Q1. Verifique que los números dados junto a los polinomios cúbicos a continuación sean sus ceros. Además, verifique la relación entre los ceros y los coeficientes en cada uno de los siguientes casos:
(i) f(x) = 2x 3 + x 2 – 5x + 2; 1/2, 1, -2
Solución:
Para que los siguientes números sean los ceros del polinomio, deben satisfacer la siguiente ecuación, es decir, f (x) = 0, por lo que ahora verificamos:
Cuando x = 1/2
f(1/2) = 2(1/2) 3 + (1/2) 2 – 5(1/2) + 2
f(1/2) = 1/4 + 1/4 – 5/2 + 2 = 0
f(1/2) = 0,
Por lo tanto, x = 1/2 es un cero del polinomio dado.
Cuando x = 1
f(1) = 2(1) 3 + (1) 2 – 5(1) + 2
f(1) = 2 + 1 – 5 + 2 = 0
f(1) = 0,
Por lo tanto, x = 1 también es un cero del polinomio dado.
Cuando x = -2
f(-2) = 2(-2) 3 + (-2) 2 – 5(-2) + 2
f(-2) = -16 + 4 + 10 + 2 = 0
f(-2) = 0,
Por lo tanto, x = -2 también es un cero del polinomio dado.
Sabemos que Suma de ceros = -b/a;
Suma de los productos de los ceros tomados de dos en dos = c/a;
Producto de ceros = -d/a;
Aquí suma=1/2 + 1 – 2 =-1/2 y -b/a=-1/2
Aquí suma de productos=(1/2 * 1) + (1 * -2) + (1/2 * -2) =-5/2 y c/a=-5/2
Aquí producto =1/2 x 1 x (- 2) = -1 y -d/a=-1
Por lo tanto, se verifica la relación entre los ceros y los coeficientes.
(ii) g(x) = x 3 – 4x 2 + 5x – 2; 2, 1, 1
Solución:
Para que los siguientes números sean los ceros del polinomio, deben satisfacer la siguiente ecuación, es decir. g(x)=0, ahora revisando:
Cuando x = 2
g(2) = (2) 3 – 4(2) 2 + 5(2) – 2
g(2) = 8 – 16 + 10 – 2 = 0
g(2) = 0,
Por lo tanto, x = 2 es un cero del polinomio dado.
Ahora tenemos dos raíces iguales, así que comprobaremos solo una vez.
Cuando x = 1
g(1) = (1) 3 – 4(1) 2 + 5(1) – 2
g(1) = 1 – 4 + 5 – 2 = 0
g(1) = 0,
Por lo tanto, x = 1 también es un cero del polinomio dado.
Sabemos que Suma de ceros = -b/a;
Suma de los productos de los ceros tomados de dos en dos = c/a;
Producto de ceros = – d/a;
Aquí suma=2+1+1= 4 y -b/a=4
Aquí suma de productos=(1 * 1) + (1 * 2) + (2 * 1) =5 y c/a =5
Aquí producto = 2*1*1=2 y -d/a=2
Por lo tanto, se verifica la relación entre los ceros y los coeficientes.
Pregunta 2. Encuentre un polinomio cúbico con la suma, la suma del producto de sus ceros tomando dos a la vez, y el producto de sus ceros como 3, -1 y -3 respectivamente.
Solución:
Un polinomio cúbico, por ejemplo, f(x) tiene la forma ax 3 + bx 2 + cx + d.
Sabemos que f(x) = k [x 3 – (suma de raíces)x 2 + (suma de productos de raíces tomados de dos en dos)x -(producto de raíces)]
Suma de raíces = 3;
Suma de productos de raíces tomadas de dos en dos=-1;
Producto de raíces=-3
f(x) = k [x3 – (3)x2 + (-1)x – (-3)]
∴ f(x) = k [x 3 – 3x 2 – x + 3)]
Polinomio requerido f(x) = k [x 3 – (3)x 2 + (-1)x – (-3)]
∴ f(x) = k[x 3 – 3x 2 – x + 3)]
Pregunta 3. Si los ceros del polinomio f(x) = 2x 3 – 15x 2 + 37x – 30 están en AP, encuéntralos.
Solución:
Sean las raíces α = a – d, β = a y γ = a +d, donde a es el primer término y d es la diferencia común.
De dado f(x), a= 2, b= -15, c= 37 y d= 30
=> Suma de raíces = α + β + γ = (a – d) + a + (a + d) = 3a = (-b/a) = -(-15/2) = 15/2
Entonces, calculando para a, obtenemos 3a = 15/2, es decir, a = 5/2
=> Producto de raíces = (a – d) x (a) x (a + d) = a(a2 –d2) = -d/a = -(30)/2 = 15 ie a(a2 –d2) = 15
Sustituyendo ‘a’ obtenemos ∴ d = 1/2 o -1/2
Cuando d=1/2
Las raíces son α = 5/2-1/2, β = 5/2 y γ = 5/2 +1/2, es decir, α = 2, β = 2,5 y γ = 3
Cuando d=-1/2
Las raíces son α = 5/2-(-1/2), β = 5/2 y γ = 5/2 +(-1/2), es decir, α = 3, β = 2,5 y γ = 2
Pregunta 4. Encuentra la condición de que los ceros del polinomio f(x) = x 3 +3px 2 +3qx+r puedan estar en AP
Solución:
Sean las raíces α = A – D, β = A y γ = A +D, donde A es el primer término y D es la diferencia común.
suma = A-D+A+A+D = -b/a es decir, 3A=-3b entonces, A=-b
Como β = A es una raíz entonces f(A)=0;
a 3 +3pa 2 +3qa+r=0
Ahora pon a=-p; entonces, obtenemos
2p 2 -3pq+r=0 es la condición requerida.
Pregunta 5. Si los ceros del polinomio f(x) = ax 3 +3bx 2 +3cx+d están en AP Demuestra que 2b 3 -3abc+a 2 d = 0.
Solución:
Sean las raíces α = A – D, β = A y γ = A +D, donde A es el primer término y D es la diferencia común.
suma = A-D+A+A+D = -b/a es decir, 3A=-3b/a entonces, A=-b/a
Ahora f(A)=0 entonces,
f(x)=aA 3 +3bA 2 +3cA+d
Ahora pon A=-b/a; Entonces, obtenemos:
2b 3 -3abc+a 2 d =0
Por lo tanto, probado.
Pregunta 6. Si los ceros del polinomio f(x) = x 3 -12x 2 +39x+k están en AP, encuentra el valor de k.
Solución:
Sean las raíces α = A – D, β = A y γ = A +D, donde A es el primer término y D es la diferencia común.
suma = A-D+A+A+D = -b/a es decir, 3A=12 entonces, A=4
f(β)=0 es decir, f(A)=0
(4) 3 -12(4) 2 +39(4)+k=0
64-192+156+k=0
28+k=0
k=-28