antiderivadas – Barcelona Geeks

Las derivadas son la forma de medir la tasa de cambio, dada una función f(x), las derivadas de esa función calculan la tasa de cambio del valor de esa función en un punto particular. A veces hay situaciones en las que la derivada está disponible, pero no se proporciona información sobre la función. En ese caso, los antiderivados vienen al rescate. Se vuelve esencial comprender el concepto y los métodos para usar antiderivadas para generar las funciones a partir de sus derivadas. Veamos este concepto en detalle.

Antiderivada

Consideremos una función f(x) = x ² , al diferenciar esta función, la salida es otra función g(x) = 2x. Se supone que las antiderivadas generan la función f(x) dada otra función g(x). Observe que al calcular la derivada, el exponente de la variable «x» disminuyó en 1, por lo que en el caso del proceso inverso, el exponente aumentará. Además, en el caso de otra función h(x) = x ² + 2, la derivada de esta función sigue siendo g(x). Dado que la constante se cancela al diferenciar, podemos concluir que para cualquier función f(x), puede haber infinitas funciones antiderivadas con diferentes valores de las constantes. Esto significa,

Para, g(x) = 2x la antiderivada será,

f(x) = x ² + C, donde C es una constante.

Una función F se llama antiderivada de la función, si

F'(x) = f(x)

Para todo x en el dominio de f.

Si F(x), es la antiderivada de f(x), entonces la antiderivada más general de f(x) se llama integral indefinida.

∫f(x)dx = F(x) + C, C es cualquier constante.

Aquí el símbolo ∫ denota el operador antiderivado, se llama integrales indefinidas.

Propiedades de las integrales indefinidas

Hay algunas propiedades importantes que resultan útiles al calcular las antiderivadas de las funciones.

∫kf(x)dx = k ∫f(x)dx, aquí “k” es cualquier constante.
∫-f(x)dx = -∫f(x)dx, Esta propiedad se puede pensar como un caso especial de la propiedad anterior con k = -1.
∫(f(x) + g(x))dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx. Esta propiedad muestra que la integral de la suma de dos funciones es igual a la suma de las integrales de esas dos funciones.

Nota: Tenga en cuenta que la propiedad 3 solo es aplicable para la resta y la suma. No puede ni debe extenderse hasta las operaciones de multiplicación y división.

Cálculo de integrales indefinidas

No siempre es posible simplemente adivinar la integral de cualquier función pensando en el proceso de diferenciación inversa. Es necesario un enfoque formal o una fórmula para calcular las integrales indefinidas.

Considere una función de la forma x ⁿ , la antiderivada de esta función está dada por:

$\int x^ndx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + c$ excepto cuando n = -1.

Entonces, la regla general para integrar tales funciones es aumentar el valor del exponente en 1 y luego dividir la función por ese valor. La siguiente tabla representa algunas funciones estándar y sus integrales.

Función	Integral
pecado(x)	-cos(x) + C
porque(x)	sen(x) + C
segundo ² (x)	tan(x) + C
e ^x	e ^x
$\frac{1}{x}$	ln(x) + C

Veamos algunos ejemplos de problemas con estos conceptos.

Problemas de muestra

Pregunta 1: Encuentra la integral para la función dada,

f(x) = 2x + 3

Solución:

Usando la fórmula integral para las funciones del tipo de x ⁿ .

$\int x^ndx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + c$

Dado, f(x) = 2x + 3

$\int(2x + 3)dx$

Dividir la función usando la propiedad 3.

$\int(2x + 3)dx$

⇒ $\int 2xdx + \int3dx$

⇒ $2\int xdx + 3\int 1dx$

⇒ $2\frac{x^2}{2} + 3x + C$

⇒ x2 + 3x + ^C

Pregunta 2: Encuentra la integral para la función dada,

f(x) = x2 ^– 3x

Solución:

Usando la fórmula integral para las funciones del tipo de x ⁿ .

$\int x^ndx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + c$

Dado, f(x) = x ² – 3x

$\int(x^2 - 3x)dx$

Dividir la función usando la propiedad 3.

$\int(x^2 - 3x)dx$

⇒ $\int x^2dx - 3\int xdx$

⇒ $\frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + C$

Pregunta 3: Encuentra la integral para la función dada,

f(x) = x ³ + 5x ² + 6x + 1

Solución:

Usando la fórmula integral para las funciones del tipo de x ⁿ .

$\int x^ndx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + c$

Dado, f(x) = x ³ + 5x ² + 6x + 1

$\int(x^3 + 5x^2 + 6x + 1)dx$

Dividir la función usando la propiedad 3.

$\int(x^3 + 5x^2 + 6x + 1)dx$

⇒ $\int x^3dx + \int 5x^2dx + \int 6xdx + \int 1dx$

⇒ $\frac{x^4}{4} + \frac{5x^3}{3}+ 3x^2 + x$

Pregunta 4: Encuentra la integral para la función dada,

f(x) = sen(x) – cos(x)

Solución:

Usando la fórmula integral para la función trigonométrica dada a continuación.

Dado, f(x) = sin(x) – cos(x)

$\int(sin(x) - cos(x))dx$

Dividir la función usando la propiedad 3.

$\int(sin(x) - cos(x))dx$

⇒ $\int sin(x)dx - \int cos(x)dx$

⇒ $-cos(x) - sin(x) + C$

Pregunta 5: Encuentra la integral para la función dada,

f(x) = 2sen(x) + seg ² (x) + 7e ^x

Solución:

Usando la fórmula integral para la función trigonométrica dada a continuación.

Dado, f(x) = 2sin(x) + sec ² (x) + 7e ^x

$\int(2sin(x) + sec^2(x) + 7e^x)dx$

Dividir la función usando la propiedad 3.

$\int(2sin(x) + sec^2(x) + 7e^x)dx$

⇒ $\int 2sin(x)dx + \int sec^2(x)dx + \int 7e^xdx$

⇒ $2\int sin(x)dx + \int sec^2(x)dx + 7\int e^xdx$

⇒ $-2cos(x) + tan(x)dx + 7e^x + C$

Pregunta 6: Encuentra la integral para la función dada,

f(x) = $\frac{x - 3}{x}$

Solución:

Usando la fórmula integral para las funciones del tipo de x ⁿ .

$\int x^ndx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + c$

Dado, f(x) = $\frac{x - 3}{x}$

$\int(\frac{x - 3}{x})dx$

Dividir la función usando la propiedad 3.

$\int(1 - \frac{3}{x})dx$

⇒ $\int1dx - \int \frac{3}{x}dx$

⇒ x – 3ln(x) + C

Pregunta 7: Encuentra la integral para la función dada,

f(x) = x2 ^– 4x + 4

Solución:

Usando la fórmula integral para las funciones del tipo de x ⁿ .

$\int x^ndx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + c$

Dado, f(x) =x ² – 4x + 4

$\int(x^2 - 4x + 4)dx$

Dividir la función usando la propiedad 3.

$\int x^2dx - \int 4xdx + \int 4dx$

⇒ $\int x^2dx - 4\int xdx + 4\int dx$

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por anjalishukla1859 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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