Pregunta 1. Demuestre que los siguientes números son irracionales.
(yo) 1/√2
Solución:
Supongamos que 1/√2 es un número racional
Supongamos que 1/√2 = r donde r es un número racional
1/r = √2
Suponemos que r es un número racional, 1/r = √2 también es un número racional
Pero como sabemos que √2 es un número irracional
Entonces lo que hemos asumido es incorrecto.
Entonces podemos decir que 1/√2 es un número irracional.
(ii) 7√5
Solución:
Supongamos que 7√5 es un número racional.
De nuevo suponga que dos números enteros positivos a y b.
7√5 = a/b aquí a y b son coprimos
⇒ √5 = a/7b
⇒ √5 es racional [ a y b son números enteros ⇒ a/7b es un número racional]
Esto muestra que √5 es irracional. Entonces, nuestra suposición es incorrecta.
Entonces podemos decir que 7√5 es un número irracional.
(iii) 6 + √2
Solución:
Supongamos que 6+√2 es un número racional.
Entonces, hay co números primos positivos a y b
6 + √2 = a/b
⇒ √2 = a/b – 6
⇒ √2 = (a – 6b)/b
⇒ √2 es racional [(a-6b) /b es un número racional]
Esto contradice que √2 es irracional. Entonces, nuestra suposición es incorrecta.
Entonces podemos decir que 6 + √2 es un número irracional.
(iv) 3 − √5
Solución:
Supongamos que 3-√5 es un número racional.
Existen co números enteros positivos primos a y b tales que
3-√5 = a/b
⇒ √5 = a/b + 3
⇒ √5 = (a + 3b)/b
⇒ √5 es racional [(a+3b) /b es un número racional]
Esto contradice que √5 es irracional. nuestra suposición es incorrecta.
Entonces podemos decir que 3-√5 es un número irracional.
Pregunta 2. Demuestra que los siguientes números son irracionales.
(yo) 2/√7
Solución:
Supongamos que 2/√7 es un número racional.
Existen enteros positivos coprimos a y b
2/√7 = a/b
⇒ √7 = 2b/a
⇒ √7 es racional [2b/a es un número racional]
Esto contradice que √7 es irracional. Entonces, podemos decir que nuestra suposición es incorrecta.
Entonces podemos decir que 2/√7 es un número irracional.
(ii) 3/(2√5)
Solución:
Supongamos que 3/( 2√5 ) es un número racional.
Existen co – números primos positivos a y b
3/(2√5) = a/b
⇒ √5 = 3b/2a
⇒ √5 es racional [3b/2a es un número racional]
Esto contradice que √5 es irracional. Entonces, nuestra suposición es incorrecta.
Entonces podemos decir que 3/(2√5) es un número irracional.
(iii) 4 + √2
Solución:
Supongamos por el contrario que 4 + √2 es un número racional.
Existen co primeros enteros positivos a y b
4 + √2 = a/b
⇒ √2 = a/b – 4
⇒ √2 = (a – 4b)/b
⇒ √2 es racional [(a – 4b)/b es un número racional]
Esto contradice que √2 es irracional. Entonces, nuestra suposición es incorrecta.
Entonces podemos decir que 4 + √2 es un número irracional.
(iv) 5√2
Solución:
Supongamos que 5√2 es un número racional.
Existen enteros positivos a y b tales que
5√2 = a/b donde, a y b, son coprimos
⇒ √2 = a/5b
⇒ √2 es racional [a/5b es un número racional]
Esto contradice que √2 es irracional. Entonces, nuestra suposición es incorrecta.
Entonces podemos decir que 5√2 es un número irracional.
Pregunta 3. Demuestra que 2 − √3 es un número irracional.
Solución:
Supongamos que 2 – √3 es un número racional.
Existen co primeros enteros positivos a y b
2 – √3= a/b
⇒ √3 = 2 – a/b
⇒ √3 = (2b – a)/b
⇒ √3 es racional [(2b – a)/b es un número racional]
Esto contradice que √3 es irracional. Entonces, nuestra suposición es incorrecta.
Entonces podemos decir que 2 – √3 es un número irracional.
Pregunta 4. Demuestra que 3 + √2 es un número irracional.
Solución:
Supongamos que 3 + √2 es un número racional.
Existen co primeros enteros positivos a y b
3 + √2= a/b
⇒ √2 = a/b – 3
⇒ √2 = (a – 3b)/b
⇒ √2 es racional [(a – 3b)/b es un número racional]
Esto contradice que √2 es irracional. Entonces, nuestra suposición es incorrecta.
Entonces podemos decir que 3 + √2 es un número irracional.
Pregunta 5. Demuestra que 4 − 5√2 es un número irracional.
Solución:
Supongamos que 4 – 5√2 es un número racional.
Existen co números primos positivos a y b
4 – 5√2 = a/b
⇒ 5√2 = 4 – a/b
⇒ √2 = (4b – a)/(5b)
⇒ √2 es racional [(4b – a)/5b es un número racional]
Esto contradice que √2 es irracional. Entonces, nuestra suposición es incorrecta.
Entonces podemos decir que 4 – 5√2 es un número irracional.
Pregunta 6. Demuestra que 5 − 2√3 es un número irracional.
Solución:
Supongamos que 5 – 2√3 es un número racional.
Existen co números primos positivos a y b
5 – 2√3 = a/b
⇒ 2√3 = 5 – a/b
⇒ √3 = (5b – a)/(2b)
⇒ √3 es racional [(5b – a)/2b es un número racional]
Esto contradice que √3 es irracional. Entonces, nuestra suposición es incorrecta.
Entonces podemos decir que 5 – 2√3 es un número irracional.
Pregunta 7. Demuestra que 2√3 − 1 es un número irracional.
Solución:
Supongamos que 2√3 – 1 es un número racional.
Existen co primos enteros positivos a y b
2√3 – 1 = a/b
⇒ 2√3 = a/b + 1
⇒ √3 = (a + b)/(2b)
⇒ √3 es racional [(a + b)/2b es un número racional]
Esto contradice que √3 es irracional. Entonces, nuestra suposición es incorrecta.
Entonces podemos decir que 2√3 – 1 es un número irracional.
Pregunta 8. Demuestra que 2 − 3√5 es un número irracional.
Solución:
Supongamos que 2 – 3√5 es un número racional.
Existen co números primos positivos a y b tales que
2 – 3√5 = a/b
⇒ 3√5 = 2 – a/b
⇒ √5 = (2b – a)/(3b)
⇒ √5 es racional [( 2b – a)/3b es un número racional]
Esto contradice que √5 es irracional. Entonces, nuestra suposición es incorrecta.
Entonces podemos decir que 2 – 3√5 es un número irracional.
Pregunta 9. Demuestra que √5 + √3 es irracional.
Solución:
Supongamos que √5 + √3 es un número racional.
Existen co números primos positivos a y b
√5 + √3 = a/b
⇒ √5 = (a/b) – √3
⇒ (√5) 2 = ((a/b) – √3) 2 [Elevar al cuadrado en ambos lados]
⇒ 5 = (a 2 /b 2 ) + 3 – (2√3a/b)
⇒ (a 2 /b 2 ) – 2 = (2√3a/b)
⇒ (a/b) – ( 2b/a) = 2√3
⇒ (a 2 – 2b 2 )/2ab = √3
⇒ √3 es racional [(a 2 – 2b 2 )/2ab es racional]
Esto contradice que √3 es irracional. Entonces, nuestra suposición es incorrecta.
entonces podemos decir que, √5 + √3 es un número irracional.
Pregunta 10. Demuestra que √2 + √3 es irracional.
Solución:
Supongamos que √2 + √3 es un número racional.
Existen co números enteros positivos primos a y b.
√2 + √3 = a/b
⇒ √2 = (a/b) – √3
⇒ (√2) 2 = ((a/b) – √3) 2 [Cuadrado en ambos lados]
⇒ 2 = (a 2 /b 2 ) + 3 – (2√3a/b)
⇒ (a 2 /b 2 ) + 1 = (2√3a/b)
⇒ (a/b) + (b/a) = 2√3
⇒ (a 2 + b 2 )/2ab = √3
⇒ √3 es racional [(a 2 + 2b 2 )/2ab es racional]
Esto contradice que √3 es irracional. Entonces, nuestra suposición es incorrecta.
Entonces podemos decir que, √2 + √3 es un número irracional.
Pregunta 11. Demuestra que para cualquier número primo positivo p, √p es un número irracional.
Solución:
Asuma que √p como un número racional
Nuevamente suponga que √p = a/b donde a y b son números enteros y b ≠ 0
Al elevar al cuadrado en ambos lados
p = a 2 /b 2
pb = a 2 /b
p y b son números enteros pb= a 2 /b también será un número entero
Pero sabemos que a 2 /b es un número racional. entonces nuestra suposición es incorrecta
Entonces, √p es un número irracional.
Pregunta 12. Si p, q son números primos positivos, prueba que √p + √q es un número irracional.
Solución:
Supongamos por el contrario que √p + √q es un número racional.
Entonces, existen co números primos positivos a y b tales que
√p + √q = a/b
⇒ √p = (a/b) – √q
⇒ (√p) 2 = ((a/b) – √q ) 2 [Elevación al cuadrado en ambos lados]
⇒ p = (a 2 /b 2 ) + q – (2√qa/b)
⇒ (a 2 /b 2 ) – (p+q) = (2√qa/b)
⇒ (a/b) – ((p+q)b/a) = 2√q
⇒ (a 2 – b 2 (p+q))/2ab = √q
⇒ √q es racional [(a 2 – b 2 (p+q))/2ab es racional]
Esto contradice que √q es irracional. Entonces, nuestra suposición es incorrecta.
entonces podemos decir que, √p + √q es un número irracional.
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Artículo escrito por vaibhavkumar303 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA