Área de Polígonos – Medición

que En geometría, un polígono se puede definir como una forma plana o plana bidimensional cerrada con lados rectos. No tiene lados curvos.

¿Puedes pensar en una forma bidimensional cerrada con líneas rectas? ¿Cómo se ve y cómo se puede definir esta forma? Llamamos a esta forma un polígono. Para formar un polígono necesitamos un mínimo de tres segmentos de línea porque el polígono es una forma cerrada. Entonces el polígono más pequeño es un triángulo porque tiene tres lados.

Si un polígono tiene 4 lados o segmentos de línea, entonces se conoce como cuadrilátero. Si un polígono tiene 5 lados o un segmento de línea, se le conoce como Pentágono. Si un polígono tiene 6 lados o segmentos de línea, se le conoce como hexágono. Si un polígono tiene 7 lados o segmentos de línea entonces se le conoce como Heptágono y así sucesivamente.

Partes de polígonos

cara de polígono

Una cara se refiere a la superficie plana de un polígono. El nombre del polígono puede sugerirse por su cara.

Bordes del polígono

Una arista es un segmento de línea en el límite que une un vértice (punto de esquina) con otro. Sirven como la unión de dos caras. Las caras se encuentran en los bordes que son líneas.

Lados: segmentos de línea que se utilizan para formar un polígono, se denota por n.

Ángulos interiores : los ángulos interiores se forman entre los lados adyacentes dentro del polígono y son iguales entre sí. El número de ángulos interiores es igual al número de lados medios. Por ejemplo, un triángulo tiene 3 ángulos interiores, un cuadrilátero tiene 4 ángulos interiores, un pentágono tiene 5 ángulos interiores y un hexágono tiene 6 ángulos interiores.

Ángulo interior = 180° – ángulo exterior

Ángulos exteriores: el exterior se forma al extender un lado del polígono y el ángulo entre esa extensión y el lado adyacente se conoce como ángulo exterior.

Ángulo exterior de cualquier polígono 

n es el número de lados.

vértices del polígono

Un punto donde dos o más líneas se encuentran se llama vértice. es una esquina El punto de intersección de las aristas denota los vértices. Estos bordes se encuentran en vértices que son puntos.

El polígono se forma uniendo líneas, también llamamos al polígono según el número de lados, si un polígono tiene tres lados, se conoce como Triángulo, si el número de lados es 4, entonces se conoce como Cuadrilátero.

Por ejemplo, triángulo, cuadrilátero, pentágono, hexágono, heptágono, octágono, nonágono, decágono, etc.

Polígono cóncavo o convexo

Un polígono convexo no tiene ángulos que apunten hacia adentro. El valor medio del ángulo interno de todos los ángulos internos es siempre menor que 180°.

Si algún ángulo interno es mayor a 180° entonces el polígono se conoce como cóncavo.

Hay dos tipos de polígonos en geometría:

1. Polígono regular

2. Polígono irregular

Polígono regular

Ahora piensa en el polígono que tiene lados iguales y ángulos iguales. ¿Cómo puedes definir este polígono y cómo obtendrás el área del polígono? Como los lados y los ángulos de este polígono son iguales, podemos definir este polígono como un polígono regular. Un polígono regular de n lados tiene simetría rotacional de orden n. 

Todos los vértices de un polígono regular se encuentran en un círculo común conocido como círculo circunscrito porque son puntos no cíclicos. Un polígono regular es un polígono cíclico. 

Pregunta: ¿Cuál es el ángulo exterior e interior de un hexágono regular?

Responder: 

Como sabemos, el hexágono regular se forma al unir 6 segmentos de línea, por lo que el número de lados en el hexágono es 6.

Angulo exterior 

Ángulo interior = 180° – ángulo exterior = 180° – 60° = 120°

Un polígono que tiene lados iguales y ángulos iguales es un polígono regular.

Área de un polígono regular =(½) x Perímetro x Apotema

Ejemplo: Encuentra el área del polígono regular si el perímetro del polígono es de 20 cm y la apotema es de 5 cm.

Solución:

Área de polígono regular =(½) x 20 cm x 5 cm = 50 cm ²

polígono irregular

Piensa en un polígono que tenga diferentes ángulos y diferentes lados. No puedes encontrar el área de este polígono como un polígono regular. Este tipo de polígonos se definen como polígonos irregulares.

Vértices : un punto donde dos o más líneas se encuentran se llama vértice. El punto de intersección de las aristas denota los vértices. 

Lados- Segmento de línea que se usa para formar un polígono, se denota por n. Aquí en polígono irregular la longitud de cada lado no es igual.

Ángulo exterior : la suma de los ángulos exteriores de un polígono irregular también es igual a 360° pero los ángulos no son equivalentes. Debido a que los polígonos irregulares tienen ángulos interiores con diferentes medidas, por eso cada ángulo exterior también tiene una medida diferente.

Área de Polígono Irregular

Para encontrar el área de un polígono irregular, primero se separa la forma en regular. Luego usa las fórmulas del área de los polígonos regulares para encontrar el área de cada uno de esos polígonos. Luego agregue el área de todos los polígonos regulares para obtener el área de un polígono irregular.

Para encontrar el área de un triángulo, usamos la siguiente fórmula:

Area del triangulo=(1/2) x Base x Altura   

Para encontrar el área de un cuadrilátero, podemos dividir el cuadrilátero en dos triángulos construyendo una diagonal y encontrar el área de los triángulos y luego sumarlos para encontrar el área del cuadrilátero dado.

Área del cuadrilátero = (Área del Triángulo) ₁ + (Área del Triángulo) ₂

En la figura anterior, la diagonal AC actuará como base común de los dos triángulos ABC y ADC con alturas h1 y h2 respectivamente.

Área del cuadrilátero (ABCD) = Área del Triángulo (ABC) + Área del Triángulo (ACD)

Área del cuadrilátero (ABCD) = (1/2) x AC xh ₁ + (1/2) x AC xh ₂

Área del cuadrilátero (ABCD) = (1/2) x AC x (h ₁ + h ₂ )

De manera similar, para encontrar el área de un Pentágono, Hexágono, Heptágono y Octágono o para cualquier otro polígono, dividiremos el polígono en diferentes figuras y luego sumaremos el área de cada figura para calcular el área del polígono.

Aquí, estamos tomando un ejemplo de un pentágono ABCDE y encontraremos su área dividiéndolo en cuatro partes.

Al construir sobre ella una diagonal AD y dos perpendiculares BF y CG, el pentágono ABCDE se divide en cuatro partes. Asi que,

Área del Pentágono (ABCDE) = Área de ∆ AFB en ángulo recto + Área de trapecio (BFGC) + Área de ∆ CGD en ángulo recto + Área de ∆ AED

De manera similar, podemos encontrar el área de cualquier polígono dividiendo el polígono en diferentes partes.

Problemas de muestra

Ahora, haremos algunas preguntas relacionadas con encontrar el área de un polígono y esto nos ayudará a aclarar el concepto de una manera mucho mejor.

Pregunta 1: Encuentra el área del polígono dado.

Solución: 

Nos dan la figura anterior que es un hexágono y se supone que debemos encontrar el área de la figura anterior MNOPQR.

Área de la figura MNOPQR = Área del triángulo MNO + Área del triángulo PQR + Área del rectángulo MOPR

Área de la figura MNOPQR = (1/2) × MO × NK +(1/2) × PR × QL + PO × MO

Área de la figura MNOPQR = (1/2) × 20 × 5 + (1/2) x 20 × 5 + 13 × 20

Área de la figura MNOPQR = 10 × 5 + 10 × 5 + 260

Área de la figura MNOPQR = 50 cm ² + 50 cm ² + 260 cm ²

Área de la figura MNOPQR = 360 cm ²

Por lo tanto, el área del hexágono MNOPQR dado es de 360 ​​cm ² .

Pregunta 2: Encuentra el área del polígono dado.

Solución: 

Nos dan la figura anterior que es un hexágono y se supone que debemos encontrar el área de la figura anterior ABCDEF.

Área de la figura ABCDEF = Área del trapecio DEFC+ Área del cuadrado ABCF

Área de la figura ABCDEF = (1/2) × (ED+FC) × EK + (AF) ²

Área de la figura ABCDEF = (1/2) × (7 + 18) × 8 + (18) ²

Área de la figura ABCDEF = 4 × 25 + 18 × 18

Área de la figura ABCDEF = 100 cm ² + 324 cm ²

Área de la figura ABCDEF = 424 cm ²

Por lo tanto, el área del Hexágono ABCDEF dado es 424 cm ²

Pregunta 3: Encuentra el área del polígono dado.

Solución: 

Nos dan la figura de arriba que es un Pentágono y se supone que debemos encontrar el área de la figura de arriba ABCDE.

Área de la figura ABCDE = Área del triángulo AHE + Área del trapecio DEHF + Área del triángulo DFC+ Área del triángulo ABC

Área de la figura ABCDE = (1/2) × AH × HE + (1/2) × (EH+DF) × HF + (1/2) × FC × DF + (1/2) × AC × GB

Área de la figura ABCDE = (1/2) × 50 × 30 + (1/2) × (30+20) × 70 + (1/2) × 30 × 20 + (1/2) × 150 × 50

Área de la figura ABCDE = 25 × 30 + 50 × 35 + 15 × 20 + 150 × 25

Área de la figura ABCDE = 750 m ² + 1750 m ² + 300 m ² + 3750 m ²

Área de la figura ABCDE = 6550 m ²

Por lo tanto, el área del Pentágono ABCDE dado es 6550 m ² .

Pregunta 4: Encuentra el área del polígono dado, donde la longitud de la diagonal AC es de 18 cm.

Solución: 

Nos dan la figura anterior, que es un cuadrilátero, y se supone que debemos encontrar el área de la figura anterior ABCD.

Área del cuadrilátero ABCD = Área del triángulo ABC+ Área del triángulo ADC

Área del cuadrilátero ABCD = (1/2) × AC × DM + (1/2) × AC × BN

Área del cuadrilátero ABCD = (1/2) × AC × (BN+DM)

Área del cuadrilátero ABCD = (1/2) × 18 × (6+5)

Área del cuadrilátero ABCD = 9 × 11 cm ²

Área del cuadrilátero ABCD = 99 cm ²

Por lo tanto, el área del cuadrilátero dado es 99 cm ² .

Pregunta 5: Encuentra el área del polígono dado.

Solución: 

Nos dan la figura de arriba que es un Pentágono y se supone que debemos encontrar el área de la figura de arriba ABCDE.

Área de la figura ABCDE = Área del triángulo AGB + Área del rectángulo BCHG + Área del triángulo AFE + Área del trapecio DEFH

Área de la figura ABCDE = (1/2) × AG × BG + BG × GH + (1/2) × AF × FE + (1/2) × (DH+EF) × FH

Área de la figura ABCDE = (1/2) × 8 × 4 + 4 × 3 + (1/2) × 5 × 5 + (1/2) × (3+5) × 6

Área de la figura ABCDE = 4 × 4 + 4 × 3 + 2,5 × 5 + 3 × 8 cm ²

Área de la figura ABCDE = 16 + 12 + 12,5 + 24 cm ²

Área de la figura ABCDE = 64,5 cm ²

Por lo tanto, el área del Pentágono ABCDE dado es de 64,5 cm ² .

Pregunta 6: Encuentra el área del polígono dado.

Solución: 

Nos dan la figura de arriba que es un Pentágono, y se supone que debemos encontrar el área de la figura de arriba ABCDE.

Área de la figura ABCDE = Área del triángulo ADE + Área del triángulo CHD + Área del trapecio BCHF + Área del triángulo ABF

Área de la figura ABCDE = (1/2) *AD*GE + (1/2) *HD*CH + (1/2) *(CH+BF)*FH + (1/2) *AF*BF

Área de la figura ABCDE = (1/2) × 7 × 4 + (1/2) × 1 × 4 + (1/2) × (4+3) × 4 + (1/2) × 2 × 3 cm ²

Área de la figura ABCDE = 2 × 7 + 2 + 7 × 2 + 1 × 3 cm ²

Área de la figura ABCDE = 14 + 2 + 14 + 3 cm ²

Área de la figura ABCDE = 33 cm ²

Por lo tanto, el área del Pentágono ABCDE dado es de 33 cm ² .