Esbozo de curvas

Las gráficas son muy necesarias en el campo del cálculo, muchas veces es más fácil hacer muchas cosas o hacerse una idea del comportamiento de la función. La naturaleza de cualquier ecuación se puede identificar fácilmente usando gráficos, por ejemplo, dependiendo de cuál sea la ecuación, se puede responder si el gráfico es una parábola, una hipérbola, una elipse, etc. Al dibujar una curva, se toman varios pasos como encontrar el dominio de la función, dibujar la intersección, etc. 

¿Cómo realizar el croquis de curvas? 

Para dibujar el gráfico de cualquier función dada, hay algunos pasos y comprobaciones que debemos seguir. Necesitamos comprobar las derivadas, las intersecciones y también, a veces, las derivadas dobles para averiguar el comportamiento de la función. A veces las funciones son discontinuas, en ese caso, tendremos que revisar todas estas cosas para cada pieza continua. La lista a continuación indica las cosas que debemos verificar para tener una idea clara de cómo se vería el gráfico de cualquier función. 

Dominio

Primero, analice la función para verificar su dominio. Necesitamos encontrar los puntos donde el valor de la función se vuelve indefinido o discontinuo. Por ejemplo: 

 no está definido en x = 0. Log(x) está definido solo en valores positivos de x. 

intercepciones

Ahora, después de comprobar el dominio, buscaremos los puntos donde la gráfica corta el eje x y el eje y. Esto nos da mucha idea sobre la forma de los gráficos. Para encontrar la intersección con x, solo pon y = 0 y resuelve la ecuación. De manera similar, para encontrar los valores de la intersección con y, simplemente ponga x = 0 y resuelva la ecuación reducida para obtener el valor de y. 

Simetría

Determine si las funciones son pares, impares o ninguna de estas. A veces, algunas funciones son de naturaleza periódica. Necesitamos verificar su periodicidad si son de naturaleza periódica. Las funciones que satisfacen f(x) = f(-x) se llaman funciones pares. Mientras que las funciones que satisfacen f(-x) = -f(x) se llaman funciones impares. Algunos ejemplos de funciones periódicas son: 

Sin(x), Cos(x) y otras funciones trigonométricas. 

máximos y mínimos

Los máximos y mínimos de las funciones nos dan una idea de las regiones donde la función es creciente o decreciente. Para encontrar los máximos y mínimos en cualquier función, necesitamos encontrar los puntos críticos. Los puntos críticos de la función se definen como los puntos donde, 

f'(x) = 0

Concavidad y Convexidad

Se debe usar la prueba de la segunda derivada para encontrar los puntos de inflexión. Los puntos de inflexión ocurren cuando f”(x) = 0. Los lugares donde f”(x) < 0, eso significa que la curva es convexa hacia arriba mientras que los lugares donde f”(x) > 0, la curva es convexa hacia abajo. 

Valores asintomáticos 

También necesitamos mirar los valores, la función tomará x = ∞ o x = -∞. Estos valores dan una idea de en qué dirección se ubicará la gráfica de la función a largo plazo en valores más grandes de x. 

Entonces, siguiendo estas reglas generales, podemos dibujar gráficos para cualquier curva. Veamos las curvas de polinomios y funciones logarítmicas. 

Dibujar funciones polinómicas

Las funciones polinómicas ocurren mucho en el cálculo, y es esencial saber cómo dibujar sus gráficos. Veremos una función y usaremos las técnicas estudiadas anteriormente para inferir la gráfica de la función. La idea general es buscar valores asintomáticos, hacia dónde van y luego encontrar los puntos críticos y trazar un gráfico de acuerdo a ellos. Veámoslo a través de ejemplos, 

Ejemplo: Dibuje el gráfico para la función dada, 

f(x) = x2 ⁺ 4

Solución: 

Sabemos que el dominio de esta función son todos los números reales. Estas funciones tenderán al infinito a medida que avanzamos hacia valores grandes positivos y negativos de x. 

Note que f(-x) = (-x) ² + 4 = x ² + 4 = f(x). Es decir, esta función es par, por lo que su gráfica debe ser simétrica con respecto al eje y. 

Ahora sabemos que la gráfica tiende al infinito y es simétrica alrededor del eje y. Ahora, busquemos los puntos críticos. 

f'(x) = 2x = 0 

⇒ x = 0 

Así, sólo hay un punto crítico que es x = 0. Comprobando la doble derivada f”(x) = 2. Ya que f”(x) > 0 para todo x. Entonces, el gráfico debe ser convexo hacia arriba en todas partes con mínimos en x = 0. Ahora solo necesitamos saber el valor de la función en los mínimos. 

f(0) = 4. 

Ahora estamos listos para trazar un gráfico. 

Dibujar funciones logarítmicas

Sabemos que las funciones logarítmicas son inversas de las funciones exponenciales. La función y = log _b x es la inversa de y = b ^x . La gráfica de la función exponencial se muestra a continuación. También sabemos que la gráfica de la inversa de una función es básicamente una imagen especular de la gráfica en y = x. Entonces podemos derivar la forma de la gráfica de la función logarítmica a partir de la gráfica dada de la función exponencial. 

La imagen especular de este gráfico será, 

Veamos un ejemplo de funciones logarítmicas gráficas. 

Ejemplo: Trace la gráfica para log ₁₀ x + 5. 

Solución: 

Podemos ver que la función es f(x) = log ₁₀ x + 5.

La gráfica de esta ecuación se desplazará 5 unidades hacia arriba.

Problemas de muestra

Pregunta 1: Dibuje el gráfico para la función dada, 

f(x) = x + 8

Solución: 

Sabemos que el dominio de esta función son todos los números reales. Estas funciones tenderán al infinito a medida que avanzamos hacia valores grandes positivos y negativos de x. 

Ahora sabemos que la gráfica va a infinito positivo para valores positivos más grandes de x e infinito negativo para valores negativos más grandes de x. Ahora, busquemos puntos críticos. 

f'(x) = 1  

No hay un punto crítico, eso significa que el signo de cambio de derivados permanece igual y constante en todo momento. 

Veamos dónde la ecuación corta el eje x. 

x+ 8 = 0 

⇒x = -8  

Ahora estamos listos para trazar un gráfico. 

Pregunta 2: Dibuje el gráfico para la función dada, 

f(x) = x2 ^– 6x + 8

Solución: 

Sabemos que el dominio de esta función son todos los números reales. Estas funciones tenderán al infinito a medida que avanzamos hacia valores grandes positivos y negativos de x. 

Ahora sabemos que la gráfica va a infinito positivo para valores positivos más grandes de x e infinito negativo para valores negativos más grandes de x. Ahora, busquemos puntos críticos. 

f'(x) = 2x -6 = 0 

⇒x = 3

Hay un punto crítico, que significa que las derivadas cambian de signo, pero no sabemos qué signo cambia a qué. Entonces, revisaremos la señal.

Desde x ∈ (-∞,3] f'(x) < 0. Es decir, en este intervalo, la gráfica es decreciente. 

Desde x ∈ (3,∞) f'(x) > 0. Es decir en este intervalo, la gráfica es creciente.  

Eso significa que el punto crítico es un mínimo. 

Veamos dónde la ecuación corta el eje x. 

x ² -6x + 8 = 0 

⇒x ² -4x -2x + 8 = 0 

⇒x(x – 4) -2(x – 4) = 0

⇒(x – 2)(x – 4) = 0

Ahora estamos listos para trazar un gráfico. 

Pregunta 3: Dibuje el gráfico para la función dada, 

f(x) = x3 ^– 3x + 4

Solución: 

Sabemos que el dominio de esta función son todos los números reales. Estas funciones tenderán al infinito a medida que avanzamos hacia valores grandes positivos y negativos de x. 

Ahora sabemos que la gráfica va a infinito positivo para valores positivos más grandes de x e infinito negativo para valores negativos más grandes de x. Ahora, busquemos puntos críticos. 

f'(x) = 3x ² -3 = 0 

⇒x2 ⁼ 1 

⇒x = -1 o 1

Hay dos puntos críticos, eso significa que las derivadas cambian de signo en ellos, pero no sabemos qué signo cambia a qué. Entonces, revisaremos la señal.

Desde x ∈ (-∞,-1] f'(x) > 0. Es decir en este intervalo, la gráfica es creciente. 

De x ∈ (-1,1] f'(x) < 0. Es decir en este intervalo, la gráfica es decreciente.

De x ∈ (1,∞) f'(x) > 0. Es decir en este intervalo, la gráfica es creciente.  

f(0) = 4. 

Ahora estamos listos para trazar un gráfico. 

Pregunta 4: Encuentra la gráfica para la ecuación f(x) = e ^x  + 2. 

Solución: 

Sabemos que f(x) = e ^x + 2 es una función exponencial, aumenta al aumentar el valor de x. 

f'(x) = e ^x 

Esto nunca llegará a ser cero, por lo que no hay puntos críticos. El gráfico aumenta continuamente. 

f”(x) > 0 por lo que su forma siempre es convexa hacia arriba. Debido a la suma de 2 a la función exponencial. Todo el gráfico se desplazará dos unidades hacia arriba.