Álgebra de la Derivada de Funciones

Las derivadas son una parte integral del cálculo. Miden la tasa de cambio en cualquier cantidad. Supongamos que hay un tanque de agua del que se escapa agua. Se le pide a un ingeniero local que mida el tiempo en que el tanque de agua se vaciará. En tal escenario, el ingeniero necesita saber dos cosas: el tamaño del tanque de agua y la velocidad a la que fluye el agua. El tamaño del tanque se puede averiguar fácilmente, pero para medir la tasa de fuga de agua tendrá que usar derivados. De esta manera, los derivados se entrelazan en nuestras vidas. Es fácil calcular las derivadas de funciones simples, pero cuando las funciones se vuelven complejas, la forma correcta de abordar este problema es dividir el problema en subproblemas que sean más fáciles de resolver. Veamos algunas reglas y enfoques para hacerlo en el caso de los derivados.

Derivados

Las derivadas se construyen sobre el concepto de límites. Miden la diferencia entre los valores de una función en un intervalo cuyo ancho se acerca al valor cero. Por ejemplo, digamos que se da una función f(x) y el objetivo es calcular la derivada de esa función en un punto x = a usando límites. Se denota por $\frac{df}{dx}$ , o f'(x).

$\frac{df}{dx} = \lim_{h \to 0}\frac{f(x + h) - f(x)}{(x + h) - (x)}$

En x = a,

$\frac{df}{dx} = \lim_{h \to 0}\frac{f(a + h) - f(a)}{h}$

Observe en la figura, como el intervalo «h» se acerca a cero. La línea se acerca a ser una tangente de una cuerda. Esto significa que ahora la derivada cuando h tiende a cero, nos da la pendiente de la tangente en ese punto en particular.

Derivadas de algunas funciones básicas

La siguiente tabla muestra las derivadas de algunas funciones básicas estándar.

Función común	Función	Derivado
Función constante	C	f'(x) = 0
Línea	hacha + b	f'(x) = A
Cuadrado	x2 ^_	f'(x) = 2x
Raíz cuadrada	√x	f'(x) = $\frac{-1}{\sqrt{x}}$
Exponencial	e ^x	e ^x
Exponencial	una ^x	en(a)a ^x
logaritmos	registro _e x	$\frac{1}{x}$
logaritmos	registrar _una x	$\frac{1}{xln(a)}$
Trigonometría	pecado(x)	porque(x)
Trigonometría	porque(x)	-sin(x)
Trigonometría	bronceado(x)	segundo ² (x)

Reglas de diferenciación

La tabla anterior nos presenta derivadas de algunas funciones estándar, pero en la vida real, las funciones no siempre son simples. Por lo general, las funciones encontradas involucran más de una función relacionada entre sí por los operadores, como suma, resta, multiplicación y división. En tales casos, es muy engorroso resolver las derivadas a través de la definición de sus límites. Para facilitar tales cálculos, se dieron ciertas reglas:

Regla de suma o diferencia
Regla de producto y división

Considere dos funciones f(x) y g(x). Digamos que hay una tercera función h(x) que combina estas dos funciones.

Regla de suma y diferencia:

Caso 1: h(x) = f(x) + g(x)

Esta función es la suma de f(x) y g(x), la derivada de tales funciones viene dada por,

$\frac{dh}{dx} = \frac{d}{dx}(f(x) + g(x))$

⇒ $\frac{dh}{dx} = \frac{d}{dx}(f(x)) + \frac{d}{dx}(g(x))$

h'(x) = f'(x) + g'(x)

Caso 2: h(x) = f(x) – g(x)

Esta función es la diferencia de f(x) y g(x), la derivada de tales funciones viene dada por,

$\frac{dh}{dx} = \frac{d}{dx}(f(x) - g(x))$

⇒ $\frac{dh}{dx} = \frac{d}{dx}(f(x)) - \frac{d}{dx}(g(x))$

h'(x) = f'(x) – g'(x)

Reglas de productos y divisiones:

Caso (i): h(x) = f(x) xg(x)

Esta función es producto de f(x) y g(x), la derivada de tales funciones viene dada por,

$\frac{dh}{dx} = \frac{d}{dx}(f(x) \times g(x))$

⇒ $\frac{dh}{dx} = \frac{d}{dx}(f(x))g(x) + \frac{d}{dx}(g(x))f(x)$

h'(x) = f'(x)g(x) + g'(x) f(x)

Caso (i): h(x) = $\frac{f(x)}{g(x)}$

Esta función es la división de f(x) y g(x), la derivada de tales funciones viene dada por,

$\frac{dh}{dx} = \frac{d}{dx}(\frac{f(x)}{g(x)})$

⇒ $\frac{dh}{dx} = \frac{\frac{d}{dx}(f(x))g(x) - \frac{d}{dx}(g(x))f(x)}{(g(x))^2}$

h'(x) = $\frac{f'(x)g(x) - g'(x) f(x)}{(g(x))^2}$

Las reglas de la división y del producto también se conocen como reglas de Leibniz.

Veamos algunos ejemplos de problemas con estas reglas.

Problemas de muestra

Pregunta 1: Encuentra la derivada de la función dada f(x).

f(x) = x2 ⁺ 3x

Solución:

Esta función es la suma de dos funciones diferentes. Aquí se utilizará la regla de la suma.

f(x) = x2 ⁺ 3x

Aquí, h(x) = x ² y g(x) = 3x.

f(x) = h(x) + g(x)

⇒f'(x) = h'(x) + g'(x)

⇒ f'(x) = $\frac{d}{dx}h(x) + \frac{d}{dx}g(x)$

⇒f'(x) = $\frac{d}{dx}x^2 + \frac{d}{dx}3x$

⇒f'(x) = 2x + 3

Pregunta 2: Encuentra la derivada de la función dada f(x).

f(x) = e ^x + sin(x)

Solución:

Esta función es la suma de dos funciones diferentes. Aquí se utilizará la regla de la suma.

f(x) =e ^x + sen(x)

Aquí, h(x) =e ^x y g(x) = sin(x)

f(x) = h(x) + g(x)

⇒f'(x) = h'(x) + g'(x)

⇒ f'(x) = $\frac{d}{dx}h(x) + \frac{d}{dx}g(x)$

⇒f'(x) = $\frac{d}{dx}e^x + \frac{d}{dx}sin(x)$

⇒f'(x) = e ^x + cos(x)

Pregunta 3: Encuentra la derivada de la función dada f(x),

f(x) = 5x ⁴ – 3x ²

Solución:

Esta función es la diferencia de dos funciones diferentes. Aquí se utilizará la regla de diferencia.

f(x) =5x ⁴ – 3x ²

Aquí, h(x) =5x ⁴ y g(x) = 3x ²

f(x) = h(x) – g(x)

⇒f'(x) = h'(x) – g'(x)

⇒ f'(x) = $\frac{d}{dx}h(x) - \frac{d}{dx}g(x)$

⇒f'(x) = $\frac{d}{dx}5x^4 - \frac{d}{dx}3x^2$

⇒f'(x) = 20x ³ + 6x

Pregunta 4: Encuentra la derivada de la función dada f(x),

f(x) = 5log(x) – 3x

Solución:

Esta función es la diferencia de dos funciones diferentes. Aquí se utilizará la regla de diferencia.

f(x) = 5log(x) – 3x

Aquí, h(x) = 5log(x) y g(x) = 3x

f(x) = h(x) – g(x)

⇒f'(x) = h'(x) – g'(x)

⇒ f'(x) = $\frac{d}{dx}h(x) - \frac{d}{dx}g(x)$

⇒f'(x) = $\frac{d}{dx}5log(x) - \frac{d}{dx}3x$

⇒f'(x) = $\frac{5}{x} - 3$

Pregunta 5: Encuentra la derivada de la función dada f(x),

f(x) = 5x ⁴ .sen(x)

Solución:

Esta función es el producto de dos funciones diferentes. Aquí se utilizará la regla del producto.

f(x) =5x ⁴ .sen(x)

Aquí, h(x) =5x ⁴ y g(x) = sin(x)

f(x) = h(x).g(x)

⇒f'(x) = h'(x) g(x) + h(x)g'(x)

⇒ f'(x) = $\frac{d}{dx}(f(x))g(x) + \frac{d}{dx}(g(x))f(x)$

⇒f'(x) = $\frac{d}{dx}(5x^4)sin(x) + \frac{d}{dx}(sin(x))5x^4$

⇒f'(x) = 20x ³ sen(x) + 5x ⁴ cos(x)

Pregunta 6: Encuentra la derivada de la función dada f(x),

f(x) = 5e ^x .log(x)

Solución:

Esta función es el producto de dos funciones diferentes. Aquí se utilizará la regla del producto.

f(x) =5e ^x .log(x)

Aquí, h(x) =5e ^x y g(x) = log(x)

f(x) = h(x).g(x)

⇒f'(x) = h'(x) g(x) + h(x)g'(x)

⇒ f'(x) = $\frac{d}{dx}(f(x))g(x) + \frac{d}{dx}(g(x))f(x)$

⇒f'(x) = $\frac{d}{dx}(5e^x)log(x) + \frac{d}{dx}(log(x))5e^x$

⇒f'(x) = $5(e^xlog(x) + \frac{1}{x}e^x)$

Pregunta 7: Encuentra la derivada de la función dada f(x),

f(x) = $\frac{x + 1}{2x}$

Solución:

Esta función es la división de dos funciones diferentes. Aquí se utilizará la regla de división.

f(x) = $\frac{x + 1}{2x}$

Aquí, h(x) =x + 1 y g(x) = 2x

f(x) = $\frac{h(x)}{g(x)}$

⇒f'(x) = $\frac{g(x)h'(x) - h(x)g'(x)}{(g(x))^2}$

⇒ f'(x) = $\frac{\frac{d}{dx}(h(x))g(x) - \frac{d}{dx}(g(x))h(x)}{(g(x))^2}$

⇒f'(x) = $\frac{\frac{d}{dx}(x + 1)2x - \frac{d}{dx}(2x)(x + 1)}{(x + 1)^2}$

⇒f'(x) = $\frac{2x - 2(x + 1)}{(x + 1)^2}$

⇒f'(x) = $\frac{-2}{(x + 1)^2}$

Pregunta 8: Encuentra la derivada de la función dada f(x),

f(x) = $\frac{log(x)}{2x}$

Solución:

Esta función es la división de dos funciones diferentes. Aquí se utilizará la regla de división.

f(x) = $\frac{log(x)}{2x}$

Aquí, h(x) =log(x) y g(x) = 2x

f(x) = $\frac{h(x)}{g(x)}$

⇒f'(x) = $\frac{g(x)h'(x) - h(x)g'(x)}{(g(x))^2}$

⇒ f'(x) = $\frac{\frac{d}{dx}(h(x))g(x) - \frac{d}{dx}(g(x))h(x)}{(g(x))^2}$

⇒f'(x) = $\frac{\frac{d}{dx}(log(x))2x - \frac{d}{dx}(2x)(log(x))}{4x^2}$

⇒f'(x) = $\frac{1- 2log(x)}{4x^2}$

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por anjalishukla1859 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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