) y estrictamente decreciente en (0, π/2).

Solución:

Tenemos,

f(x) = logaritmo cos x

Al diferenciar ambos lados con respecto a x, obtenemos

f'(x) = \frac{d}{dx}(\log \cos x)

f'(x) = \frac{1}{cosx}(-sinx)

f'(x) = \frac{-sinx}{cosx}

f'(x) = – tan x

Ahora para x ∈ (0, π/2), obtenemos

=> 0 <x <π/2

=> bronceado 0 < bronceado x < bronceado π/2

=> 0 < tan x < 1

=> tan x > 0

=> – tan x < 0

=> f'(x) < 0

También para x ∈ (–π/2, 0), tenemos,

=> –π/2 < x < 0

=> bronceado (–π/2) < bronceado x < bronceado 0

=> –1 < tan x < 0

=> tan x < 0

=> – tan x > 0

=> f'(x) > 0

Así, f(x) es estrictamente creciente en el intervalo (–π/2, 0) y estrictamente decreciente en el intervalo (0, π/2).

Por lo tanto probado.

Pregunta 32. Muestre que la función f dada por f(x) = x 3 – 3x 2 + 4x es estrictamente creciente en R.

Solución:

Tenemos,

f(x) = x 3 – 3x 2 + 4x 

Al diferenciar ambos lados con respecto a x, obtenemos

f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 4x)

f'(x) = 3x 2 – 6x + 4

f'(x) = 3 (x 2 – 2x + 1) + 1

f'(x) = 3 (x – 1) 2 + 1

Ahora sabemos,

=> (x – 1) 2 > 0

=> 3 (x – 1) 2 > 0

=> 3 (x – 1) 2 + 1 > 0

=> f'(x) > 0

Por tanto, f(x) es estrictamente creciente en R.

Por lo tanto probado.

Pregunta 33. Demostrar que la función f dada por f(x) = cos x es estrictamente decreciente en (0, π), creciente en (π, 2π) y ni creciente ni decreciente en (0, 2π).  

Solución:

Tenemos,

f(x) = cos x

Al diferenciar ambos lados con respecto a x, obtenemos

f'(x) = \frac{d}{dx}(cos x)

f'(x) = – sen x

Ahora para x ∈ (0, π), obtenemos

=> 0 <x <π

=> sen 0 < sen x < sen π

=> 0 < sen x < 0

=> sen x > 0

=> – sen x < 0

=> f'(x) < 0

También para x ∈ (π, 2π), obtenemos

=> π < x < 2π

=> sen 0 < sen x < sen π

=> 0 < sen x < 0

=> sen x < 0

=> – sen x > 0

=> f'(x) > 0

Así, f(x) es estrictamente creciente en el intervalo (π, 2π) y estrictamente decreciente en el intervalo (0, π).

Entonces, la función no es ni creciente ni decreciente en (0, 2π). 

Por lo tanto probado.

Pregunta 34. Muestre que f(x) = x 2 – x sen x es una función creciente en (0, π/2).  

Solución:

Tenemos,

f(x) = x 2 – x sen x 

Al diferenciar ambos lados con respecto a x, obtenemos

f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 - x sin x)

f'(x) = 2x – (x cos x + sen x) 

f'(x) = 2x – x cos x – sen x

Ahora para x ∈ (0, π/2), tenemos

=> 0 ≤ sen x ≤ 1

=> 0 ≤ porque x ≤ 1

Entonces, esto implica,

=> 2x – x cos x – sen x > 0

=> f'(x) > 0

Así, f(x) es una función creciente en el intervalo (0, π/2).

Por lo tanto probado.

Pregunta 35. Encuentra el(los) valor(es) de a para el cual f(x) = x 3 – ax es una función creciente en R. 

Solución:

Tenemos,

f(x) = x 3 – hacha

Al diferenciar ambos lados con respecto a x, obtenemos

f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - ax)

f'(x) = 3x 2 – a

Ahora sabemos que f(x) = x 3 – ax es una función creciente en R, obtenemos

=> f'(x) > 0

=> 3x 2 – a > 0

=> un < 3x 2

El punto crítico para 3x 2 = 0 será 0.

Entonces, obtenemos un ≤ 0.

Por lo tanto, los valores de a deben ser menores o iguales a 0.

Pregunta 36. Encuentra el valor de b para el cual la función f(x) = sen x – bx + c es una función decreciente en R.

Solución:

Tenemos,

f(x) = sen x – bx + c

Al diferenciar ambos lados con respecto a x, obtenemos

f'(x) = \frac{d}{dx}(sin x - bx + c)

f'(x) = cos x – b + 0

f'(x) = cos x – b 

Ahora sabemos que f(x) = sen x – bx + c es una función decreciente en R, obtenemos

=> f'(x) < 0

=> cos x – b < 0

=> b > cos x

El punto crítico para cos x = 0 será 1.

Entonces, obtenemos b ≥ 1.

Por lo tanto, los valores de b deben ser mayores o iguales a 1.

Pregunta 37. Muestre que f(x) = x + cos x – a es una función creciente en R para todos los valores de a.

Solución:

Tenemos,

f(x) = x + cos x – a

Al diferenciar ambos lados con respecto a x, obtenemos

f'(x) = \frac{d}{dx}(x + cos x - a)

f'(x) = 1 – sen x

f'(x) = sin^2\frac{x}{2}+cos^2\frac{x}{2}-2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}

f'(x) = (sin\frac{x}{2}-cos\frac{x}{2})^2

Ahora para x ∈ R, tenemos

=>  (sin\frac{x}{2}-cos\frac{x}{2})^2  > 0

=> f'(x) > 0

Por lo tanto, f(x) es una función creciente en R para todos los valores de a.

Por lo tanto probado.

Pregunta 38. Sea f definida en [0, 1] dos veces diferenciable tal que |f”(x)| ≤ 1 para todo x ∈ [0, 1]. Si f(0) = f(1), entonces demuestre que f'(x) < 1 para todo x ∈ [0, 1].

Solución:

Como f(0) = f(1) y f es diferenciable, podemos aplicar aquí el teorema de Rolle. Entonces, obtenemos

f(c) = 0 para algún c ∈ [0, 1].

Al aplicar el teorema del valor medio de Lagrange, obtenemos,

Para el punto c y x ∈ [0, 1], entonces tenemos

=> \frac{|f'(x)-f'(c)|}{x-c}=f''(d)

=> \frac{|f'(x)-0|}{x-c}=f''(d)

=> \frac{|f'(x)|}{x-c}=f''(d)

Como se nos da que |f”(d)| ≤ 1 para x ∈ [0, 1], obtenemos

=>  \frac{|f'(x)|}{x-c}  ≤ 1

=> |f'(x)| ≤ x – c

Ahora, como tanto x como c están en [0, 1], entonces x – c ∈ (0, 1).

Esto nos da, |f'(x)| < 1 para todo x ∈ (0, 1).

Por lo tanto probado.

Pregunta 39. Encuentra el intervalo en el que f(x) es creciente o decreciente:

(i) f(x) = x |x|, x ∈ R

Solución:

Tenemos,

f(x) = x |x|, x ∈ R

=> f(x)=\begin{cases}-x^2,x<0\\x^2,x>0\end{cases}

=> f'(x)=\begin{cases}-2x,x<0\\2x,x>0\end{cases}

=> f'(x) > 0 para todos los valores de x

Por lo tanto, f(x) es una función creciente para todos los valores reales.

(ii) f(x) = sen x + |sen x|, 0 < x ≤ 2π

Solución:

Tenemos,

f(x) = sen x + |sen x|, 0 < x ≤ 2π

=> f(x)=\begin{cases}2sinx,0 < x < π\\0,\pi < x \le 2π\end{cases}

=> f'(x)=\begin{cases}2cosx,0 < x < π\\0,\pi < x \le 2π\end{cases}

La función cos x es positiva entre el intervalo (0, π/2).

Por tanto, la función es creciente en el intervalo (0, π/2).

Además, la función cos x es negativa entre el intervalo (π/2, π).

Por tanto, la función es decreciente en el intervalo (0, π/2).

Ahora, para π ≤ x ≤ 2π, el valor de f'(x) es 0.

Por tanto, la función no es ni creciente ni decreciente en el intervalo (π, 2π).

(iii) f(x) = sen x (1 + cos x), 0 < x ≤ π/2

Solución:

Tenemos,

f(x) = sen x (1 + cos x)

Al diferenciar ambos lados con respecto a x, obtenemos

f'(x) = \frac{d}{dx}(sin x (1 + cos x))

f'(x) = sinx(-sinx)+(1+cosx)(cosx)

f'(x) = –sen 2 x + cos x + cos 2 x 

f'(x) = cos 2 x – sen 2 x + cos x

f'(x) = cos 2 x – (1 – cos 2 x) + cos x

f'(x) = cos 2 x – 1 + cos 2 x + cos x

f'(x) = 2 cos 2 x + cos x – 1

f'(x) = 2 cos 2 x + 2 cos x – cos x – 1

f'(x) = 2 cos x (cos x + 1) – 1 (cos x + 1)

f'(x) = (2 cos x – 1) (cos x + 1)

Para que f(x) sea creciente, debemos tener,

=> f'(x) > 0

=> (2 cos x – 1) (cos x + 1) > 0

=> 0 <x <π/3

=> x ∈ (0, π/3)

Para que f(x) sea decreciente, debemos tener,

=> f'(x) < 0

=> (2 cos x – 1) (cos x + 1) > 0

=> π/3 < x < π/2

=> x ∈ (π/3, π/2)

Así, f(x) es creciente en el intervalo x ∈ (0, π/3) y decreciente en el intervalo x ∈ (π/3, π/2).

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por gurjotloveparmar y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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