Algoritmo de división para polinomios

Los polinomios son aquellas expresiones algebraicas que contienen variables, coeficientes y constantes. Por ejemplo, en el polinomio 8x ² + 3z – 7, en este polinomio, 8,3 son los coeficientes, x y z son las variables y 7 es la constante. Así como las operaciones matemáticas simples se aplican a números, estas operaciones también se pueden aplicar a diferentes polinomios, al aplicar diferentes operaciones a polinomios se obtiene un nuevo polinomio, digamos que p(x) es un polinomio multiplicado por q(x), entonces, el nuevo polinomio g(x) = p(x) × q(x).

Algoritmo de división para polinomios

El algoritmo de división establece que, 

Si p(x) y g(x) son dos polinomios con g(x) ≠ 0, entonces podemos encontrar polinomios q(x) y r(x) tales que, 

p(x) = g(x) xg(x) + r(x) 

Donde r(x) = 0 o grado de r(x) < grado de g(x) 

Dividendo = Cociente × Divisor + Resto 

Veamos algunos pasos para hacer este tipo de división y luego resolvamos algunos ejemplos relacionados. 

1. En este paso, organiza el divisor y el dividendo en un orden decreciente según sus grados.
2. El primer término del cociente se obtiene dividiendo el término de mayor grado del dividendo por el término de mayor grado del divisor. 
3. El segundo término del cociente se obtiene dividiendo el término de mayor grado del nuevo dividendo obtenido como resto por el término de mayor grado del divisor.
4. Continúe este proceso hasta que el grado del resto sea menor que el grado del divisor.

Veamos algunos ejemplos de problemas relacionados con este algoritmo.

Pregunta 1: Divide el polinomio x ³ + x ² – 1 con x – 1. 

Solución: 

Sólo tenemos que seguir los mismos pasos que hemos mencionado anteriormente. 

Entonces, el cociente aquí es x ² + 2x + 2 y el resto es 1. 

Pregunta 2: Divide el polinomio x ⁴ + x ³ + x ² – 1 con x ³ – 1. 

Solución:

Entonces, el cociente resulta ser x + 1 y el resto x ² + x. 

Uso del algoritmo de división para encontrar los ceros de un polinomio

Supongamos que tenemos un polinomio P(x) = 0 de grado 3. Si nos dan una raíz x = r de ese polinomio. Podemos encontrar las otras dos raíces dividiendo el polinomio con (x -r). Veámoslo con un ejemplo. 

Pregunta 1: Encuentra todos los ceros del polinomio f(x) = 2x ³ -5x ² -4x + 3 si una de las raíces es  . 

Solución: 

x =   es una raíz del polinomio (Dado) 

Ahora sabemos por el hecho mencionado anteriormente, (x –  ) es un factor del polinomio dado. Entonces, para encontrar los otros ceros, necesitamos dividir el polinomio con este factor. 

Entonces obtenemos 2x ² -4x – 6 como cociente. 

Las dos raíces restantes son raíces de este polinomio. 

2x ² – 4x – 6 = 0

⇒ 2x ² -6x + 2x – 6 = 0 

⇒ 2x(x – 3) + 2 (x – 3) = 0 

⇒ (2x + 2) (x – 3) = 0 

x = -1 y x = 3

Por lo tanto, las dos raíces restantes son x = -1 y x = 3. 

Pregunta 2: Divide el polinomio 5x ⁴ -3x ³ + 2x ² – 1 con x ³ – 1. 

Solución:

El resto es 3 y el cociente es 5x ³ + 2x ² + 4x + 4

Pregunta 3: Encuentra todos los ceros de 2x ⁴ – 3x ³ -3x ² + 6x – 2. Sabemos que dos ceros son √2 y -√2. 

Solución: 

Nos dan dos ceros del polinomio. Sabemos que x – √2 y x + √2 son los factores del polinomio. 

Dos encuentra las otras raíces, dividamos el polinomio con ambas. 

(x – √2)(x + √2) 

 = x ² – 2

Dividiendo el polinomio con x ² – 2. 

El polinomio cociente viene dado por 2x ² – 3x + 1

Las dos raíces restantes también son las raíces de este polinomio. 

2x ² – 3x + 1

⇒ 2x ² – 2x -x + 1

⇒ 2x(x -1) -1(x – 1) 

⇒ (2x – 1) (x – 1) = 0

Entonces, las raíces resultan ser x =  y x = 1. 

Así, todas las raíces son x = 1, √2, -√2 y