Los polinomios se utilizan para modelar algunos fenómenos físicos que ocurren en la vida real, son muy útiles para describir situaciones matemáticamente. Se utilizan en casi todos los campos de la ciencia, incluso fuera de la ciencia como, por ejemplo, en economía y otras áreas relacionadas. Los ceros o raíces de estos polinomios son un aspecto muy importante de su naturaleza y pueden ser muy útiles al describirlos o trazarlos en un gráfico. Veamos su definición y métodos para descubrir las raíces en detalle.
Ceros/Raíces de un Polinomio
Decimos que x = a es la raíz del polinomio si P(x) = 0 en ese punto. El proceso de encontrar el cero es básicamente el proceso de encontrar las soluciones de cualquier ecuación polinomial. Veamos algunos ejemplos sobre cómo encontrar ceros para un polinomio de segundo grado.
Pregunta 1: Encuentra los ceros para P(x) = x 2 + 2x – 15.
Responder:
x2 + 2x – 15 = 0
⇒ x2 + 5x – 3x – 15 = 0
⇒ x(x + 5) – 3(x + 5) = 0
⇒ (x – 3) (x + 5) = 0
⇒ x = 3, -5
Pregunta 2: Encuentra los ceros para P(x) = x 2 – 16x + 64.
Responder:
x2 – 16x + 64 = 0
⇒ x2 – 8x – 8x + 64 = 0
⇒ x(x – 8) – 8(x – 8) = 0
⇒ (x – 8) (x – 8) = 0
⇒ (x – 8) 2 = 0
x = 8, 8
Esto se llama raíz doble.
Supongamos que tenemos un polinomio P(x) = 0 que se factoriza en,
P(x) = (x – r) k (x – a) metro
Si r es un cero de un polinomio y el exponente en su término que produjo la raíz es k, entonces decimos que r tiene multiplicidad k . Los ceros con una multiplicidad de 1 a menudo se denominan ceros simples .
Pregunta 3: P(x) es un polinomio de grado 5, que ha sido factorizado para ti. Enumera las raíces y su multiplicidad.
P(x) = 5x 5 −20x 4 +5x 3 +50x 2 −20x−40=5(x+1) 2 (x−2) 3
Responder:
Dado, P(x) =5(x+1) 2 (x−2) 3
Igualando este polinomio a cero obtenemos la raíz,
x = -1, -1, 2, 2, 2
Observe que -1 aparece dos veces como raíz. Entonces su multiplicidad es 2 mientras que la multiplicidad de la raíz «2» es 3.
Teorema fundamental del álgebra lineal
Si P(x) es un polinomio de grado “n”, entonces P(x) tendrá exactamente n ceros, algunos de los cuales pueden repetirse.
Esto significa que si enumeramos todos los ceros y enumeramos cada uno k veces cuando k es su multiplicidad. Tendremos exactamente n números en la lista. Esto puede ser útil ya que nos puede dar una idea de cuántos ceros debe haber en un polinomio. Entonces podemos dejar de buscar ceros una vez que alcancemos el número requerido de ceros.
Teorema del factor
Para el polinomio P(x),
- Si r es un cero de P(x), entonces x−r será un factor de P(x).
- Si x−r es un factor de P(x), entonces r será un cero de P(x).
Esto se puede verificar mirando los ejemplos anteriores. Este teorema del factor puede conducir a algunos resultados interesantes,
Resultado 1: Si P(x) es un polinomio de grado “n”, y “r” es un cero de P(x), entonces P(x) se puede escribir de la siguiente forma,
P(x) = (x – r) Q(x)
Donde Q(x) es un polinomio de grado “n-1” y se puede encontrar dividiendo P(x) entre (x – r).
Resultado 2: Si P(x) = (xr)Q(x) y x = t es cero de Q(x), entonces x = t también será cero de P(x).
Para comprobar el hecho anterior,
Digamos que “t” es la raíz Q(x), eso significa que Q(t) = 0.
Sabemos que “r” es raíz del polinomio P(x), donde P(x) = (x – r) Q(x),
Entonces, debemos verificar si x = t también es una raíz de P (x), pongamos x = t en P (x)
P(t) = (t – r) Q(t) = 0
Entonces, x = t también es una raíz P(x).
Por lo tanto, Probado.
Problemas de muestra
Pregunta 1: Dado que x = 2 es un cero de P(x) = x 3 +2x 2 −5x−6. Encuentra los otros dos ceros.
Solución:
Del teorema fundamental que estudiamos anteriormente, podemos decir que P(x) tendrá 3 raíces porque es un polinomio de tres grados. Uno de ellos es x = 2.
Entonces podemos reescribir P(x),
P(x) = (x – 2) Q(x)
Para encontrar las otras dos raíces, necesitamos encontrar Q(x).
Q(x) se puede encontrar dividiendo P(x) por (x-2).
Después de dividir, Q(x) resulta ser,
Q(x) = x2 + 4x + 3
Las dos raíces restantes se pueden encontrar a partir de esto,
Q(x) = x2 + 3x + x + 3
⇒ x(x + 3) + 1(x + 3)
⇒ (x + 1) (x + 3)
Q(x) = 0,
x = -1, -3
Así, las otras dos raíces son x = -1 y x = -3.
Pregunta 2: Dado que x = r es una raíz de un polinomio, encuentra las otras raíces del polinomio.
P(x) = x 3 −6x 2 −16x; r = −2
Solución:
Sabemos que x = -2 es una raíz,
Entonces, P(x) se puede reescribir como, P(x) = (x + 2) Q(x).
Ahora para encontrar Q(x), hacemos lo mismo que hicimos en la pregunta anterior, dividimos P(x) entre (x + 2).
Obtenemos,
Q(x) = x2 – 8x
Ahora para encontrar las otras dos raíces, factoriza Q(x)
Q(x) = x (x – 8) = 0
Entonces, las raíces son x = 0, 8.
Entonces, tenemos tres raíces, x = -2, 0, 8.
Entonces, este polinomio también se puede escribir en forma factorizada,
P(x) = (x + 2) (x) (x – 8)
Pregunta 3: Encuentra las raíces del polinomio, 4x 3 -3x 2 -25x-6 = 0
Solución:
Truco para resolver ecuaciones polinomiales de grado 3,
Encuentre el entero más pequeño que pueda hacer que el polinomio tenga un valor de 0, comience con 1,-1,2, y así sucesivamente…
Aquí podemos ver que -2 puede hacer que el polinomio tenga un valor de 0.
Escribe (x+2) en 3 lugares y luego escribe los coeficientes correspondientes para hacer el polinomio completo
4x 2 (x+2) -11x(x+2) -3(x+2) =0
Ahora, fíjate bien, el primer coeficiente es 4x 2 , porque cuando se multiplica con la x dentro del paréntesis, da 4x 3
Cuando 4x 2 se multiplica por 2, da 8x 2 , pero el segundo término debe ser -3x 2 , por lo que el coeficiente que se suma a continuación es -11x
Ahora, sabemos cómo ajustar los términos para que cuando simplifiquemos devuelva el polinomio original.
Obtenemos una ecuación cuadrática y una raíz ya está allí,
(4x 2 -11x-3)(x+2) = 0
Factorizar la ecuación cuadrática,
(4x 2 -12x+x-3)(x+2) = 0
(4x(x-3)+1(x-3))(x+2) = 0
(4x+1)(x-3)(x+2) = 0
x = -2, x = 3, x = -1/4
Pregunta 4: Encuentra los ceros del polinomio, 4x 6 – 16x 4 = 0
Solución:
El Polinomio tiene hasta grado 6, por lo tanto, existen 6 raíces del polinomio.
4x 4 (x 2 -4) = 0
4x 4 (x 2 -2 2 ) = 0
4x 4 [(x+2)(x-2)] = 0
Por lo tanto, x= 0, 0, 0, 0, 2, -2
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por anjalishukla1859 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA