Área bajo curvas simples – Barcelona Geeks

,vida real,

fórmula para el área

Las integrales se pueden ver como una suma y las integrales definidas se pueden evaluar a través del teorema fundamental del cálculo. En la siguiente figura, podemos ver una tira arbitraria cuya longitud es «y» y el ancho es «dx». «ydx» se puede aproximar como un área del rectángulo sombreado. Esta área se llama área elemental. A medida que nos movemos de a a b, podemos seguir agregando estas áreas y obtendremos el área debajo de la región ABCD.

Entonces, el área de la región ABCD limitada por la curva f(x) entre x = a y x = b es,

$\int^{b}_{a}f(x)dx$

De manera similar, si tenemos una función g(y) que limita el área entre y = aey y = b. Su área está dada por,

$\int^{b}_{a}g(y)dy$

Nota: Si se considera que la función está en el intervalo negativo, entonces el área resulta ser negativa. Pero no nos preocupamos por el área negativa, solo se tiene en cuenta el valor numérico del área.

Ahora también puede suceder que una parte del área sea negativa y otra positiva, como se ve en la figura a continuación.

El área A1 es negativa y A2 es positiva. En esos casos,

A = |A ₁ | + A2

Veamos algunos problemas relacionados con este concepto

Problemas de muestra

Pregunta 1: Encuentra el área encerrada entre x = 0 y x = 5 por f(x) = e ^x .

Solución:

El área encerrada por la línea = $\int^{5}_{3}x$

= $[e^x]^5_3$

= $e^5 - e^3$

Pregunta 2: Encuentra el área encerrada entre x = 3 y x = 5 por la línea y = x.

Solución:

El área encerrada por la línea = $\int^{5}_{3}x$

= $[\frac{x^2}{2}]^5_3$

= $\frac{5^2 - 3^2}{2}$

= $\frac{16}{2}$

= 8

Pregunta 3: Encuentra el área encerrada por el círculo x ² + y ² = b ² .

Solución:

Figura

El área encerrada por el círculo = 4(Área encerrada por la curva entre 0 y b)

= 4(Área encerrada en la región POQP)

= $4 \int^{b}_{a}ydx$

= $4 \int^{b}_{a}\sqrt{b^2 - x^2}dx$

= $4[\frac{x}{2}\sqrt{b^2 - x^2} + \frac{b^2}{2}sin^{-1}(\frac{x}{b})]$

= $4[\frac{b}{2}\times 0 + \frac{b^2}{2}sin^{-1}(\frac{b}{b})]$

= $4[ \frac{b^2}{2}\times\frac{\pi}{2}]$

= $\pi b^2$

Pregunta 4: Encuentra el área encerrada entre -2 y 2 para la curva f(x) = x ³ .

Solución:

Dada la curva, f(x) = x ³ . Del gráfico podemos ver que la mitad de su área es negativa, por lo que se sumará con su valor numérico.

Figura

un = $\int_{-2}^0 f(x)dx + \int^2_0 f(x)dx$

= $\int_{-2}^{0} x^3dx + \int^{2}_{0}x^3dx$

= $|\int_{-2}^{0} x^3dx| + \int^{2}_{0}x^3dx$

= $|[\frac{x^4}{4}]^{0}_{-2}| + [\frac{x^4}{4}]^{2}_{0}$

= $|-\frac{16}{2}| + \frac{16}{2}$

= $\frac{16}{2} + \frac{16}{2}$

= 16

Pregunta 5: Encuentra el área de la región que está encerrada entre la curva f(x) = x ² y y = 9.

Solución:

Podemos ver en el gráfico que el área de la región encerrada entre ellos estará dada por la diferencia del área bajo f(x) y la recta y =9.

Figura

La línea se cruza con f(x) en x = 3 y x = -3. Entonces, a = -3 y b = 3.

Sea A ₁ el área bajo la f(x)

un ₁ = $\int^{3}_{-3}f(x)dx$

= $\int^{3}_{-3}x^2dx$

= $[\frac{x^3}{3}]^{3}_{-3}dx$

= $[\frac{27}{3} - \frac{-27}{3}]dx$

= 18

Sea A ₂ el área bajo la línea y = 9.

UN ₂ = 9 (6) = 54

UN = UN _{2 –} UN ₁

= 54 – 18

= 36