Clase 10 Soluciones RD Sharma – Capítulo 14 Geometría de coordenadas – Ejercicio 14.3

Sean las coordenadas de tres vértices A (-2, -1), B (1, 0) y C (4, 3)

Y que las diagonales AC y BD se bisequen en O

$=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\ \frac{y_1+y_2}{2}\right)\\ =\left(\frac{-2+4}{2},\ \frac{-1+3}{2}\right)\\ =\left(\frac{2}{2},\ \frac{2}{2}\right)\\ =(1,\ 1)$

Por lo tanto, las coordenadas de O serán

$\left(\frac{1+x}{2},\ \frac{0+y}{2}\right)\\ =\left(\frac{1+x}{2},\ \frac{y}{2}\right)$

Por lo tanto(1 + x)/2 = 1

1 + x = 2

X = 1

Por tanto, las coordenadas de D serán (1, 2).

Suponga que los bordes de una diagonal AC de un paralelogramo ABCD son A (3, -4) y C (-6, 2)

Considere que AC y BD se bisecan en O.

Por lo tanto,

El punto medio de AC será

$=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\ \frac{y_1+y_2}{2}\right)\\ =\left(\frac{3-6}{2},\ \frac{-4+2}{2}\right)\\ =\left(\frac{-3}{2},\ \frac{-2}{2}\right)\\ =(\frac{-3}{2},\ -1)$

Suponga que el cuarto vértice del paralelogramo sea (x, y)

Por lo tanto,

El punto medio de BD será

$=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\ \frac{y_1+y_2}{2}\right)\\ =\left(\frac{-1+x}{2},\ \frac{-3+y}{2}\right)\\ =\frac{-1+x}{2}=\frac{-3}{2}$

-1 + x = -3

x = -2

y

(-3 + y)/2 = -1

-3 + y = -2

y = -2 + 3 = 1

Por lo tanto, las coordenadas de D son (-2, 1).

,

₁₁₂₂₃₃

Por lo tanto,

$\frac{x_2+x_3}{2}=1$

x2 + _x3 = ₂

$\frac{y_2+y_3}{2}=1$

y ₂ + y ₃ = 2

De manera similar, E es el punto medio de AC

Por lo tanto,

$\frac{x_3+x_1}{2}=2$

x ₃ + x ₁ = 4

$\frac{y_3+y_1}{2}=-3$

y ₃ + y ₁ = -6

Y

F es el punto medio de AB

Por lo tanto,

$\frac{x_2+x_1}{2}=3$

x2 + x1 ₌₆

$\frac{y_2+y_1}{2}=4$

y ₂ + y ₁ = 8

Ahora,

Al sumar obtendremos

Al restar (ii), (iii) e (i) de (iv), obtenemos

Similarmente

Al sumar obtendremos

Al restar (vi), (vii) y (v) de (viii), obtenemos

Por tanto, los vértices de ∆ABC son A (4, 0), B(2, 8), C(0, -6)

$x=\frac{mx_2+nx_1}{m+n}\\ =\frac{m\times8+n\times3}{m+n}\\ =\frac{8m+3n}{m+n}$

y

$y=\frac{my_2+ny_1}{m+n}\\ =\frac{m\times9+n(-1)}{m+n}\\ =\frac{9m-n}{m+n}$

Este punto (x, y) se encuentra en la línea en la línea x – y – 2 = 0

$\frac{m}{n}=\frac{2}{3}$

Por lo tanto, la relación = 2 : 3 internamente

Si O es el punto medio de AC, entonces sus coordenadas serán

$=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\ \frac{y_1+y_2}{2}\right)\\ =\left(\frac{a+b+a-b}{2},\ \frac{a-b+a+b}{2}\right)\\ =\left(\frac{2a}{a},\ \frac{2a}{a}\right)\\ =(a,\ a)$

y

Si O es el punto medio de BD, entonces las coordenadas serán

$\left(\frac{x+2a+b}{2},\ \frac{y+2a-b}{2}\right)\\ \therefore\frac{x+2a+b}{2}=a$

x + 2a + b = 2a

x = 2a – 2a – b = -b

y

$\frac{y+2a-b}{2}=a$

y + 2a – b = 2a

y = 2a – 2a + b = b

Por lo tanto, las coordenadas de D serán (-b, b).

Suponga que las coordenadas de C sean (x ₁ , y ₁ ) y de D sean (x ₂ , y ₂ )

Si O es el punto medio de AC, entonces

$x=\frac{x_1+x_2}{2}$

3 + x ₁ = 4

x1 = ₄ – 3 = 1

y

$y=\frac{y_1+y_2}{2}$

$2=\frac{3+x_1}{2}$

y

$-5=\frac{2+y_1}{2}$

2 + y ₁ = -10

y ₁ = -10 – 2 = -12

Por lo tanto, las coordenadas de C serán (1, -12)

Nuevamente, si O es el punto medio de BD, entonces

$2=\frac{-1+x_2}{2}$

-1 + x2 = ₄

x2 = ₄ + 1 = 5

y

$-5=\frac{0+y_2}{2}$

y2 ₌ -10

Por tanto, las coordenadas de D serán (5, -10).

coordenadas,

Las coordenadas de los puntos medios de los lados BC, CA y AB son D (3, 4), E (4, 6) y F (5, 7) del ∆ABC.

Suponga que las coordenadas de los vértices del triángulo son

Ahora las coordenadas de D serán

$\left(\frac{x_2+x_3}{2},\ \frac{y_2+y_3}{2}\right)\\ \therefore\frac{x_2+x_3}{2}=3$

x2 ₊ x3 = ₆

y

y ₂ + y ₃ = 4

y ₂ + y ₃ = 8

De manera similar, las coordenadas de E serán

$\frac{x_3+x_1}{2}=4$

x ₃ + x ₁ = 8

y

$\frac{y_3+y_1}{2}=6\\ \Rightarrow y_3+y_1=12\\ \frac{x_1+x_2}{2}=5\\ \Rightarrow x_1+x_2=10$

y

$\frac{y_1+y_2}{2}=7$

y ₁ + y ₂ = 14

Ahora,

x2 ₊ x3 = ₆ …….(i)

x ₃ + x ₁ = 8 ……..(ii)

x1 + x2 ₌₁₀ ……..(iii)

Al sumar obtendremos

2(x1 ₊ x2 ₊ x3 ) = ₂₄

Al restar cada uno de (iv),

Obtendremos

x ₁ = 6, x ₂ = 4 y x ₃ = 2

Similarmente,

y ₂ + y ₃ = 8 ……..(v)

y ₃ + y ₁ = 12 ………(vi)

y ₁ + y ₂ = 14 ……..(vii)

Al sumar, obtendremos

2(y1 ₊_y2 + _y3 ) = 34

Al restar cada uno de (viii),

Obtendremos

y ₁ = 9

y ₂ = 5

y ₃ = 3

Por lo tanto, las coordenadas serán de A (6, 9), B (4, 5) y C (2, 3)

Dos puntos A y B trisecan el segmento de línea que une los puntos P (3, 3) y Q (6, -6) y A está más cerca de P y A también se encuentra en la línea 2x + y + k = 0

Ahora,

A divide el segmento de recta PQ en la razón de 1 : 2

es decir,

PA = AQ = 1 : 2

Suponga que las coordenadas de A son (x, y), luego

$x=\frac{m_1x_2+m_2x_1}{m_1+m_2}\\ =\frac{1\times6+2\times3}{1+2}\\ =\frac{6+6}{3}\\ =\frac{12}{3}\\ =4$

$y=\frac{m_1y_2+m_2y_1}{m_1+m_2}\\ =\frac{1\times(-6)+2\times3}{1+2}\\ =\frac{-6+6}{3}\\ =\frac{0}{3}\\ =0$

Las coordenadas de A son (4, 0)

Como A se encuentra en la recta 2x + y + k = 0

Por eso,

lo satisfará

2

8 + k = 0

k = -8

,

A (1, -2), B (3, 6) y C (5, 10) son los tres vértices consecutivos del paralelogramo ABCD

Supongamos que (x, y) es su cuarto vértice

AC y BD son sus diagonales que se bisecan en O

Como O es el punto medio de AC

Por lo tanto,

Las coordenadas de O serán

$\left(\frac{3+x}{2},\ \frac{6+y}{2}\right)$

Al comparar,

3 + x = 3

3 + x = 6

x = 3

y

(6 + y)/2 = 4

6 + y = 8

y = 2

Por lo tanto, las coordenadas del cuarto vértice D son (3, 2).

,

A (a, -11), B (5, b), C (2, 15) y D (1, 1) son los vértices de un paralelogramo ABCD

Las diagonales AC y BD se bisecan en O

Como O es el punto medio de AC

Por lo tanto,

Las coordenadas de O serán

$\left(\frac{2+a}{2},\ \frac{-11+15}{2}\right)\\ \left(\frac{2+a}{2},\ \frac{4}{2}\right)\\ \left(\frac{2+a}{2},\ 2\right)$

De manera similar, O es el punto medio de BD también

Por lo tanto,

Las coordenadas de O serán

(2 + a)/2 = 3

segundo + 1 = 4

segundo = 3

Por eso,

un = 4

segundo = 3

,coordenadas

Por lo tanto,

$\frac{x_2+x_3}{2}=3\\ \Rightarrow x_3+x_3=6$

$\frac{y_2+y_3}{2}=-2\\ \Rightarrow y_2+y_3=-4$

$-3=\frac{x_3+x_1}{2}\\ \Rightarrow x_3+x_1=-6$

$1=\frac{y_3+y_1}{2}\\ \Rightarrow y_3+y_1=2$

$\frac{x_1+x_2}{2}=4\\ \Rightarrow x_1+x_2=8$

$\frac{y_1+y_2}{2}=-3\\ \Rightarrow y_1+y_2=-6$

Al sumar obtenemos

Al restar de (iv) obtenemos

x3 = _-4

y

y ₂ + y ₃ = -4 …….(v)

y ₃ + y ₁ = 2 …….(vi)

_y1 + y2 = _-6 ………(vii)

Al sumar, obtendremos

Al restar de (viii)

y ₃ = 2

Por lo tanto, las coordenadas de A son (-2, 0) de B son (10, -6) y de C (-4, 2).

Suponga que la línea AB cuyos extremos son A (3, -4) y B (1, 2)

$(\frac{5}{3},\ q)$

Ahora,

Como P divide a AB en la razón 1 : 2

Por lo tanto,

Las coordenadas de P serán

$p=\frac{mx_2+nx_1}{m+n}\\ =\frac{1\times1+2\times3}{1+2}\\ =\frac{1+6}{3}\\ =\frac{7}{3}$

De manera similar, Q divide a AB en la razón 2 : 1

$q=\frac{my_2+ny_1}{m+n}\\ =\frac{2\times2+1\times(-4)}{2+1}\\ =\frac{4-4}{3}\\ =0$

p = 7/3, q = 0

puntos

Los puntos A (2, 1) y B (5, -8) son los extremos del segmento AB

Los puntos P y Q lo trisecan y P se encuentra en la línea 2x – y + k = 0

Como P divide a AB en la razón de 1 : 2

Por lo tanto,

Las coordenadas de P serán

$\left(\frac{mx_2+nx_1}{m+n},\ \frac{my_2+ny_1}{m+n}\right)\\ =\left(\frac{1\times5+2\times2}{1+2},\ \frac{1\times(-8)+2\times1}{1+2}\right)\\ =\left(\frac{5+4}{3}=\frac{9}{3}=3,\ \frac{-8+2}{3}=\frac{-6}{3}=-2\right)$

Por lo tanto,

Las coordenadas de P son (3, -2)

Como se encuentra en 2x – y + k = 0

Por lo tanto,

lo satisfará

2 × 3 – (-2) + k = 0

⇒ 6 + 2 + k = 0

⇒ 8 + k = 0

⇒ k = -8

,

En ∆ABC, las coordenadas de A (4, 2) de (6, 5) y de (1, 4) y AD es BE y CF son las medianas

tales que D, E y F son los puntos medios de los lados BC, CA y AB respectivamente

P es un punto en AD tal que AP : PD = 2 : 1

Ahora las coordenadas de D serán

$\left(\frac{x_1+x_2}{2},\ \frac{y_1+y_2}{2}\right)\\ \left(\frac{6+1}{2},\ \frac{5+4}{2}\right)\\ \left(\frac{7}{2},\ \frac{9}{2}\right)$

(ii) Como P divide a AD en la razón de 2 : 3

Por lo tanto,

Las coordenadas de P serán

$x=\frac{mx_2+nx_1}{m+n}\\ =\frac{2\times\frac{7}{2}+1\times4}{2+1}\\ =\frac{9+2}{3}\\ =\frac{11}{3}$

De este modo,

Las coordenadas de P son $\left(\frac{11}{3},\ \frac{11}{3}\right)$

(iii) Como E y F son el punto medio si CA y AB respectivamente

Las coordenadas de E serán

$\left(\frac{1+4}{2},\ \frac{4+2}{2}\right)\\ \left(\frac{5}{2},\ \frac{6}{2}\right)\\ \left(\frac{5}{2},\ 3\right)$

y de F será

$\left(\frac{4+6}{2},\ \frac{2+5}{2}\right)\\ \left(\frac{10}{2},\ \frac{7}{2}\right)\\ \left(5,\ \frac{7}{2}\right)$

Como Q y R dividen BE y CF de tal manera que BQ : QE = 2 : 1 y CR : RF = 2 : 1

Por lo tanto,

Las coordenadas de Q serán

$x=\frac{2\times\frac{5}{2}+1\times6}{2+1}\\ =\frac{5+6}{3}\\ =\frac{11}{3}$

$\frac{2\times3+1\times5}{2+1}\\ \frac{6+5}{3}\\ \frac{11}{3}$

es decir, Q ₁ es (11/3, 11/3)

y de manera similar las coordenadas de R serán

$x=\frac{2\times5+1\times1}{2+1}\\ =\frac{10+1}{3}\\ =\frac{11}{3}$

$y=\frac{2\times\frac{7}{2}+1\times4}{2+1}\\ =\frac{7+4}{3}\\ =\frac{11}{3}$

R es (11/3, 11/3)

(iv) Podemos ver que las coordenadas de P, Q y R son las mismas

es decir, P, Q y R coinciden entre sí.

Las medianas de los lados de un triángulo pasan por el mismo punto que se llama baricentro del triángulo.

,

Las diagonales de un paralelogramo se bisecan

O es el punto medio de AC y también de BD

O es el punto medio de AC

Por lo tanto,

Las coordenadas de O serán

$\left(\frac{6+9}{2},\ \frac{1+4}{2}\right)\\ \left(\frac{15}{2},\ \frac{5}{2}\right)$

$\frac{15}{2}=\frac{8+k}{2}$

$\frac{5}{2}=\frac{2+p}{2}$

⇒ 8 + k = 15

⇒ k = 15 – 8 = 7

y

⇒ 2 + p = 5

⇒ p = 5 – 2 = 3

Por eso,

k = 7, pag = 3

$\frac{AP}{PB}=\frac{k}{1}$

El punto P divide el segmento de recta uniendo los puntos A (3, -5) y B (-4, 8)

$\frac{AP}{PB}=\frac{k}{1}$

⇒ AP : PB = k : 1

Suponga que las coordenadas de P sean (x, y), entonces

$x=\frac{m_1x_2+m_2x_1}{m_1+m_2}\\ =\frac{k\times(-4)+1\times3}{k+1}\\ =\frac{-4k+3}{k+1}$

$y=\frac{m_1y_2+m_2y_1}{m_1+m_2}\\ =\frac{k\times(8)+1\times(-5)}{k+1}\\ =\frac{8k-5}{k+1}$

Como x + y = 0

Por lo tanto,

$\frac{-4k+3}{k+1}+\frac{8k-5}{k+1}=0\\ \Rightarrow \frac{-4k+3+8k-5}{k+1}=0$

4k – 2 = 0

4k = 2

k = 2/4

k = 1/2

puntos

P es el punto medio del segmento de línea que une los puntos A (-10, 4) y B (-2, 0)

Las coordenadas de P serán

$=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\ \frac{y_1+y_2}{2}\right)\\ =\left(\frac{-10-2}{2},\ \frac{4+0}{2}\right)\\ =\left(\frac{-12}{2},\ \frac{4}{2}\right)\\ =(-6,\ 2)$

P miente en CD también,

$-6=\frac{m_1(-4)+m_2(-9)}{m_1+m_2}$

$\frac{m_1}{m_2}=\frac{-3}{-2}=\frac{3}{2}$

$2=\frac{3\times y+2\times(-4)}{3+2}\\ ⇒ 2=\frac{3y-8}{5}$

⇒ 10 = 3y – 8x

⇒ 3y = 10 + 8 = 18

⇒ y = 18/3 = 6

⇒ y = 6

Como sabemos que si un punto (x, y) divide el segmento de recta que une

$x=\frac{mx_2+nx_1}{m+n}$

$y=\frac{my_2+ny_1}{m+n}$

Ahora aquí, C (-1, 2) divide el segmento de línea que une A (2, 5) y B (x, y) en la proporción de 3: 4

Ahora,

$-1=\frac{3x+8}{3+4}$

$2=\frac{20-3y}{3+4}$

⇒ 3x + 8 = -7

y

⇒ 20 – 3 años = 14

⇒ x = -5

y

⇒ y = 2

Ahora,

₁₁₂₂ , ₃₃₁₂₃₁₂ , ₃

Suponga que las coordenadas de D sean (x, y). Sabemos que las diagonales de un paralelogramo se bisecan entre sí.

Por eso,

Punto medio de AC = Punto medio de BD

$\left(\frac{x_1+x_3}{2},\ \frac{y_1+y_3}{2}\right)=\left(\frac{x_2+x}{2},\ \frac{y_2+y}{2}\right)$

Por lo tanto, las coordenadas de D son

₁₁₂₂ , ₃₃

₁₁₂₂₃₃

Sabemos que la mediana biseca el segmento de línea en dos partes iguales, es decir, aquí D es el punto medio de BC.

Por lo tanto,

Coordenadas del punto medio de BC = $\left(\frac{x_2+x_3}{2},\ \frac{y_2+y_3}{2}\right)$

re = $\left(\frac{x_2+x_3}{2},\ \frac{y_2+y_3}{2}\right)$

Supongamos que las coordenadas de un punto P sean (x, y)

Dado que, el punto P (x, y), dividir la recta que une A (x _1, y ₁ ) y

D $\left(\frac{x_2+x_3}{2},\ \frac{y_2+y_3}{2}\right)$ en la ración de 2 : 1,

Entonces las coordenadas de P

$=\left[\frac{2\left(\frac{x_2+x_3}{2}\right)+1.x_1}{2+1},\ \frac{2\left(\frac{y_2+y_3}{2}\right)+1.y_1}{2+1}\right]$

Usando la fórmula de la sección interna, obtenemos

$=\left(\frac{x_2+x_3+x_1}{3},\ \frac{y_2+y_3+y_1}{3}\right)$

Por lo tanto,

Coordenadas requeridas de los puntos P = $\left(\frac{x_2+x_3+x_1}{3},\ \frac{y_2+y_3+y_1}{3}\right)$

Supongamos que las coordenadas de un punto Q sean (p, q)

Dado: El punto Q (p, q) divide la recta que une B(x _2, y ₂ ) y E $=\left(\frac{x_1+x_3}{2},\ \frac{y_1+y_3}{2}\right)$

En la proporción de 2 : 1

Entonces las coordenadas de Q

$=\left[\frac{2\left(\frac{x_1+x_3}{2}\right)+1.x_2}{2+1},\ \frac{2\left(\frac{y_1+y_3}{2}\right)+1.y_2}{2+1}\right]\\ \left(\frac{x_2+x_3+x_1}{3},\ \frac{y_2+y_3+y_1}{3}\right)$

BE es la mediana del lado CA. Entonces, BE divide AC en dos partes iguales]

Por lo tanto,

Punto medio de AC = Coordenadas de E

$=\left(\frac{x_1+x_3}{2},\ \frac{y_1+y_3}{2}\right)$

Entonces, la coordenada requerida del punto Q $\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\ \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$

Ahora, consideremos que las coordenadas de un punto E sean (α, β).

Se da que, el punto R (α, β), divide la recta que une C (x ₃ , y ₃ ) y

F $\left(\frac{x_1+x_2}{2},\ \frac{y_1+y_2}{2}\right)$ en la ración 2 : 1,

Entonces, las coordenadas de R ser

$=\left[\frac{2\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)+1.x_3}{2+1},\ \frac{2\left(\frac{y_1+y_2}{2}\right)+1.y_3}{2+1}\right]\\ \left(\frac{x_2+x_3+x_1}{3},\ \frac{y_2+y_3+y_1}{3}\right)$

Aquí, CF es la mediana del lado AB, por lo que CF divide a AB en dos partes iguales

Por eso,

Punto medio de AB = Coordenadas de CF

$=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\ \frac{y_1+y_2}{2}\right)$

Entonces, la coordenada requerida del punto R $=\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\ \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$

Coordenada del baricentro del ∆ABC = (suma de abscisas de todos los vértices/3, suma de todos los vértices/2)

$=\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\ \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$