Pregunta 1. Defina el HCF de dos enteros positivos y encuentre el HCF de los siguientes pares de números:
(i) 32 y 54
Solución:
Aplicando el Lema de la División de Euclides en 54 , obtenemos,
54 = 32×1 + 22
Aplicando el Lema de la División de Euclides en 32 y resto 22 , obtenemos,
32 = 22×1 + 10
Ahora, resto ≠ 0, aplicamos el lema de división en 22 y resto 10, obtenemos,
22 = 10×2 + 2
Aplicando el Lema de la División de Euclides en 10 y resto 2 , obtenemos,
10 = 2×5 + 0
Por lo tanto, el HCF de 32 y 54 es 2.
(ii) 18 y 24
Solución:
Aplicando el Lema de la División de Euclides en 24 y 18, obtenemos,
24 = 18 x 1 + 6.
Aplicando el Lema de la División de Euclides en 18 y resto 6., obtenemos,
18 = 6×3 + 0.
Por lo tanto, HCF de 18 y 24 es 6
(iii) 70 y 30
Solución:
Aplicando el Lema de la División de Euclides en 70 y 30, obtenemos,
70 = 30 x 2 + 10.
Aplicando el Lema de la División de Euclides en 30 y resto 10, obtenemos,
30 = 10×3 + 0.
Como el resto es 0 ahora,
Por lo tanto, HCF de 70 y 30 es 10
(iv) 56 y 88
Solución:
Aplicando el Lema de la División de Euclides en 56 y resto 88, obtenemos,
88 = 56×1 + 32.
Aplicando el Lema de la División de Euclides en 56 y resto 32, obtenemos,
56 = 32 x 1 + 24.
Aplicando el Lema de la División de Euclides en 32 y resto 24, obtenemos,
32 = 24 x 1+ 8.
Aplicando el Lema de la División de Euclides en 24 y resto 8, obtenemos,
24 = 8×3 + 0.
Como el resto ahora es 0,
Por lo tanto, HCF de 56 y 88 es 8
(v) 475 y 495
Solución:
Aplicando el Lema de la División de Euclides en 475 y 495, obtenemos,
495 = 475 x 1 + 20.
Aplicando el Lema de la División de Euclides en 475 y resto 20, obtenemos,
475 = 20 x 23 + 15.
Aplicando el Lema de la División de Euclides en 20 y resto 15, obtenemos,
20 = 15×1 + 5.
Aplicando el Lema de la División de Euclides en 15 y resto 5, obtenemos,
15 = 5×3+ 0.
Como el resto ahora es 0,
Por lo tanto, HCF de 475 y 495 es 5
(vi) 75 y 243
Solución:
Aplicando el Lema de la División de Euclides en 243 y 75, obtenemos,
243 = 75 x 3 + 18.
Aplicando el Lema de la División de Euclides en 75 y resto 18, obtenemos,
75 = 18 x 4 + 3.
Aplicando el Lema de la División de Euclides en 18 y resto 3, obtenemos,
18 = 3 x 6+ 0.
Como el resto ahora es 0,
Por lo tanto, HCF de 75 y 243 es 3
(vii) 240 y 6552
Solución:
Aplicando el Lema de la División de Euclides en 6552 y 240, obtenemos,
6552 = 240 x 27 + 72.
Aplicando el Lema de la División de Euclides en 240 y resto 72, obtenemos,
240 = 72 x 3+ 24.
Aplicando el Lema de la División de Euclides en 72 y resto 24, obtenemos,
72 = 24 x 3 + 0.
Como el resto ahora es 0,
Por lo tanto, HCF de 240 y 6552 es 24
(viii) 155 y 1385
Solución:
Aplicando el Lema de la División de Euclides en 1385 y 155, obtenemos,
1385 = 155 x 8 + 145.
Aplicando el Lema de la División de Euclides en 155 y el resto 145, obtenemos,
155 = 145 x 1 + 10.
Aplicando el Lema de la División de Euclides en 145 y resto 10, obtenemos,
145 = 10×14 + 5.
Aplicando el Lema de la División de Euclides en 10 y resto 5, obtenemos,
10 = 5×2 + 0.
Como el resto ahora es 0,
Por lo tanto, HCF de 155 y 1385 es 5
(ix) 100 y 190
Solución:
Aplicando el Lema de la División de Euclides en 190 y 100, obtenemos,
190 = 100×1 + 90.
Aplicando el Lema de la División de Euclides sobre 100 y resto 90, obtenemos,
100 = 90×1 + 10.
Aplicando el Lema de la División de Euclides en 90 y resto 10, obtenemos,
90 = 10×9 + 0.
Por lo tanto, HCF de 100 y 190 es 10
(x) 105 y 120
Solución:
Aplicando el Lema de la División de Euclides en 120 y 105, obtenemos,
120 = 105 x 1 + 15.
Aplicando el Lema de la División de Euclides en 105 y resto 15, obtenemos,
105 = 15×7 + 0.
Por lo tanto, HCF de 105 y 120 es 15
Pregunta 2. Usa el algoritmo de división de Euclides para encontrar el HCF de
(i) 135 y 225
Solución:
Al comparar ambos números enteros, encontramos 225 > 135.
Aplicando el Lema de la División de Euclides en 225 y 135, obtenemos,
225 = 135×1 + 90
Aplicando el Lema de la División de Euclides en 135 y resto 90, obtenemos,
⇒ 135 = 90×1 + 45
Aplicando el Lema de la División de Euclides en 90 y resto 45, obtenemos,
⇒ 90 = 45×2 + 0
Como el resto ahora es 0,
Por lo tanto, el HCF de 225 y 135 es 45.
(ii) 196 y 38220
Solución:
Al comparar ambos números enteros, encontramos 38220 > 196.
Aplicando el Lema de la División de Euclides en 38220 y 196, obtenemos,
38220 = 196×195 + 0
Como el resto ahora es 0,
Por lo tanto, el HCF de 38220 y 196 es 196
(iii) 867 y 255
Solución:
Al comparar ambos números enteros, encontramos 867 > 255.
Aplicando el Lema de la División de Euclides en 867 y 255, obtenemos,
867 = 225 x 3 + 192
Aplicando el Lema de la División de Euclides en 225 y resto 192 , obtenemos,
225 = 192×1 + 33
Aplicando el Lema de la División de Euclides en 192 y resto 33 , obtenemos,
192 = 33×5 + 27
Aplicando el Lema de la División de Euclides en 33 y resto 27 , obtenemos,
33 = 27×1 + 6
Aplicando el Lema de la División de Euclides en 27 y resto 6, obtenemos,
27 = 6×4 + 3
Aplicando el Lema de la División de Euclides en 6 y resto 3, obtenemos,
6 = 3×2 + 0
Como el resto ahora es 0,
Por lo tanto, el HCF de 867 y 255 es 3.
(iv) 184, 230 y 276
Solución:
Primero elegiremos entre 184 y 230 para encontrar el HCF usando el lema de división de Euclides.
Así, obtenemos
230 = 184×1 + 46
Aplicando el Lema de la División de Euclides en 184 y resto 46 , obtenemos,
184 = 46×4 + 0
El HCF es por lo tanto, 230.
Aplicando el Lema de la División de Euclides en 46 y 276, obtenemos,
276 = 46×6 + 0
Por tanto, el HCF del tercer número 276 y 46 es 46.
(v) 136, 170 y 255
Solución:
Primero elegiremos entre 136 y 170 para encontrar el HCF usando el lema de división de Euclides.
Obtenemos,
170 = 136×1 + 34
Aplicando el Lema de la División de Euclides en 136 y resto 34 , obtenemos,
136 = 34×4 + 0
Como el resto ahora es 0, el divisor será el HCF, es decir, 34 para 136 y 170.
Aplicando el Lema de la División de Euclides en 34 y 255, obtenemos,
255 = 34×7 + 17
Aplicando el Lema de la División de Euclides en 34 y el resto 17, obtenemos,
34 = 17×2 + 0
Como el resto ahora es 0,
Por tanto, el HCF de 136, 170 y 255 es 17.
Pregunta 3. Encuentra el MCD de los siguientes números enteros y exprésalo como una combinación lineal de ellos,
(i) 963 y 657
Solución:
Aplicando el Lema de la División de Euclides en 963 y 657, obtenemos,
963 = 657 x 1 + 306………. (1)
Aplicando el Lema de la División de Euclides en 657 y resto 306 , obtenemos,
657 = 306 x 2 + 45………… (2)
Aplicando el Lema de la División de Euclides en 306 y resto 45 , obtenemos,
306 = 45 x 6 + 36…………. (3)
Aplicando el Lema de la División de Euclides en 45 y resto 36 , obtenemos,
45 = 36 x 1 + 9……………… (4)
Aplicando el Lema de la División de Euclides en 36 y resto 9, obtenemos,
36 = 9 x 4 + 0………………. (5)
Por lo tanto, el HCF es 9.
Podemos expresar el HCF como una combinación lineal de 963 y 657, por
9 = 45 – 36 x 1 [de (4)]
= 45 – [306 – 45 x 6] x 1 = 45 – 306 x 1 + 45 x 6 [de (3)]
= 45 x 7 – 306 x 1 = [657 -306 x 2] x 7 – 306 x 1 [de (2)]
= 657 x 7 – 306 x 14 – 306 x 1
= 657 x 7 – 306 x 15
= 657 x 7 – [963 – 657 x 1] x 15 [de (1)]
= 657 x 7 – 963 x 15 + 657 x 15
= 657 x 22 – 963 x 15.
(ii) 592 y 252
Solución:
Aplicando el Lema de la División de Euclides en 592 y 252, obtenemos,
592 = 252 x 2 + 88……… (1)
Aplicando el Lema de la División de Euclides en 252 y resto 88 , obtenemos,
252 = 88 x 2 + 76………. (2)
Aplicando el Lema de la División de Euclides en 88 y el resto 76, obtenemos,
88 = 76 x 1 + 12………… (3)
Aplicando el Lema de la División de Euclides en 76 y resto 12 , obtenemos,
76 = 12 x 6 + 4………….. (4)
Aplicando el Lema de la División de Euclides en 12 y resto 4, obtenemos,
12 = 4×3 + 0………………. (5)
Por lo tanto, HCF = 4.
Podemos expresar el HCF como una combinación lineal de 592 y 252, por
4 = 76 – 12 x 6 [de (4)]
= 76 – [88 – 76 x 1] x 6 [de (3)]
= 76 – 88 x 6 + 76 x 6
= 76×7 – 88×6
= [252 – 88 x 2] x 7 – 88 x 6 [de (2)]
= 252 x 7- 88 x 14- 88 x 6
= 252 x 7- 88 x 20
= 252 x 7 – [592 – 252 x 2] x 20 [de (1)]
= 252 x 7 – 592 x 20 + 252 x 40
= 252×47 – 592×20
= 252 x 47 + 592 x (-20)
(iii) 506 y 1155
Solución:
Aplicando el Lema de la División de Euclides en 506 y 1155, obtenemos,
1155 = 506 x 2 + 143…………. (1)
Aplicando el Lema de la División de Euclides en 506 y resto 143 , obtenemos,
506 = 143 x 3 + 77……………….. (2)
Aplicando el Lema de la División de Euclides en 143 y resto 77 , obtenemos,
143 = 77 x 1 + 66……………… (3)
Aplicando el Lema de la División de Euclides en 77 y el resto 66 , obtenemos,
77 = 66 x 1 + 11……………….. (4)
Aplicando el Lema de la División de Euclides en 66 y el resto 11, obtenemos,
66 = 11 x 6 + 0…………………… (5)
Por lo tanto, HCF = 11.
Podemos expresar el HCF como una combinación lineal de 506 y 1155 por,
11 = 77 – 66 x 1 [de (4)]
= 77 – [143 – 77 x 1] x 1 [de (3)]
= 77 – 143 x 1 + 77 x 1
= 77 x 2 – 143 x 1
= [506 – 143 x 3] x 2 – 143 x 1 [de (2)]
= 506 x 2 – 143 x 6 – 143 x 1
= 506 x 2 – 143 x 7
= 506 x 2 – [1155 – 506 x 2] x 7 [de (1)]
= 506 x 2 – 1155 x 7+ 506 x 14
= 506 x 16 – 1155 x 7
(iv) 1288 y 575
Solución:
Aplicando el Lema de la División de Euclides en 1288 y 575, obtenemos,
1288 = 575 x 2+ 138………… (1)
Aplicando el Lema de la División de Euclides en 575 y resto 138 , obtenemos,
575 = 138 x 4 + 23………………. (2)
Aplicando el Lema de la División de Euclides en 138 y resto 23 , obtenemos,
138 = 23 x 6 + 0……………….. (3)
Por lo tanto, HCF = 23.
Podemos expresar el HCF encontrado como una combinación lineal de 1288 y 575, por
23 = 575 – 138 x 4 [de (2)]
= 575 – [1288 – 575 x 2] x 4 [de (1)]
= 575 – 1288 x 4 + 575 x 8
= 575 x 9 – 1288 x 4
Pregunta 4. Encuentra el mayor número que divide 615 y 963 dejando resto 6 en cada caso.
Solución:
En primer lugar, dado que se requiere 6 como resto, lo restamos de ambos números.
Entonces, los números requeridos son 615 – 6 = 609 y 963 – 6 = 957.
El número requerido es el HCF de los números recién obtenidos, 609 y 957.
Aplicando el Lema de la División de Euclides, obtenemos,
957 = 609 x 1+ 348
609 = 348×1 + 261
348 = 261×1 + 87
261 = 87 x 3 + 0.
Como el resto es 0,
Por lo tanto, el número requerido es 87
Pregunta 5. Si el HCF de 408 y 1032 es expresable en la forma 1032m – 408 x 5, encuentre m.
Solución:
En primer lugar, se encuentra el HCF de 408 y 1032.
Aplicando el Lema de la División de Euclides en 408 y 1032, obtenemos,
1032 = 408×2 + 216.
Aplicando el Lema de la División de Euclides en 408 y resto 216 , obtenemos,
408 = 216 x 1 + 192.
Aplicando el Lema de la División de Euclides en 216 y resto 192 , obtenemos,
216 = 192 x 1 + 24.
Aplicando el Lema de la División de Euclides en 192 y resto 24 , obtenemos,
192 = 24 x 8 + 0.
Como el resto es 0,
El HCF de 408 y 1032 es decir, 24
Entonces, este HCF se expresa como una combinación lineal, es decir,
24 = 1032m – 408×5
1032m = 24 + 408×5
1032m = 24 + 2040
1032m = 2064
m = 2064/1032
Obtenemos,
∴ metro = 2
Pregunta 6. Si el HCF de 657 y 963 se expresa en la forma 657x + 963 x – 15, encuentra x.
Solución:
Aplicando el Lema de la División de Euclides en 657 y 963, obtenemos,
963 = 657 x 1+ 306.
Aplicando el Lema de la División de Euclides en 657 y resto 306 , obtenemos,
657 = 306 x 2 + 45.
Aplicando el Lema de la División de Euclides en 306 y resto 45 , obtenemos,
306 = 45 x 6 + 36.
Aplicando el Lema de la División de Euclides en 45 y resto 36 , obtenemos,
45 = 36×1 + 9.
Aplicando el Lema de la División de Euclides en 36 y resto 9, obtenemos,
36 = 9×4 + 0.
Ahora, el resto = 0.
Por lo tanto, el último divisor es el HCF de 657 y 963, es decir, 9
al expresar el HCF como una combinación lineal, obtenemos ,
9 = 657x + 963 (-15).
Hallando el valor de x, obtenemos
9 = 657x —14445
9 + 14445 = 657x
14454 = 657x
⇒ x = 14454 / 657
∴ x = 22
Pregunta 7. Un contingente del ejército de 616 miembros marchará detrás de una banda del ejército de 32 miembros en un desfile. Los dos grupos deben marchar en el mismo número de columnas. ¿Cuál es el número máximo de columnas en las que pueden marchar?
Solución:
Necesitamos calcular el número máximo de columnas en las que puede marchar la banda del ejército, lo que se puede hacer encontrando el HCF de los dos números dados.
Ahora, esto es igual al HCF de 616 y 32.
Aplicando el Lema de la División de Euclides en 616 y 32 , obtenemos,
616 = 32×19 + 8
32 = 8×4 + 0.
Por lo tanto, HCF = 8
∴ El número máximo de columnas en las que puede marchar la banda del ejército es de 8.
Pregunta 8. Un comerciante tiene 120 litros de aceite de una clase, 180 litros de otra y 240 litros de la tercera. Quiere vender el aceite llenando las tres clases de aceite en latas de igual capacidad. ¿Cuál debería ser la mayor capacidad de tal lata?
Solución:
La mayor capacidad de la lata para llenar tres tipos diferentes de aceite es equivalente al HCF de las tres cantidades disponibles 120,180 y 240.
Aplicando el Lema de la División de Euclides en 180 y 120 , obtenemos,
180 = 120×1 + 60
120 = 60×2 + 0
Como el resto ahora es 0 ,
El HCF = 60.
Calculando el HCF de 60 y la tercera cantidad 240.
Aplicando el Lema de la División de Euclides en 240 y 60 , obtenemos,
240 = 60×4 + 0
Como el resto es 0,
Por lo tanto, el HCF = 60
Por tanto, la lata debe ser de 60 litros.
Pregunta 9. Durante una venta, se vendían lápices de colores en paquetes de 24 cada uno y crayones en paquetes de 32 cada uno. Si desea paquetes completos de ambos y la misma cantidad de lápices y crayones, ¿cuántos necesitaría comprar de cada uno?
Solución:
Tenemos,
Número de lápices de colores en un paquete = 24
Número de crayones en un paquete = 32.
La menor cantidad de lápices de colores y crayones que se necesita comprar es equivalente a su MCM.
MCM de 24 y 32 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3 = 96
Ahora,
El número de paquetes de lápices a comprar = 96 / 24 = 4 paquetes
Y, el número de paquetes de crayones a comprar = 96 / 32 = 3 paquetes
Pregunta 10. Se apilarán 144 cajas de latas de Coca-Cola y 90 cajas de latas de Pepsi en una cantina. Si cada pila tiene la misma altura y debe contener cartones de la misma bebida, ¿cuál sería el mayor número de cartones que tendría cada pila?
Solución:
Tenemos,
Número de cajas de latas de coca cola = 144
Número de cajas de latas de Pepsi = 90.
Por lo tanto, la cantidad máxima de cajas en una pila se puede encontrar calculando el HCF de (144, 90).
Aplicando el Lema de la División de Euclides en 144 y 90 , obtenemos,
144 = 90×1 + 54
90 = 54×1+ 36
54 = 36×1 + 18
36 = 18×2 + 0
∴ Como el resto es 0 ,
Por lo tanto, el mayor número de cajas juntas en una pila es 18
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por mallikagupta90 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA