Clase 10 RD Sharma Solutions- Capítulo 2 Polinomios – Ejercicio 2.1 | conjunto 2

Pregunta 11. Si α y β son los ceros del polinomio cuadrático f(x) = 6x ² + x – 2, encuentra el valor de (α/β) +(β/α)

Solución: 

Dado que,

α y β son los ceros del polinomio cuadrático f(x) = 6x ² + x – 2.

por lo tanto,

Suma de los ceros = α + β = -1/6,

Producto de los ceros =α × β = -1/3.

Ahora,

(α/β) + (β/α) = (α ² + β ² ) – 2αβ / αβ

Ahora sustituimos los valores de la suma de ceros y los productos de los ceros y obtendremos,

= -25/12

Por lo tanto, el valor de (α/β) + (β/α) es -25/12.

Pregunta 12. Si α y β son los ceros del polinomio cuadrático f(x) = 6x ² + x – 2, encuentra el valor de α/β + 2(1/α + 1/β) + 3αβ

Solución: 

Dado que,

α y β son los ceros del polinomio cuadrático f(x) = 6x ² + x – 2.

por lo tanto,

Suma de los ceros = α + β = 6/3

Producto de los ceros = α × β = 4/3

Ahora,

α/β + 2(1/α + 1/β) + 3αβ = [(α ² + β ² ) / αβ] + 2(1/α + 1/β) + 3αβ

[((α + β) ² – 2αβ) / αβ] + 2(1/α + 1/β) + 3αβ

Ahora sustituimos los valores de la suma de ceros y los productos de los ceros y obtendremos,

α/β + 2(1/α + 1/β) + 3αβ = 8

Por lo tanto, el valor de α/β + 2(1/α + 1/β) + 3αβ es 8.

Pregunta 13. Si la diferencia al cuadrado de los ceros del polinomio cuadrático f(x) = x ² + px + 45 es igual a 144, encuentra el valor de p.

Solución: 

Supongamos que los dos ceros del polinomio son α y β.

Dado que,

f(x) = x2 ⁺ px + 45

Ahora,

Suma de los ceros = α + β = – p

Producto de los ceros = α × β = 45

por lo tanto,

(α + β) ² – 4αβ = (-p) ² – 4 x 45 = 144

(-p) ² = 144 + 180 = 324

pag = √324

Por tanto, el valor de p será 18 o -18.

Pregunta 14. Si α y β son los ceros del polinomio cuadrático f(x) = x ² – px + q, prueba que [(α ² / β ² ) + (β ² / α ² )] = [p ⁴ / q2 ] – [4p2 ^/ q ] + ²

Solución: 

Dado que,

α y β son las raíces del polinomio cuadrático.

f(x) = x2 ^– px + q

Ahora,

Suma de los ceros = p = α + β

Producto de los ceros = q = α × β

por lo tanto,

LHS = [(α ² / β ² ) + (β ² / α ² )]

= [(α ^{^ 4} + β ⁴ ) / α ² .β ² ]

= [((α+ β) ^{^2} – 2αβ) ² + 2(αβ) ² ] / (αβ) ²

= [((p) ² – 2q) ² + 2(q) ² ] / (q) ²

= [(p ⁴ + 4q ² – 4pq ² ) – 2q ² ] / q ²

= (p ⁴ + 2q ² – 4pq ² ) / q ² = (p/q) ² – (4p ² /q) + 2

LHS = RHS

Por lo tanto, probado.

Pregunta 15. Si α y β son los ceros del polinomio cuadrático f(x) = x ² – p(x + 1) – c, demuestre que (α + 1)(β + 1) = 1 – c.

Solución: 

Dado que,

α y β son los ceros del polinomio cuadrático

f(x) = x ² – p(x + 1)– c

Ahora,

Suma de los ceros = α + β = p

Producto de los ceros = α × β = (- p – c)

por lo tanto,

(α + 1)(β + 1)

= αβ + α + β + 1

= αβ + (α + β) + 1

= (− pags – c) + pags + 1

= 1 – c = lado derecho

por lo tanto, LHS = RHS

Por lo tanto probado.

Pregunta 16. Si α y β son los ceros del polinomio cuadrático tal que α + β = 24 y α – β = 8, encuentre un polinomio cuadrático que tenga α y β como ceros.

Solución: 

Dado que,

α + β = 24 ——(i)

α – β = 8 ——(ii)

Resolviendo las dos ecuaciones anteriores, obtendremos

2α = 32

α = 16

poner el valor de α en cualquiera de la ecuación.

Vamos a sustituirlo en (ii) y obtendremos,

β = 16 – 8

β = 8

Ahora,

Suma de los ceros del nuevo polinomio = α + β = 16 + 8 = 24

Producto de los ceros = αβ = 16 × 8 = 128

Entonces, El polinomio cuadrático = x2– (suma de los ceros)x + (producto de los ceros) = x2 – 24x + 128

Por lo tanto, el polinomio cuadrático requerido es f(x) = x ² + 24x + 128

Pregunta 17 . Si α y β son los ceros del polinomio cuadrático f(x) = x ² – 1, encuentre un polinomio cuadrático cuyos ceros sean 2α/β y 2β/α.

Solución: 

Dado que,

f(x) = x2 ^– 1

Suma de los ceros = α + β = 0

Producto de los ceros = αβ = – 1

por lo tanto,

Suma de los ceros del nuevo polinomio

= [(2α ² + 2β ² )] / αβ

= [2(α2 ^{+ β2} ) ] / αβ

= [2((α + β) ² – 2αβ)] / αβ = 4/(-1)

Después de sustituir el valor de la suma y los productos de los ceros obtendremos,

Como se indica en la pregunta,

Producto de los ceros

= (2α)(2β) / αβ = 4

Por lo tanto, el polinomio cuadrático es

x ² – (suma de los ceros)x + (producto de los ceros)

= kx ² – (−4)x + 4x ² –(−4)x + 4

Por lo tanto, el polinomio cuadrático requerido es f(x) = x ² + 4x + 4

Pregunta 18. Si α y β son los ceros del polinomio cuadrático f(x) = x ² – 3x – 2, encuentra un polinomio cuadrático cuyos ceros sean 1/(2α + β) y 1/(2β + α).

Solución: 

Dado que,

f(x) = x2 – 3x – ²

Suma de los ceros = α + β = 3

Producto de los ceros = αβ = – 2

por lo tanto,

Suma de los ceros del nuevo polinomio

= 1/(2α + β) + 1/(2β + α)

= (2α + β + 2β + α) / (2α + β)(2β + α)

= (3α + 3β) / (2(α ² + β ² ) + 5αβ)

= (3 x 3) / 2[2(α + β) ² – 2αβ + 5 x (-2)]

= 9 / 2[9-(-4)]-10 = 9/16

Producto de ceros = 1/(2α + β) x 1/(2β + α)

= 1 / (4αβ + 2α ² + 2β ² + αβ)

= 1 / [5αβ + 2((α + β) ² – 2αβ)]

= 1 / [5 x (-2) + 2((3) ² – 2 x (-2))] = 1/16

por lo tanto, el polinomio cuadrático es,

x ² – (suma de los ceros)x + (producto de los ceros)

= (x2 + (9/16)x ⁺ (1/16))

Por lo tanto, el polinomio cuadrático requerido es (x ² + (9/16)x +(1/16)).

Pregunta 19. Si f α y β son los ceros del polinomio cuadrático f(x) = x ² + px + q, forman un polinomio cuyos ceros son (α + β) ² y (α – β) ^2.

Solución: 

Dado que,

f(x) = x2 ⁺ px + q

Suma de los ceros = α + β = -p

Producto de los ceros = αβ = q

por lo tanto,

Suma de los ceros del nuevo polinomio = (α + β) ² + (α – β) ²

= (α + β) ² + α ² + β ² – 2αβ

= (α + β) ² + (α + β) ² – 2αβ – 2αβ

= (- p) ² + (- p) ² – 2 × q – 2 × q

= pag ² + pag ² – 4q = pag ² – 4q

Producto de los ceros del nuevo polinomio = (α + β) ² x (α – β) ²

= (- p) ² ((- p) ² – 4q)

= p ² (p ² –4q)

por lo tanto, el polinomio cuadrático es,

x ² – (suma de los ceros)x + (producto de los ceros)

= x ² – (2p ² – 4q)x + p ² (p ² – 4q)

Por lo tanto, el polinomio cuadrático requerido es f(x) = k(x ² – (2p ² –4q) x + p ² (p ² – 4q)).

Pregunta 20. Si f α y β son los ceros del polinomio cuadrático f(x) = x ² – 2x + 3, encuentra un polinomio cuyas raíces sean:

(i) α + 2, β + 2

(ii) [α-1] / [α+1], [β-1] / [β+1]

Solución: 

Dado que,

f(x) = x2 ^– 2x + 3

Suma de los ceros = α + β = 2

Producto de los ceros = αβ = 3

(i) Suma de los ceros del nuevo polinomio = (α + 2) + (β + 2)

= α + β + 4 = 2 + 4 = 6

Producto de los ceros del nuevo polinomio = (α + 1)(β + 1)

= αβ + 2α + 2β + 4

= αβ + 2(α + β) + 4 = 3 + 2(2) + 4 = 11

por lo tanto, el polinomio cuadrático es:

x ² – (suma de los ceros)x + (producto de los ceros)

= x2 ^– 6x +11

Por lo tanto, el polinomio cuadrático requerido es f(x) = k(x ² – 6x + 11).

(ii) Suma de los ceros del nuevo polinomio:

= [(α-1)/(α+1)] + [(β-1)/(β+1)]

= [(α-1)(β+1) + (β-1)(α+1)] / (α+1)(β+1)

= [αβ + α – β – 1 + αβ – α + β – 1)] / (α+1)(β+1)

= (3-1+3-1) / (3+1+2) = 2/3

Producto de los ceros del nuevo polinomio:

= [(α-1)/(α+1)] + [(β-1)/(β+1)]

= 26 = 13(2/6) = 1/3

por lo tanto, el polinomio cuadrático es,

x ² – (suma de los ceros)x + (producto de los ceros)

= x2 – ( ^2/3 )x + (1/3)

Por lo tanto, el polinomio cuadrático requerido es f(x) = k(x ² – (2/3)x + (1/3))

Pregunta 21. Si α y β son los ceros del polinomio cuadrático f(x) = ax ² + bx + c, entonces evalúa:

(i) α – β

(ii) 1/α – 1/β

(iii) 1/α + 1/β – 2αβ

(iv) α ² β + α β ²

(v) α ⁴ + β ⁴

(vi) 1/(aα + b) + 1/(aβ + b)

(vii) β/(aα + b) + α/(aβ + b)

(viii) [(α ² /β) + (β ² /α)] + b[α/a + β/a]

Solución: 

Dado que,

f(x) = hacha ² + bx + c

Suma de los ceros del polinomio = α + β = -b/a

Producto de ceros de polinomio = αβ = c/a

Dado que, α + β son los ceros del polinomio dado, por lo tanto,

(i) α – β

Los dos ceros de los polinomios son:

= [√-b+b ² -4ac]/2a – ([-b+√(b ² -4ac)]/2a)

= [-b+√(b ² -4ac) + b+√(b ² -4ac)] / 2a

= √(b ² -4ac) / a

(ii) 1/α – 1/β

= (β-1) / αβ = -(α-β)/αβ ——-(1)

De la pregunta anterior como sabemos que,

α-β = √(b ² -4ac) / un

y,

αβ = c/a

Ponga los valores en (i) y obtendremos,

= -[(√(b ² -4ac))/c]

(iii) (1/α) + (1/β) – 2αβ

= (α+β)/αβ – 2αβ ———- (i)

Ya que,

Suma de los ceros del polinomio = α + β = – b/a

Producto de ceros de polinomio = αβ = c/a

Después de ponerlo en (i), obtendremos

= (-b/ax/c – 2c/a) = -[b/c + 2c/a]

(iv) α ² β + α β ²

= αβ(α + β) ——–(i)

Ya que,

Suma de los ceros del polinomio = α + β = – b/ a

Producto de ceros de polinomio = αβ = c/a

Después de ponerlo en (i), obtendremos

= c/a(-b/a) = -bc/a ^{^2}

(v) α ⁴ + β ⁴

= (α ² + β ² ) ² – 2α ² β ²

= ((α + β) ² – 2αβ) ² – (2αβ) ² ———(i)

Ya que,

Suma de los ceros del polinomio = α + β = – b/a

Producto de ceros de polinomio = αβ = c/a

Después de sustituirlo en (i), obtenemos

= [(-b/a) -2(c/a)] ² – [2(c/a) ² ]

= [(b ² -2(ac)) / a ² ] ² – [2(c/a) ² ]

= [(b ² – 2ac) ² – 2a ² c ² ] / a ⁴

(vi) 1/(aα + b) + 1/(aβ + b)

= (aβ + b + aα + b) / (aα + b)(aβ + b)

= (a(α + β) + 2b) / (a ^​​2 x αβ + abα + abβ + b ² )

Ya que,

Suma de los ceros del polinomio = α + β = – b/a

Producto de ceros de polinomio = αβ = c/a

Después de ponerlo, obtendremos

= b / (ac – b ² + b ² ) = b/ac

(vii) β/(aα + b) + α/(aβ + b)

= [β(aβ + b) + α(aα + b)] / (aβ + b)(aα + b)

= [aα ² + bβ ² + bα + bβ] / (a ^​​2 x (c/a) + ab(α+β) + b ² )

Ya que,

Suma de los ceros del polinomio = α + β = – b/a

Producto de ceros de polinomio = αβ = c/a

Después de ponerlo, obtendremos

= a[(α+β) ² – b(α+β)] / ac

= a[b ² /a – 2c/a] – b ² /a

= a[(b ² – 2c – b ² )/a] / ac

= (b ² – 2c – b ² ) / ac = -2/a

(viii) [(α ² /β) + (β ² /α)] + b[α/a + β/a]

= a[(α ² + β ² ) / αβ] + b[(α ² + β ² )/αβ]

= a[(α+β) ² – 2αβ] + b((α+β) ² – 2αβ) / αβ

Ya que,

Suma de los ceros del polinomio= α + β = – b/a

Producto de ceros del polinomio= αβ = c/a

Después de ponerlo, obtendremos

= a[(-ba) ² – 3x(c/a)] + b((-b/a) ² – 2(c/a)) / (c/a)

= [(-b ² a ² /a ² c)+(3bca ² /a ² )+(b/a) ² – (2bca ² /a ² c)] = b