Pregunta 1. Evalúa ∫1/ a 2 -b 2 x 2 dx
Solución:
Supongamos que I = ∫ 1/ (a 2 -b 2 x 2 )dx
tomar 1/b 2 común de la ecuación anterior
= 1/b 2 ∫ 1/ (a 2 /b 2 -x 2 ) dx
= 1/b 2 ∫ 1/ (a/b) 2 -x 2 ) dx
Integrar la ecuación anterior entonces, obtenemos
= 1/b 2 1/ 2(a/b) log|(a/b)+x/ (a/b)-x| + c [ya que ∫1/ a 2 -x 2 dx = 1/2a log|x+a/xa| +c]
= 1/2ab log|a+bx/ a-bx| +c
Por lo tanto, I = 1/2ab log |a+bx/ a-bx| +c
Pregunta 2. Evalúa ∫ 1/ a 2 x 2 -b 2 dx
Solución:
Supongamos que I = ∫ 1/ a 2 x 2 -b 2 dx
tomar 1/a 2 común de la ecuación anterior
= 1/a 2 ∫ 1/ x 2 -(b 2 /a 2 ) dx
= 1/a 2 ∫ 1/ x 2 -(b/a) 2 dx
Integrar la ecuación anterior entonces, obtenemos
= (1/a 2 ) 1/(2b/a) log|x-(b/a)/x+(b/a)| + c [ya que ∫1/ x 2 -a 2 dx = 1/2a log|xa/x+a| +c]
= 1/2ab log|ax-b/ax+b| +c
Por lo tanto, I = 1/2ab log|ax-b/ax+b| +c
Pregunta 3. Evalúa ∫ 1/ a 2 x 2 +b 2 dx
Solución:
Supongamos que I = ∫ 1/ a 2 x 2 +b 2 dx
tomar 1/a 2 común de la ecuación anterior
= 1/a 2 ∫ 1/ x 2 +(b 2 /a 2 ) dx
= 1/a 2 ∫ 1/ x 2 +(b/a) 2 dx
Integrar la ecuación anterior entonces, obtenemos
= (1/a 2 ) 1/(b/a)tan -1 [x/(b/a)] + c [ya que ∫1/ x 2 +a 2 dx = 1/a tan -1 (x/a ) + c]
= 1/ab tan -1 (ax/b) + c
Por tanto, I = 1/ab tan -1 (ax/b) + c
Pregunta 4. Evalúa ∫ x 2 -1/ x 2 +4 dx
Solución:
Supongamos que I = ∫ x 2 -1/ x 2 +4 dx
Podemos escribir la ecuación anterior de la siguiente manera,
= ∫ x 2 -1+4-4/ x 2 +4 dx
= ∫ (x 2 +4)-4-1/ x 2 +4 dx
= ∫ (x2 +4 )-5/x2 +4 dx
= ∫ (x 2 +4)/ x 2 +4 dx – ∫ 5/ x 2 +4 dx
= ∫ dx – 5∫ 1/ x 2 +(2) 2 dx
Integrar la ecuación anterior entonces, obtenemos
= x – 5/2 tan -1 (x/2) +c [ya que ∫1/ x 2 +a 2 dx = 1/a tan -1 (x/a) + c]
Entonces yo = x – 5/2 tan -1 (x/2) +c
Pregunta 5. Evalúa ∫ 1/ √1+4x 2 dx
Solución:
Supongamos que I = ∫ 1/ √1+4x 2 dx
= ∫ 1/ √1+(2x) 2 dx (i)
Sea 2x = t
2dx = dt
Ponga el valor anterior en la ecuación (i)
=1/2 ∫ 1/ √1+t 2 dt
Integrar la ecuación anterior entonces, obtenemos
=1/2 registro|t+√t 2 +1| + c [ya que ∫1/ √x 2 +a 2 dx = log|x+√x 2 +a 2 | +c]
=1/2 registro|2x+√(2x) 2 +1| +c
Por lo tanto, yo =1/2 log|2x+√4x 2 +1| +c
Pregunta 6. Evalúa ∫1/ √a 2 +b 2 x 2 dx
Solución:
Supongamos que I = ∫1/ √a 2 +b 2 x 2 dx
= ∫1/ √a 2 +(bx) 2 dx (i)
Sea bx = t
bdx = dt
dx = dt/b
Ponga el valor anterior en la ecuación (i)
= 1/b ∫1/ √a 2 +(t) 2 dt
Integrar la ecuación anterior entonces, obtenemos
= 1/b log|t+√a 2 +t 2 |+ c [ya que ∫1/ √a 2 +x 2 dx = log|x+√a 2 +x 2 | +c]
= 1/b log|bx+√a 2 +(bx) 2 |+ c
Por lo tanto, I = 1/b log|bx+√a 2 +b 2 x 2 |+ c
Pregunta 7. Evalúa ∫1/ √a 2 -b 2 x 2 dx
Solución:
Supongamos que I = ∫1/ √a 2 -b 2 x 2 dx
= ∫1/ √a 2 -(bx) 2 dx (i)
Sea bx = t
bdx = dt
dx = dt/b
Ponga el valor anterior en la ecuación (i)
= 1/b ∫1/ √a 2 -(t) 2 dt
Integrar la ecuación anterior entonces, obtenemos
= 1/b sen -1 (t/a)+ c [puesto que ∫1/ √a 2 -x 2 dx = sen -1 (x/a)+ c]
Por tanto, I = 1/b sen -1 (bx/a)+ c
Pregunta 8. Evalúa ∫1/ √(2-x) 2 +1 dx
Solución:
Supongamos que I = ∫1/ √(2-x) 2 +1 dx (i)
Sea 2-x=t
-dx = dt
Ponga el valor anterior en la ecuación (i)
= -∫1/ √(t) 2 +(1) 2 dt
Integrar la ecuación anterior entonces, obtenemos
= – registro |t+√(t) 2 +1| + c [ya que ∫1/ √x 2 +a 2 dx = log|x+√x 2 +a 2 | +c]
= – log |(2-x)+√(2-x) 2 +1| +c
Por lo tanto, I = – log |(2-x)+√(2-x) 2 +1| +c
Pregunta 9. Evalúa ∫1/ √(2-x) 2 -1 dx
Solución:
Supongamos que I = ∫1/ √(2-x) 2 -1 dx (i)
Sea 2-x=t
-dx = dt
Ponga el valor anterior en la ecuación (i)
= -∫1/ √(t) 2 -(1) 2 dt
Integrar la ecuación anterior entonces, obtenemos
= – registro |t+√(t) 2 -1| + c [ya que ∫1/ √x 2 -a 2 dx = log|x+√x 2 -a 2 | +c]
= – log |(2-x)+√(2-x) 2 -1| +c
Por lo tanto, I = – log |(2-x)+√(2-x) 2 -1| +c
Pregunta 10. Evalúa ∫ x 4 +1/ x 2 +1 dx
Solución:
Supongamos que I = ∫ x 4 +1/ x 2 +1 dx
= ∫ (x 2 ) 2 +(1) 2 / x 2 +1 dx
= ∫ (x 2 +1) 2 -2x 2 / x 2 +1 dx [a 2 +b 2 = (a+b) 2 -2ab]
= ∫ (x 2 +1) 2 / x 2 +1 dx -∫ 2x 2 / x 2 +1 dx
= ∫ (x 2 +1) dx – ∫ (2x 2 +2-2/ x 2 +1) dx
= ∫ (x 2 +1) dx – ∫ 2(x 2 +1)/ x 2 +1 dx +∫ 2/ x 2 +1 dx
= ∫ (x 2 +1) dx – ∫ 2 dx + 2∫ 1/ x 2 +1 dx
Integrar la ecuación anterior entonces, obtenemos
= x 3 /3 + x – 2x + 2tan -1 (x) + c [ya que ∫1/ x 2 +a 2 dx = 1/a tan -1 (x/a) + c]
= x 3 /3 – x + 2tan -1 (x) + c
Por tanto, I = x 3 /3 – x + 2tan -1 (x) + c