Las alturas y las distancias son la aplicación principal de la trigonometría, que se usa mucho en la vida real. La trigonometría es útil para astrónomos, navegantes, arquitectos y topógrafos, etc. para resolver problemas relacionados con alturas y distancias.
Antes de entrar en los problemas, hay algunas terminologías que usamos para resolver el problema. Están:
- Línea de visión : Es la línea trazada desde el ojo de un observador hasta el punto en el objeto visto por el observador.
- Ángulo de impresión: El ángulo entre la horizontal y la línea de visión que une un punto de observación con un objeto elevado se denomina ángulo de elevación .
- Ángulo de depresión: El ángulo entre la horizontal y la línea de visión que une un punto de observación con un objeto por debajo del nivel horizontal se denomina ángulo de depresión.
Ejemplos de problemas de altura y distancia
Problema 1: Si un poste de 6 m de altura proyecta una sombra de 2√3 m de largo sobre el suelo, encuentre la elevación del Sol.
Solución:
Sea AB el poste que tiene una altura de 6 m .
Sea BC la sombra del edificio 2√3.
Ahora, en ∆ ABC,
bronceado θ = AB / BC
=> bronceado θ = 6 / 2√3
Ahora, simplificando usando la racionalización
=> tan θ = (3 / √3)*(√3 / √3)
=> tan θ = 1 / √3
=> θ = bronceado -1 (1 / √3)
Por lo tanto, θ = 60 o
Por lo tanto, la elevación del sol desde el suelo es de 60 o .
Problema 2: Un observador de 1,5 m de altura está a 20,5 m de una torre de 22 m de altura. Determine el ángulo de elevación de la parte superior de la torre desde el ojo del observador.
Solución:
Sea PQ la altura del observador de 1,5 m .
Sea AB la altura de la torre de 22 m .
Y, sea QB la distancia horizontal entre el observador y la torre
=> PQ = MB = 1,5 m
=> AM = AB – MB
=> AM = 22 – 1,5 = 20,5
Ahora, en ∆APM ,
=> bronceado θ = AM / PM
=> bronceado θ = 20,5 / 20,5
=> tan θ = 1
=> θ = bronceado -1 (1 )
Por lo tanto, θ = 45 o
Por lo tanto, el ángulo de elevación de la parte superior de la torre desde el ojo del observador es de 45 o
Problema 3: Un avión vuela h metros sobre el suelo. En un instante particular, el ángulo de elevación del avión desde los ojos de un niño sentado en el suelo es de 60°. Después de algún tiempo, el ángulo de elevación cambió a 30°. Encuentre la distancia recorrida por el avión durante ese tiempo suponiendo que viajó en línea recta.
Solución:
Sea x la distancia horizontal entre el observador y el plano en el primer instante.
Sea y la distancia horizontal entre el observador y el plano en el segundo instante.
Y, BA = CD = h
En ∆OAB ,
=> tan 60° = AB / OA
=> √3 = h / x
=> x = h / √3
En ∆ TOC,
=> tan 30° = CD / OD
=> 1/√3 = h / (x+y)
=> x + y = √3h
Distancia recorrida en avión = AD = y
=> (x + y) − x = √3h − h / √3
=> y = (2 / √3)h
Entonces, si el avión vuela h metros sobre el suelo, viajaría (2/√3) h metros a medida que el ángulo de elevación cambia de 60° a 30° .
Problema 4: Desde lo alto de la torre de 30 m de altura un hombre está observando la base de un árbol con un ángulo de depresión de 30 grados. Encuentra la distancia entre el árbol y la torre.
Solución:
En el diagrama anterior, AB representa la altura de la torre, BC representa la distancia entre el pie de la torre y el pie del árbol.
Ahora necesitamos encontrar la distancia entre el pie de la torre y el pie del árbol (BC). Porque el ángulo de depresión viene dado por la propiedad del ángulo verticalmente opuesto del triángulo ∠CAD = ∠BCA
En ∆BCA ,
=> tan θ = Lado opuesto / Lado adyacente
=> tan 30° = AB / BC
=> 1/√3 = 30 / aC
=> BC = 30√3
=> BC = 30 (1.732) [Aproximadamente]
=> BC = 51,96 m
Entonces, la distancia entre el árbol y la torre es de 51,96 m .
Problema 5: Desde lo alto de un edificio de 30 m de altura, se observa que la parte superior e inferior de una torre tienen ángulos de depresión de 30° y 45° respectivamente. Encuentra la altura de la torre.
Solución:
Sea AB el edificio y CD la torre.
El ángulo de las depresiones es de 30° y 45° con respecto a la parte superior e inferior de la torre. Entonces, por la propiedad del triángulo verticalmente opuesto, ∠FBD = ∠EDB y ∠FBC = ∠ACB.
Ahora, AB = 30 m. Sea DC = x.
Dibujar DE perpendicular AB. Entonces AE = CD = x.
Por lo tanto BE = (30 – x) m.
En ∆ACB ,
=> cot θ = Lado adyacente / Lado opuesto
=> cuna θ = AC / AB
=> cuna 45° = AC / 30
=> AC = 30 [cot 45° = 1]
Entonces, DE = AC = 30 m
En ∆EDB ,
=> tan θ = Lado opuesto / Lado adyacente
=> tan 30° = BE / DE
=> 1/√3 = EB / 30
=> EB = 30 / √3
=> CD = AE = AB – BE = 30 – (30 / √3)
=> 30[1 – (1 / √3) ] metro
La altura de la torre es 30[1 – (1 / √3) ] m
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Artículo escrito por dadimadhav y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA