Pregunta 1. Encuentra los ceros de cada uno de los siguientes polinomios cuadráticos y verifica la relación entre los ceros y sus coeficientes:
(i) f(x) = x2 – 2x – 8
Solución:
Dado que,
f(x) = x2 – 2x – 8
Para encontrar los ceros de la ecuación, pon f(x) = 0
= x 2 – 2x – 8 = 0
= x 2 – 4x + 2x – 8 = 0
= x(x-4) + 2(x-4) = 0
= (x – 4)(x + 2) = 0
x = 4 y x = -2
Por tanto, los ceros de la ecuación cuadrática son 4 y -2.
Ahora, Verificación
Como sabemos que,
Suma de ceros = – coeficiente de x / coeficiente de x^2
4 + (-2)= – (-2) / 1
2 = 2
Producto de raíces = constante / coeficiente de x^2
4 x (-2) = (-8) / 1
-8 = -8
De ahí que se verifique la relación entre los ceros y sus coeficientes.
(ii) g(s) = 4s 2 – 4s + 1
Solución:
Dado que,
g(s) = 4s 2 – 4s + 1
Para encontrar los ceros de la ecuación, pon g(s) = 0
= 4s 2 – 4s + 1 = 0
= 4s 2 – 2s – 2s + 1= 0
= 2s(2s – 1) – (2s – 1) = 0
= (2s – 1)(2s – 1) = 0
s = 1/2 y s = 1/2
Por lo tanto, los ceros de la ecuación cuadrática son 1/2 y 1/2.
Ahora, Verificación
Como sabemos que,
Suma de ceros = – coeficiente de s / coeficiente de s 2
1/2 + 1/2 = – (-4) / 4
1 = 1
Producto de raíces = constante / coeficiente de s 2
1/2 x 1/2 = 1/4
1/4 = 1/4
De ahí que se verifique la relación entre los ceros y sus coeficientes.
(iii) h(t)=t 2 – 15
Solución:
Dado que,
h(t) = t2 – 15 = t2 + (0)t – 15
Para encontrar los ceros de la ecuación, pon h(t) = 0
= t 2 – 15 = 0
= (t + √15)(t – √15)= 0
t = √15 y t = -√15
Por lo tanto, los ceros de la ecuación cuadrática son √15 y -√15.
Ahora, Verificación
Como sabemos que,
Suma de ceros = – coeficiente de t / coeficiente de t2
√15 + (-√15) = – (0) / 1
0 = 0
Producto de raíces = constante / coeficiente de t2
√15 x (-√15) = -15/1
-15 = -15
De ahí que se verifique la relación entre los ceros y sus coeficientes.
(iv) f(x) = 6x 2 – 3 – 7x
Solución:
Dado que,
f(x) = 6x 2 – 3 – 7x
Para encontrar los ceros de la ecuación, ponemos f(x) = 0
= 6x 2 – 3 – 7x = 0
= 6x 2 – 9x + 2x – 3 = 0
= 3x(2x – 3) + 1(2x – 3) = 0
= (2x – 3)(3x + 1) = 0
x = 3/2 y x = -1/3
Por tanto, los ceros de la ecuación cuadrática son 3/2 y -1/3.
Ahora, Verificación
Como sabemos que,
Suma de ceros = – coeficiente de x / coeficiente de x 2
3/2 + (-1/3) = – (-7) / 6
7/6 = 7/6
Producto de raíces = constante / coeficiente de x 2
3/2 x (-1/3) = (-3) / 6
-1/2 = -1/2
De ahí que se verifique la relación entre los ceros y sus coeficientes.
(v) p(x) = x2 + 2√2x – 6
Solución:
Dado que,
p(x) = x2 + 2√2x – 6
Para encontrar los ceros de la ecuación, pon p(x) = 0
= x2 + 2√2x – 6 = 0
= x2 + 3√2x – √2x – 6 = 0
= x(x + 3√2) – √2 (x + 3√2) = 0
= (x – √2)(x + 3√2) = 0
x = √2 y x = -3√2
Por lo tanto, los ceros de la ecuación cuadrática son √2 y -3√2.
Ahora, Verificación
Como sabemos que,
Suma de ceros = – coeficiente de x / coeficiente de x 2
√2 + (-3√2) = – (2√2) / 1
-2√2 = -2√2
Producto de raíces = constante / coeficiente de x 2
√2 x (-3√2) = (-6) / 2√2
-3×2 = -6/1
-6 = -6
De ahí que se verifique la relación entre los ceros y sus coeficientes.
(vi) q(x)=√3x 2 + 10x + 7√3
Solución:
Dado que,
q(x) = √3x 2 + 10x + 7√3
Para encontrar los ceros de la ecuación, pon q(x) = 0
= √3x 2 + 10x + 7√3 = 0
= √3x 2 + 3x +7x + 7√3x = 0
= √3x(x + √3) + 7 (x + √3) = 0
= (x + √3)(√3x + 7) = 0
x = -√3 y x = -7/√3
Por lo tanto, los ceros de la ecuación cuadrática son -√3 y -7/√3.
Ahora, Verificación
Como sabemos que,
Suma de ceros = – coeficiente de x / coeficiente de x 2
-√3 + (-7/√3) = – (10) /√3
(-3-7)/ √3 = -10/√3
-10/√3 = -10/√3
Producto de raíces = constante / coeficiente de x 2
(-√3) x (-7/√3) = (7√3) / √3
7 = 7
De ahí que se verifique la relación entre los ceros y sus coeficientes.
(vii) f(x) = x 2 – (√3 + 1)x + √3
Solución:
Dado que,
f(x) = x2 – (√3 + 1)x + √3
Para encontrar los ceros de la ecuación, pon f(x) = 0
= x2 – (√3 + 1)x + √3 = 0
= x2 – √3x – x + √3 = 0
= x(x – √3) – 1 (x – √3) = 0
= (x – √3)(x – 1) = 0
x = √3 y x = 1
Por lo tanto, los ceros de la ecuación cuadrática son √3 y 1.
Ahora, Verificación
Suma de ceros = – coeficiente de x / coeficiente de x 2
√3 + 1 = – (-(√3 +1)) / 1
√3 + 1 = √3 +1
Producto de raíces = constante / coeficiente de x 2
1 x √3 = √3 / 1
√3 = √3
De ahí que se verifique la relación entre los ceros y sus coeficientes.
(viii) g(x) = a(x 2 +1)–x(a 2 +1)
Solución:
Dado que,
g(x) = a(x 2 +1)–x(a 2 +1)
Para encontrar los ceros de la ecuación pon g(x) = 0
= a(x 2 +1)–x(a 2 +1) = 0
= hacha 2 + una − una 2 x – x = 0
= hacha 2 − una 2 x – x + una = 0
= ax(x − a) − 1(x – a) = 0
= (x – a)(ax – 1) = 0
x = a y x = 1/a
Por tanto, los ceros de la ecuación cuadrática son a y 1/a.
Ahora, Verificación:
Como sabemos que,
Suma de ceros = – coeficiente de x / coeficiente de x 2
a + 1/a = – (-(a 2 + 1)) / a
(a^2 + 1)/a = (a 2 + 1)/a
Producto de raíces = constante / coeficiente de x 2
hacha 1/a = a / a
1 = 1
De ahí que se verifique la relación entre los ceros y sus coeficientes.
(ix) h(s) = 2s 2 – (1 + 2√2)s + √2
Solución:
Dado que,
h(s) = 2s 2 – (1 + 2√2)s + √2
Para encontrar los ceros de la ecuación pon h(s) = 0
= 2s 2 – (1 + 2√2)s + √2 = 0
= 2s 2 – 2√2s – s + √2 = 0
= 2s(s – √2) -1(s – √2) = 0
= (2s – 1)(s – √2) = 0
x = √2 y x = 1/2
Por lo tanto, los ceros de la ecuación cuadrática son √3 y 1.
Ahora, Verificación
Como sabemos que,
Suma de ceros = – coeficiente de s / coeficiente de s 2
√2 + 1/2 = – (-(1 + 2√2)) / 2
(2√2 + 1)/2 = (2√2 +1)/2
Producto de raíces = constante / coeficiente de s 2
1/2 x √2 = √2 / 2
√2 / 2 = √2 / 2
De ahí que se verifique la relación entre los ceros y sus coeficientes.
(x) f(v) = v 2 + 4√3v – 15
Solución:
Dado que,
f(v) = v2 + 4√3v – 15
Para encontrar los ceros de la ecuación pon f(v) = 0
= v2 + 4√3v – 15 = 0
= v2 + 5√3v – √3v – 15 = 0
= v(v + 5√3) – √3 (v + 5√3) = 0
= (v – √3)(v + 5√3) = 0
v = √3 y v = -5√3
Por lo tanto, los ceros de la ecuación cuadrática son √3 y -5√3.
Ahora, para verificar
Suma de ceros = – coeficiente de v / coeficiente de v 2
√3 + (-5√3) = – (4√3) / 1
-4√3 = -4√3
Producto de raíces = constante / coeficiente de v 2
√3 x (-5√3) = (-15) / 1
-5×3 = -15
-15 = -15
De ahí que se verifique la relación entre los ceros y sus coeficientes.
(xi) p(y) = y 2 + (3√5/2)y – 5
Solución:
Dado que,
p(y) = y 2 + (3√5/2)y – 5
Para encontrar los ceros de la ecuación pon f(v) = 0
= y2 + (3√5/2)y – 5 = 0
= y 2 – √5/2 y + 2√5y – 5 = 0
= y(y – √5/2) + 2√5 (y – √5/2) = 0
= (y + 2√5)(y – √5/2) = 0
Esto nos da 2 ceros,
y = √5/2 y y = -2√5
Por lo tanto, los ceros de la ecuación cuadrática son √5/2 y -2√5.
Ahora, Verificación
Como sabemos que,
Suma de ceros = – coeficiente de y / coeficiente de y 2
√5/2 + (-2√5) = – (3√5/2) / 1
-3√5/2 = -3√5/2
Producto de raíces = constante / coeficiente de y 2
√5/2 x (-2√5) = (-5) / 1
– (√5)2 = -5
-5 = -5
De ahí que se verifique la relación entre los ceros y sus coeficientes.
(xii) q(y) = 7y 2 – (11/3)y – 2/3
Solución:
Dado que,
q(y) = 7y 2 – (11/3)y – 2/3
Para encontrar los ceros de la ecuación pon q(y) = 0
= 7y 2 – (11/3)y – 2/3 = 0
= ( 21 años 2 – 11 años -2)/3 = 0
= 21 años 2 – 11 años – 2 = 0
= 21 años 2 – 14 años + 3 años – 2 = 0
= 7y(3y – 2) – 1(3y + 2) = 0
= (3y – 2)(7y + 1) = 0
y = 2/3 y y = -1/7
Por tanto, los ceros de la ecuación cuadrática son 2/3 y -1/7.
Ahora, Verificación
Como sabemos que,
Suma de ceros = – coeficiente de y / coeficiente de y 2
2/3 + (-1/7) = – (-11/3) / 7
-21/11 = -21/11
Producto de raíces = constante / coeficiente de y 2
2/3 x (-1/7) = (-2/3) / 7
– 21/2 = -21/2
De ahí que se verifique la relación entre los ceros y sus coeficientes.
Pregunta 2. Para cada uno de los siguientes, encuentre un polinomio cuadrático cuya suma y producto respectivamente de los ceros sean los dados. Además, encuentre los ceros de estos polinomios por factorización.
(yo) -8/3, 4/3
Solución:
Como sabemos que el polinomio cuadrático formado por la suma y el producto de ceros dados está dado por: f(x) = x 2 + -(suma de ceros) x + (producto de raíces)
La suma de ceros = -8/3 y
Producto de cero = 4/3
Por lo tanto,
El polinomio requerido f(x) es,
= x2 – (-8/3)x + (4/3 )
= x2 + 8/3x + (4/3)
Para encontrar los ceros ponemos f(x) = 0
= x2 + 8/3x + (4/3) = 0
= 3x 2 + 8x + 4 = 0
= 3x 2 + 6x + 2x + 4 = 0
= 3x(x+2) + 2(x+2) = 0
= (x + 2) (3x + 2) = 0
= (x + 2) = 0 y, o (3x + 2) = 0
Por lo tanto, los dos ceros son -2 y -2/3.
(ii) 21/8, 5/16
Solución:
Como sabemos que el polinomio cuadrático formado por la suma y el producto de ceros dados está dado por: f(x) = x 2 + -(suma de ceros) x + (producto de raíces)
La suma de ceros = 21/8 y
Producto de cero = 5/16
Por lo tanto,
El polinomio requerido f(x) es,
= x2 – (21/8)x + (5/16 )
= x2 – 21 /8x + 5/16
Para encontrar los ceros ponemos f(x) = 0
= x2 – 21 /8x + 5/16 = 0
= 16x 2 – 42x + 5 = 0
= 16x 2 – 40x – 2x + 5 = 0
= 8x(2x – 5) – 1(2x – 5) = 0
= (2x – 5) (8x – 1) = 0
= (2x – 5) = 0 y, o (8x – 1) = 0
Por lo tanto, los dos ceros son 5/2 y 1/8.
(iii) -2√3, -9
Solución:
Como sabemos que el polinomio cuadrático formado por la suma y el producto de ceros dados está dado por: f(x) = x 2 + -(suma de ceros) x + (producto de raíces)
La suma de ceros = -2√3 y
Producto de cero = -9
Por lo tanto,
El polinomio requerido f(x) es,
= x2 – (-2√3)x + (-9 )
= x2 + 2√3x – 9
Para encontrar los ceros ponemos f(x) = 0
= x2 + 2√3x – 9 = 0
= x2 + 3√3x – √3x – 9 = 0
= x(x + 3√3) – √3(x + 3√3) = 0
= (x + 3√3) (x – √3) = 0
= (x + 3√3) = 0 y, o (x – √3) = 0
Por lo tanto, los dos ceros son -3√3 y √3.
(iv) -3/2√5, -1/2
Solución:
Como sabemos que el polinomio cuadrático formado por la suma y el producto de ceros dados está dado por: f(x) = x 2 + -(suma de ceros) x + (producto de raíces)
La suma de ceros = -3/2√5 y
Producto de cero = -1/2
Por lo tanto,
El polinomio requerido f(x) es,
= x2 – (-3/2√5)x + (-1/2 )
= x2 + 3 /2√5x – 1/2
Para encontrar los ceros ponemos f(x) = 0
= x2 + 3 /2√5x – 1/2 = 0
= 2√5x 2 + 3x – √5 = 0
= 2√5x 2 + 5x – 2x – √5 = 0
= √5x(2x + √5) – 1(2x + √5) = 0
= (2x + √5) (√5x – 1) = 0
= (2x + √5) = 0 y, o (√5x – 1) = 0
Por lo tanto, los dos ceros son -√5/2 y 1/√5.
Pregunta 3. Si α y β son los ceros del polinomio cuadrático f(x) = x 2 – 5x + 4, encuentra el valor de 1/α + 1/β – 2αβ.
Solución:
Dado que,
α y β son las raíces del polinomio cuadrático f(x) donde a = 1, b = -5 y c = 4
Usando estos valores podemos encontrar,
Suma de raíces = α+β = -b/a = – (-5)/1 = 5,
Producto de raíces = αβ = c/a = 4/1 = 4
Tenemos que encontrar 1/α +1/β – 2αβ
= [(α +β)/αβ] – 2αβ
= (5)/ 4 – 2(4) = 5/4 – 8 = -27/ 4
Pregunta 4. Si α y β son los ceros del polinomio cuadrático p(y) = 5y 2 – 7y + 1, encuentra el valor de 1/α+1/β.
Solución:
Dado que,
α y β son las raíces del polinomio cuadrático f(x) donde a =5, b = -7 y c = 1,
Usando estos valores podemos encontrar,
Suma de raíces = α+β = -b/a = – (-7)/5 = 7/5
Producto de raíces = αβ = c/a = 1/5
Tenemos que encontrar 1/α +1/β
= (α + β)/ αβ
= (7/5)/ (1/5) = 7
Pregunta 5. Si α y β son los ceros del polinomio cuadrático f(x)=x 2 – x – 4, encuentra el valor de 1/α+1/β–αβ.
Solución:
Dado que,
α y β son las raíces del polinomio cuadrático f(x) donde a = 1, b = -1 y c = – 4
Entonces, podemos encontrar,
Suma de raíces = α+β = -b/a = – (-1)/1 = 1
Producto de raíces = αβ = c/a = -4 /1 = – 4
Tenemos que encontrar, 1/α +1/β – αβ
= [(α + β)/ αβ] – αβ
= [(1)/ (-4)] – (-4) = -1/4 + 4 = 15/ 4
Pregunta 6. Si α y β son los ceros del polinomio cuadrático f(x) = x 2 + x – 2, encuentra el valor de 1/α – 1/β.
Solución:
Dado que:
α y β son las raíces del polinomio cuadrático f(x) donde a = 1, b = 1 y c = – 2
Entonces, podemos encontrar
Suma de raíces = α+β = -b/a = – (1)/1 = -1,
Producto de raíces = αβ = c/a = -2 /1 = – 2
Tenemos que encontrar, 1/α – 1/β
= [(β – α)/ αβ] = [β-α]/(αβ) x (α-β)/αβ = (√(α+β) 2 -4αβ) / αβ = √(1+8) / 2 = 3/2
Pregunta 7. Si uno de los ceros del polinomio cuadrático f(x) = 4x 2 – 8kx – 9 es negativo del otro, entonces encuentra el valor de k.
Solución:
Dado que,
El polinomio cuadrático f(x) donde a = 4, b = -8k y c = – 9
Y, para que las raíces sean negativas entre sí, supongamos que las raíces α y – α.
Usando estos valores podemos encontrar,
Suma de raíces = α – α = -b/a = – (-8k)/1 = 8k = 0 [∵ α – α = 0]
= k = 0
Pregunta 8. Si la suma de los ceros del polinomio cuadrático f(t)=kt 2 + 2t + 3k es igual a su producto, entonces encuentra el valor de k.
Solución:
Dado que,
El polinomio cuadrático f(t)=kt 2 + 2t + 3k, donde a = k, b = 2 y c = 3k ,
Suma de las raíces = Producto de las raíces
= (-b/a) = (c/a)
= (-2/k) = (3k/k)
= (-2/k) = 3
Por lo tanto k = -2/3
Pregunta 9. Si α y β son los ceros del polinomio cuadrático p(x) = 4x 2 – 5x – 1, encuentra el valor de α 2 β+α β 2
Solución:
Dado que,
α y β son las raíces del polinomio cuadrático p(x) donde a = 4, b = -5 y c = -1
Usando estos valores podemos encontrar,
Suma de raíces = α+β = -b/a = – (-5)/4 = 5/4
Producto de raíces = αβ = c/a = -1/4
Tenemos que encontrar, α^2 β+α β^2
= αβ(α + β)
= (-1/4)(5/4) = -5/16
Pregunta 10. Si α y β son los ceros del polinomio cuadrático f(t)=t 2 – 4t + 3, encuentra el valor de α 4 β 3 +α 3 β 4 .
Solución:
Dado que,
α y β son las raíces del polinomio cuadrático f(t) donde a = 1, b = -4 y c = 3
Usando estos valores podemos encontrar,
Suma de raíces = α+β = -b/a = – (-4)/1 = 4 ,
Producto de raíces = αβ = c/a = 3/1 = 3
Tenemos que encontrar, α 4 β 3 + α 3 β 4
= α 3 β 3 (α + β)
= (αβ) 3 (α +β)
= (3) 3 (4) = 27 x 4 = 108
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por ronilpatil y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA