Álgebra de Funciones Continuas – Continuidad y Diferenciabilidad | Clase 12 Matemáticas

Álgebra de funciones continuas se ocupa de la utilización de funciones continuas en ecuaciones que involucran las distintas operaciones binarias que has estudiado. También mencionaremos una regla de composición que puede que no le resulte familiar pero que es extremadamente importante para futuras aplicaciones.

Dado que la continuidad de una función en cierta medida está totalmente dictada por el límite de la función en el propósito, es razonable esperar resultados análogos al caso de los límites

Supongamos que f(x) y g(x) son dos funciones continuas con el propósito x = a. Luego tenemos las siguientes reglas:

• f + g es continua en x = x0,
• f – g es continua en x = x0,
• F. g es continua en x = x0, y
• f/g es continua en x = x0 (g(x) ≠ 0).
• Teorema de la función compuesta sobre la continuidad.

Si f es continua en g(x0) y g es continua en x0, entonces la niebla es continua en x0.

Suma y resta de dos funciones continuas

Adición de función continua, 

f + g es continua en x = x0,

resta de función continua, 

f – g es continua en x = x0

Prueba

Tenemos que determinar la continuidad de (f(x) + g(x)) en x = a. 

Por lo tanto, necesitaremos verificar que se cumplan las tres condiciones de continuidad. Dado que las funciones f(x) y g(x) son continuas en x = a, las tres condiciones de continuidad se cumplirán para ellas, es decir

f(a) y g(a) están definidas

lím _x→a f(x) = f(a) = k1 (digamos) y 

lím _x→a g(x) = g(a) = k2 (digamos)

Utilizándolos obtendremos:

=> [f(a) + g(a)] está claramente definido en x = a porque tanto f(a) como g(a) están definidos.

=> Uso de la ley de la suma de los límites, es decir, el límite de una suma es la suma de los límites; 

obtendremos:

lím _x→a [f(x) + g(x)] = lím _x→a f(x) + lím _x→a g(x) = k1 + k2 (aquí)

=> f(a) + g(a) = k1 + k2 = límite _x→a [f(x) + g(x)]

Por tanto, la función [f(x) + g(x)] es continua en x = a. La prueba de la regla de la resta es análoga a la prueba de la regla de la suma (simplemente reemplace el signo + con un signo –).

Multiplicación y división de dos funciones continuas

Multiplicación de función continua, 

F. g es continua en x = x0,

División de Función Continua, 

f/g es continua en x = x0 (g(x) ≠ 0)

Prueba

Uso de la ley de mercancías de los límites, es decir, el límite de un producto es que el producto de los límites; obtendremos:

lím _x→a [f(x) × g(x)] = lím _x→a f(x) × lím _x→a g(x) = k1 × k2 (aquí)

Uso de la ley del cociente de los límites, es decir, el límite de un cociente es el cociente de los límites; obtendremos:

lim _x→a [f(x)/g(x)] = lim _x→a f(x)/lim _x→a g(x) = k1/k2 (aquí, siempre que k2 ≠ 0)

Entonces las demostraciones seguirán de manera similar. Ahora eche un vistazo a la pregunta resuelta (1) que muestra la aplicabilidad de 1 de esas reglas.

Regla de composición

La regla de composición establece que f(g(x)) y g(f(x)) son continuas en x = a

Problema 1: Discuta la continuidad de la función seno.

Solución: 

Para determinar esto usamos los hechos subsecuentes

lím _(x→0) ⁡[senx = 0]

No lo hemos probado, pero es intuitivamente claro a partir de la gráfica de sen x cerca de 0. Ahora, observe que f (x) = sen x está definida para cada real. Sea c un número verdadero. Ponga x = c + h. Si x → c todos sabemos que h → 0. Por lo tanto,

lím _(x→c) ⁡[f(x)] = lím _(x→c) ⁡senx

= lím _(h→0) ⁡[sen⁡(c + h)]

=lim _(h→0) ⁡[[sin⁡c cosh⁡] + [cosc sinh]]

= sinc + 0 = sinc = f(c)

Por lo tanto, lim _(x→c) ⁡[f(x)]= f(c) y por lo tanto f puede ser una función continua

Problema 2: Demostrar que la función definida por f(x) = tan x puede ser una función continua

Solución: 

La función f(x) = tanx, es decir, senx/cosx. esto a menudo se define para todos los números reales tales que cosx ≠ 0,

es decir, x ≠ 0, es decir, x ≠ (2n + 1)π/2

Acabamos de demostrar que las funciones seno y coseno son continuas. Por lo tanto, siendo tanx un cociente de dos funciones continuas, es continua dondequiera que se defina

Problema 3: Demostrar que la función f definida por

f(x) = |1 – x + | x| |

donde x es cualquier real, puede ser una función continua.

Solución: 

Definir g por g(x) = 1 – x + |x| yh por h(x) = |x| para todos los reales x. Después,

(cerdo)(x) = h(g(x))

= h(1 – x + |x|)

= |1 – x + |x|| = f(x)

Ya que todos sabemos que h puede ser una función continua. Por lo tanto, g es una suma de una función polinomial y, por lo tanto, la función de módulo es continua. Por otro lado, f siendo un compuesto de dos funciones continuas es continua.