Demostrar que los números naturales son ilimitados

Los números naturales, que incluyen todos los números enteros positivos del 1 al infinito, son un componente del sistema numérico. Los números naturales, que no incluyen cero ni números negativos, también se conocen como números de conteo. Son solo números enteros positivos, no cero, fracciones, decimales o números negativos, y son un componente de los números reales.

Los números se pueden encontrar en todas partes a nuestro alrededor, y se utilizan para contar artículos, representar o intercambiar dinero, medir la temperatura, decir la hora, etc. Estos números se conocen como números naturales, ya que se utilizan para contar elementos. Además, una colección de todos los números enteros excepto el 0 se conoce como números naturales. Estas figuras juegan un papel importante en nuestras acciones y comunicaciones diarias.

¿Qué son los Números Naturales?

Los números naturales son aquellos que se pueden contar y son un componente de los números reales. Solo los números enteros positivos, como 1, 2, 3, 4, 5, 6, etc., se incluyen en el conjunto de números naturales. Los enteros no negativos también se conocen como números naturales (todos los enteros positivos).

23, 56, 78, 999, 100202, etc. son algunos ejemplos.

Conjunto de números naturales

Una colección de elementos se conoce como un conjunto. En matemáticas, el conjunto de los números naturales se expresa como {1,2,3,…}. El conjunto de los números naturales se representa con el símbolo N. 

norte = {1,2,3,4,5,…∞}

Número natural más pequeño

1 es el número natural más pequeño. Sabemos que el elemento más pequeño de N es 1 y que podemos hablar del siguiente elemento en términos de 1 y N para cualquier elemento de N (que es 1 más que ese elemento). Dos es uno mayor que uno, tres es uno mayor que dos, y así sucesivamente.

Propiedades de los Números Naturales

Las cuatro operaciones de los números naturales, suma, resta, multiplicación y división, dan como resultado cuatro características principales de los números naturales, que se ilustran a continuación:

Propiedad de cierre: Un número natural es siempre la suma y el producto de dos números naturales. Cuando se trata de sumas y multiplicaciones, el conjunto de números naturales, N, es cerrado, pero no cuando se trata de restas y divisiones.

Propiedad asociativa: incluso si se modifica el orden de los números, la suma o el producto de tres números naturales cualesquiera permanece igual. La propiedad asociativa de N dice que a+(b+c) = (a+b)+c y a×(b×c) = (a×b)×c para cualquier a, b, c ∈ N. Cuando se trata de para la suma y la multiplicación, el conjunto de los números naturales N es asociativo, pero no cuando se trata de la resta y la división. 

Propiedad conmutativa: incluso si se cambia la secuencia de los números, la suma o el producto de dos números naturales permanece igual. La propiedad conmutativa de N dice que a+b = b+a y a×b = b×a para cualquier a, b ∈ N. Cuando se trata de sumas y multiplicaciones, el conjunto de números naturales N es conmutativo, pero no cuando se trata de la resta y la división.

Propiedad distributiva: la multiplicación de números naturales siempre es distributiva sobre la suma. Por ejemplo, a × (b + c) = ab + ac. La multiplicación de números naturales también es distributiva sobre la resta. Por ejemplo, a × (b−c) = ab−ac.

Demostrar que los números naturales son ilimitados

Prueba:

La propiedad del supremo establece que todo conjunto no vacío de números reales acotados arriba contiene un supremo, que es un número real. Hay un ínfimo, que es un número real, en cualquier conjunto no vacío de números reales que está acotado por debajo. La propiedad suprema se puede usar para probar otras características de los números reales. 

Suponga que N está restringido arriba. Entonces, de acuerdo con la característica suprema, el límite superior más bajo “s” existe para todo n ∈ N. Considere “k” como el entero natural más grande que es menor que s. Entonces k + 1 > s, y s no es un límite superior de N porque k + 1 es un entero natural. Como resultado de esta contradicción, podemos deducir que N no tiene límite superior.

Preguntas similares

Pregunta 1: ¿Cuál es la diferencia entre números enteros y naturales?

Solución:

Solo los números enteros positivos se incluyen en los números naturales, que van desde 1 hasta el infinito. Los números enteros, por otro lado, son una mezcla de cero y números naturales que comienzan en 0 y terminan en un valor infinito. 

Pregunta 2: ¿’0′ es un número natural?

Solución:

‘No’, es la respuesta a esta pregunta. Los números naturales, como ya sabemos, van del 1 al infinito y son números enteros positivos. Sin embargo, cuando combinamos 0 con un número entero positivo como 10, 20 o cualquier otro número, obtenemos un número natural. En realidad, 0 es un número completo sin significado.