Clase 10 RD Sharma Solutions- Capítulo 10 Círculos – Ejercicio 10.2 | conjunto 2

Pregunta 11. En la figura, PQ es tangente en un punto R de la circunferencia de centro O. Si ∠TRQ = 30°, encuentra m ∠PRS

Solución:

∠TRQ = 30° y PQ es tangente en el punto R

Para encontrar: ∠PRS

Ahora ∠SRT = 90° (ángulo en un semicírculo)

Además, ∠TRQ + ∠SRT + ∠PRS = 180° (Ángulos de una línea)

=> 30° + 90° + ∠PRS = 180°

=> ∠PRS = 180° – 120°

=> ∠PRS = 60°

Pregunta 12. Si PA y PB son tangentes desde un punto exterior P, tal que PA = 10 cm y ∠APB = 60°. Encuentre la longitud de la cuerda AB.

Solución:

PA = 10 cm y ∠APB = 60°

También sabemos que 

      PA = PB = 10 cm (Las tangentes trazadas desde un punto fuera del círculo son iguales)

=> ∠PAB = ∠PBA

Ahora, en ∆APB, tenemos:

     ∠APB + ∠PAB + ∠PBA = 180° (Ángulos de un triángulo)

=> 60° + ∠PAB + ∠PAB = 180°

=> 2 ∠PAB = 180° – 60° = 120°

=> ∠PAB = 60°

∠PBA = ∠PAB = 60°

Por eso. PA = PB = AB = 10 cm

Por lo tanto, la longitud de la cuerda AB = 10 cm

Pregunta 13. En un triángulo rectángulo ABC en el que ∠B = 90°, se dibuja una circunferencia de diámetro AB que corta a la hipotenusa AC en P. Demuestra que la tangente a la circunferencia en P biseca a BC.

Solución:

Dado: Sea O el centro de la circunferencia de diámetro AB.

Las tangentes a la circunferencia en P se cruzan con BC en Q.

Para probar: PQ biseca a BC, es decir, BQ = QC

Prueba:

∠ABC = 90°     

En ∆ABC, ∠1 + ∠5 = 90° [propiedad de la suma de ángulos, ∠ABC = 90°]

∠3 = ∠1 [ángulo entre la tangente y la cuerda es igual al ángulo formado por la cuerda en el segmento alterno]

=> ∠3 + ∠5 = 90° (1)

Y, ∠APB = 90° [ángulo en semicírculo]

=> ∠3 + ∠4 = 90° (2) [∠APB + ∠BPC = 180°, par lineal]

De la ecuación (1) y (2), obtenemos

∠3 + ∠5 = ∠3 + ∠4

∠5 = ∠4

=> PQ = QC (3) [los lados opuestos a los ángulos iguales son iguales]

Además, QP = QB (4) [las tangentes dibujadas desde un punto interno a un círculo son iguales]

De la ecuación (3) y (4), obtenemos:

=> QB = control de calidad

Por tanto, PQ biseca a BC queda demostrado

Pregunta 14. Desde un punto exterior P se trazan las tangentes PA y PB a una circunferencia de centro O. Si CD es la tangente a la circunferencia en un punto E y PA = 14 cm, hallar el perímetro de ∆PCD.

Solución:

AP = 14 cm

PA = PB = 14 cm (PA y PB son las tangentes al círculo desde P)

También,

CA = CE (1) (CA y CE son las tangentes de C)

DB = DE (2) (DB y DE son las tangentes de D)

Entonces, perímetro de ∆PCD:

 = PC+ PD + CD

=> PC+ PD + CE + DE

=> PC+ CE + PD + DE

=> PC+ CA + PD = DB (De (1) y (2))

=> PA + PB

=> 14cm + 14cm

= 28cm

Pregunta 15. En la figura, ABC es un triángulo rectángulo con ángulo recto en B tal que BC = 6 cm y AB = 8 cm. Encuentre el radio de su incircunferencia.

Solución:

∠B = 90°, BC = 6 cm, AB = 8 cm y r el radio de la circunferencia de centro O

Aplicando el Teorema de Pitágoras en ∆ABC de ángulo recto:

     AC² = AB² + BC² 

=> AC² = (8)² + (6)² = 64 + 36 = 100 

=> CA = 10 cm

=> AR + CR = 10 cm (1)

Ahora, AP = AR (AP y AR son las tangentes al círculo desde A)

Del mismo modo, CR = CQ y BQ = BP

OP y OQ son radios de la circunferencia = r (2)

OP ⊥ AB y OQ ⊥ BC (3) (el ángulo entre el radio y el punto de contacto de la tangente es de 90°)

y ∠B = 90° (4)

De la ecuación (2), (3) y (4):

BPOQ es un cuadrado

=> BP = BQ = r

=> AR = AP = AB – BD = 8 – r (5)

y CR = CQ = BC – BQ = 6 – r (6)

De la ecuación (1), (5) y (6), obtenemos:

      AR + RC = 10

=> 8 – r + 6 – r = 10 (de (5) y (6))

=> 14 – 2r = 10

=> 2r = 14 – 10 = 4

=> r = 2

Radio del incircunferencia = 2 cm

Pregunta 16. Demostrar que la tangente trazada en el punto medio de un arco de círculo es paralela a la cuerda que une los extremos del arco.

Solución:

Dado: Sea C el punto medio del arco ACB y sea DCE la tangente a él

Para probar: AB || DCE

Prueba:

Arco AC = Arco BC

=> Acorde AC = Acorde BC

Ahora, en ∆ABC, 

     CA = BC

=> ∠CAB = ∠CBA (1) (lados iguales correspondientes al ángulo igual)

Ya que, DCE es una recta tangente.

∠ACD = ∠CBA (los ángulos en los segmentos alternos son iguales)

=> ∠ACD = ∠CAB (de la ecuación (1))

=> ∠ACD y ∠CAB son ángulos alternos

Lo cual solo es posible solo cuando AB || CDE

Por lo tanto, la tangente trazada en el punto medio de un arco de círculo es paralela a la cuerda que une los puntos extremos del arco.

Pregunta 17. Desde un punto P se trazan dos tangentes PA y PB a una circunferencia de centro O. Si OP = diámetro de la circunferencia demostrar que ∆APB es equilátero.

Solución:

Dado: Dos tangentes PA y PB se dibujan al círculo y OP es el diámetro 

Demostrar: ∆APB es equilátero

Prueba: OP = 2r (sea r el radio del círculo)

=> OQ + QP = 2r

=> OQ = QP = r (OQ es el radio)

Ahora en ∆OAP derecha,

OP es la hipotenusa y Q es el punto medio de la misma

=> OA = AQ = OQ (el punto medio de la hipotenusa de un triángulo rectángulo equidista de sus vértices)

Por lo tanto, ∆OAQ es un triángulo equilátero 

=> ∠AOQ = 60°

Además, ∠APO = 90° – 60° = 30° (La suma de todos los ángulos del triángulo es 180°)

=> ∠APB = 2 ∠APO = 2 x 30° = 60° (1)

También sabemos que, PA = PB (Tangentes de P a la circunferencia)

=> ∠PAB = ∠PBA (2)

Ahora, en ∆APB:

     ∠PBA + PAB + ∠APB = 180° (suma de todos los ángulos)

=> 2∠PBA = 120° (de (1) y (2))

=> ∠PAB = ∠PBA = 60°

Por tanto, ∆APB es un triángulo equilátero.

Pregunta 18. Se dibujan dos segmentos tangentes PA y PB a un círculo con centro O tal que ∠APB = 120°. Demostrar que OP = 2 AP. 

Solución:

Dado: Dos tangentes a la circunferencia desde un punto P y ∠APB = 120°

Para probar: OP = 2 AP

Prueba : En ∆OAP derecha,

∠OPA = (1/2)∠APB = 60°

=> ∠AOP = 90° – 60° = 30°

Sea Q el punto medio de la hipotenusa OP de ∆OAP

=> QO = QA = QP

=> ∠OAQ = ∠AOQ = 30° 

=> ∠PAQ = 90° – 30° = 60°

Entonces, ∆AQP es un triángulo equilátero

=> QA = QP = AP (1)

Además, Q es el punto medio de OP

=> OP = 2 QP = 2 AP (de (1))

Por lo tanto, probado.

Pregunta 19. Si ∆ABC es isósceles con AB = AC y C (0, r) es la circunferencia inscrita del ∆ABC que toca a BC en L. Demuestra que L biseca a BC.

Solución:

Dado: ∆ABC isósceles con AB = AC y una circunferencia con centro en O y radio r toca el lado BC de ∆ABC en L.

Para probar: L es el punto medio de BC.

Prueba: AM y AN son las tangentes a la circunferencia desde A

=> AP = AQ

Pero AB = AC (dado)

=> AB-AQ = AC-AP

=> BQ = PC (1)

Ahora BL y BQ son las tangentes de B

=> BL = BQ (2)

De manera similar, CL y CP son tangentes

=> CL = PC (3)

Además, BQ = CP (de (1))

=> BL = CL (de (2) y (3))

Por lo tanto, se demostró que L es el punto medio de BC.

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Artículo escrito por img2018033 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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