Aplicación de Derivados

Una función puede considerarse una máquina que recibe entradas y produce salidas en función de ciertas condiciones. Si y es una función de x, entonces significa que el valor de y depende de x. Aquí, x es la variable independiente e y es la variable dependiente.

Representación de una función: y = f(x).

Coeficiente diferencial

El Coeficiente diferencial de una variable y con respecto a x se define como la relación entre el cambio en y y el cambio en x, dependiendo de la condición de que el cambio en x sea muy pequeño y tienda a cero.

Representación Matemática 

dy/dx = lím _∆x⇢0  ∆y / ∆x = lím _h⇢0  (f(x + h) – f(x)) / h.

∆ x = cambio en x, ∆y = cambio en y, h = cambio en x, f(x + h) – f(x) = cambio en y.

Aplicación de Derivados

La diferenciación se define como la relación entre el cambio en y y el cambio en x tal que el cambio en x tiende a cero. Las derivadas juegan un papel muy importante en el mundo de las Matemáticas. Tienen una amplia gama de aplicaciones en ingeniería, arquitectura, economía y varios otros campos. Los derivados ayudan a los analistas de negocios a preparar gráficos de pérdidas y ganancias. 

Más de la mitad de las demostraciones matemáticas de la Física están basadas en derivadas. Algunas de las aplicaciones de los Derivados son las siguientes:

1. Encontrar la ecuación de tangente y normal a una curva en un punto dado.
2. Para encontrar los máximos y mínimos de una función particular en un rango dado.
3. Hallar el valor aproximado de cantidades.
4. Los derivados se pueden utilizar como una medida de tasa. 

Para medir la tasa de cambio de una variable con respecto a otra variable. Ejemplo – Velocidad = Tasa de cambio de distancia con el tiempo. v = dx/dt.

• Importancia de la derivada como tasa de cambio. 

Se sabe que dy / dx = lim _h->0   (f(x + h) – f(x) ) / h, aquí f(x + h) – f(x) es el cambio en y y (f( x + h) – f(x) ) / h es la tasa de cambio de y con respecto a x. Esto muestra que con la ayuda del concepto de derivadas podemos encontrar la tasa de cambio de cualquier función. Aprendamos esto con la ayuda de un ejemplo.

Dado, y= 16 – x ² . Encuentre la tasa de cambio de y en x = 8.

La tasa de cambio de y en x = 8 está dada por dy/dx en x = 8,

dy/dx = -2 × x [Poner x = 8]

= -16, por lo tanto -16 es la respuesta.

• Importancia de la derivada para encontrar el valor aproximado. 

Entendamos esto con la ayuda de un ejemplo. Supongamos que uno necesita encontrar el valor aproximado de √0.037. Consideremos una función f(x) = √x

f'(x) = (1/2) × x ^(-1/2) Al derivar f(x) con respecto a x.

Ahora, f'(x) = (f(x + h) – f(x)) / h, donde h es el cambio en x.

Para encontrar √0.037, que se puede escribir como √(0.04 – 0.003)

-0,003 × (1/2) × 0,04 ^(-1/2) = f(00,4 + -0,003) – f(0,04)

f(0,04-0,003) = 0,1925

√0,037 = 0,1925.                                  

De manera similar, uno puede usar la diferenciación para encontrar los valores de aproximación de las funciones.

• Importancia de la derivada para encontrar los máximos y mínimos de cualquier función.

La tangente a una curva en el punto de máximos o mínimos es una línea paralela al eje x. La pendiente de una recta paralela al eje x es cero. Por tanto, el valor de dy/dx en el punto de máximos y mínimos es cero. Ahora, los pasos involucrados en encontrar el punto de máximos o mínimos son los siguientes:

1. Encuentra la derivada de la función. 
2. Iguale la derivada con cero para obtener los puntos críticos.
3. Ahora encuentra la doble derivada de la función.

• Si el valor de la doble derivada en un punto crítico es menor que cero, entonces ese punto es el punto de máximos.
• Si el valor de la doble derivada en un punto crítico es mayor que cero, entonces el punto es el punto de mínimos.

Ejemplo: encuentre los máximos locales y los mínimos locales de la función 2x ^​​3 – 21x ² + 36x – 20.

Solución:

y = 2x ³ – 21x ² + 36x – 20.

dy/dx = 6x ² – 42x + 36

Igualando dy/dx con 0:

6x ² – 42x + 36 = 0

x2 – 7x ⁺ 6 = 0

x2 – (6 + 1)x + 6 = ⁰

x ² – 6x – x + 6 = 0

x = 6, 1.

Los puntos críticos son el 6 y el 1.

d ² y/dx ² = 12x – 42

Poniendo x = 6.

d ² y/dx ² = 12 × 6 – 42 = 30 > 0 por lo tanto, 6 es un punto de mínimos.

El valor mínimo es 2 × 216 – 21 × 36 + 36 × 6 – 20 = -128

Poniendo x=1.

d ² y/dx ² = 12-42 = -30 < 0 por lo tanto 1 es un punto de máximos.

El valor máximo es 2 – 21 + 36 – 20 = -3.                                               

Tangente y Normal

Una línea que toca una curva en un punto pero no la atraviesa, se llama tangente a la curva en ese punto. Una normal es una línea que es perpendicular a una tangente. La ecuación de una tangente a una curva se muestra en el siguiente gráfico,

Sea y = f(x) una función de un solo valor y QRLTP sea la curva de la función. RT es una cuerda o una línea recta. Coordenadas de R = (x, y) y coordenadas de T = (x + ∆x, y + ∆y). Pendiente de una recta = m = (y ₂ – y ₁ ) / (x ₂ – x ₁ ), Pendiente de RT = (y+∆y – y) / (x+∆x – x)

= ∆y / ∆x ⇢ (1)

Ahora, la ecuación de la cuerda RT, Y – y = (Pendiente de RT) × (X – x), x e y son coordenadas de R.

Y – y = (∆y / ∆x) × (X – x) ⇢ (2), 

Pendiente de RT = ∆y / ∆x.

Ahora bien, si el punto T se mueve gradualmente hacia R y en el tiempo coincide con R, entonces la cuerda RT se transforma en tangente MRLN. Esto sucede cuando ∆x tiende a cero. Por lo tanto, la ecuación 2 cambia a:

Ecuación de la tangente MRLN = lim ∆x ⇢ 0 (Y – y) = (∆y / ∆x) × (X – x), Esto se puede escribir como,

(Y – y) = lím _{∆x ⇢ 0} (∆y / ∆x) × (X – x).

Según la definición de derivados,

dy/dx = lím _{∆x ⇢ 0} (∆y / ∆x).

Por lo tanto ecuación de tangente MRLN: (Y – y) = dy/dx × (X – x). Así es como podemos usar el concepto de diferenciación para encontrar la ecuación de una tangente a una curva. La normal a una curva es perpendicular a la tangente a la curva.

Nota: Si dos rectas son paralelas entre sí, ambas tienen la misma pendiente. Si dos rectas son perpendiculares entre sí, la multiplicación de sus pendientes es igual a -1.

Como se sabe que una curva normal es perpendicular a la tangente, por lo tanto,

La pendiente de la normal × Pendiente de la tangente = -1.

Sea m la pendiente de la normal. Sabemos que la pendiente de la tangente = dy/dx. Por lo tanto,

m × dy/dx = -1.

m = – dx/día.

Por lo tanto, la ecuación de la normal a la curva en R viene dada por,

(Y – y) = (-dx/dy) × (X – x), -dx/dy = pendiente de la normal.

Por lo tanto, el concepto de las derivadas se usa para encontrar las ecuaciones tanto de la tangente como de la normal a una curva en un punto dado.

Problemas de muestra

Pregunta 1: Encuentra la ecuación de la tangente y la normal al círculo que tiene la ecuación x ² + y ² = a ² en un punto (3, 6).

Solución:

Dada, Ecuación del círculo = x ² + y ² = a ² .

Derivando la ecuación anterior con respecto a x,

2 × x + 2 × y dy/dx = 0

dy/dx = -(2 × x) / (2 × y)

= -(x / y)

Ecuación de la tangente: (Yy) = (dy/dx) × (X – x)

(Y – y) = -(x / y) × (X – x)

(Y × y) – y = -(X × x) + x ² [Multiplicando el lado izquierdo y derecho por y]

(Y × y) + (X × x) = ^x2 + ^y2

(Y × y) + (X × x) = un ²

Poniendo x = 3 y y = 6, 

(Y × 6) + (X × 3) = a ² , esta es la ecuación requerida.

Ecuación de normal: (Y – y) = (-dx/dy) × (X – x)

(Y – y) = (y / x) × (X – x), -dx/dy = y / x

(Y × x) – y × x = (X × y) – y × x

(Y × x) – (X × y) = 0   

Poniendo x = 3 y y = 6,

(Y × 3) – (X × 6) = 0, esta es la ecuación requerida.                                 

Pregunta 2: Encuentra la ecuación de la tangente a la elipse que tiene la ecuación (x ₂ / a ₂ ) + (y ₂ / b ₂ ) = 1 en un punto (x ₁ , y ₁ ).

Solución:

Dada, Ecuación de elipse = (x ² / a ² ) + (y ² / b ² ) = 1

Derivando la ecuación anterior con respecto a x,

(2 × x) / a ² + ((2 × y) / b ² ) × (dy/dx) = 0

dy/dx = (-(2 × x) / a ² ) / ((2 × y) / b ² )

= (- x × ^{segundo 2} ) / (y × un ² )

Ahora, dy/dx en (x ₁ , y ₁ ) = (-x ₁ × b ² ) / (y ₁ × a ² )

Ecuación de la tangente: (Y – y ₁ ) = (dy/dx) × (X – x ₁ )

(Y – y ₁ ) = ((-x ₁ × b ² ) / (y ₁ × a ² )) × (X – x ₁ )

(Y × y ₁ × a ² ) – (y ₁ ² × a ² ) = (- X × x ₁ × b ² ) + (x ₁ ² × b ² )

Dividiendo ambos lados por (a ² × b ² ),

((Y × y ₁ ) / b ² ) – (y ₁ ² / b ² ) = -(( X × x ₁ ) / a ² ) + (x ₁ ² / a ₂ )

((X × x ₁ ) / a ² ) + ((Y × y ₁ ) / b ² ) = (x ₁ ² / a ² ) + (y ₁ ² / b ² )

((X × x ₁ ) / a ² ) + ((Y × y ₁ ) / b ² ) = 1, esta es la ecuación requerida.     

(x ₁ ² / a ² ) + (y ₁ ² / b ² ) = 1

Pregunta 3: Encuentre la ecuación de la normal a una curva que tiene la ecuación x ² + y ² – 2 × x – 10 × y + 16 = 0 en el punto (2, 2).        

Solución:                      

Dada, Ecuación de la curva: x ² + y ² – 2 × x – 10 × y + 16 = 0

Derivando la ecuación con respecto a x, 

2 × x + 2 × y – 2 – (10 × dy/dx) = 0

dy/dx = (- (2 × x) – (2 × y) + 2) / -10

Poniendo x = 2 y y = 2,

dy/dx = 6/10 = 3 / 5

-dx/dy = -(5/3)

Ecuación de normal: (Y – y) = (-dx/dy) × (X – x)

(Y – 2) = -(5/3) × (X – 2)

(3 × Y) – 6 = (- 5 × X) + 10

(3 × Y) + (5 × X) = 16, esta es la ecuación requerida.

Pregunta 4: Encuentra la ecuación de la tangente a la parábola que tiene la ecuación y ² = 4 × a × x en el punto (x ₁ , y ₁ ).

Solución:

Dada, Ecuación de la parábola: y ² = 4 × a × x

Derivando la ecuación con respecto a x,

2 × y × dy/dx = 4 × a

dy/dx = (4 × a) / (2 × y)

dy/dx = (4 × a) / (2 × y ₁ ) en (x ₁ ,y ₁ )

Ecuación de la tangente: (Y – y ₁ ) = (dy/dx) × (X – x ₁ )

(Y – y ₁ ) = ((4 × a) / (2 × y ₁ )) × (X – x ₁ )

Al resolver:

(Y × y ₁ ) – y ₁₂ = (2 × a × X) – (2 × a × x ₁ )

(Y × y ₁ ) – (2 × a × X) – (2 × a × x ₁ ) = y ₁ ² – (4 × a × x ₁ ), restando 2 × a × x ₁ de ambos lados

(Y × y ₁ ) = -2 × a × (X + x ₁ ), esta es la ecuación requerida, y ₁ ² – (4 × a × x ₁ ) = 0

Pregunta 5: Encuentra la ecuación de la tangente a la curva que tiene la ecuación 4 × x ² + 9 × y ² = 72 en el punto (3, 2).

Solución:

Dada, Ecuación de la curva: 4 × x ² + 9 × y ² = 72

Derivando la ecuación con respecto a x,

8 × x + 18 × y × dy/dx = 0

dy/dx = (-8 × x) / (18 × y)

Poniendo x = 3 y y = 2,

dy/dx = -24 / 36 = -2 / 3

Ecuación de la tangente: (Y – 2) = (- 2 / 3) × (X – 3)

(3 × Y) – 6 = (- 2 × X) + 6

(3 × Y) + (2 × X) = 12, esta es la ecuación requerida. 

Nota: Truco para escribir la ecuación de una tangente a una curva en el punto (x ₁ ,y ₁ )  

1. Reemplace x ² e y ² en la ecuación de la curva por (x × x ₁ ) y (y × y ₁ ) respectivamente. 
2. Reemplace x e y por (x + x ₁ ) / 2 y (y + y ₁ ) / 2 respectivamente.
3. Reemplazar (x × y) por ((x × y ₁ ) + (y × x ₁ )) / 2
4. Las constantes permanecen sin cambios.