Pregunta 1. Si en un rectángulo, la longitud aumenta y el ancho se reduce en 2 unidades cada uno, el área se reduce en 28 unidades cuadradas. Sin embargo, si la longitud se reduce en 1 unidad y la anchura aumenta en 2 unidades, el área aumenta en 33 unidades cuadradas. Encuentra el área del rectángulo.
Solución:
Supongamos que el largo y el ancho del rectángulo son la unidad x y la unidad y.
Por lo tanto, el área del rectángulo = x * y unidades cuadradas
Dado que,
Caso 1:
La longitud se incrementa en 2 unidades = La nueva longitud es x+2 unidades.
El ancho se reduce en 2 unidades = El nuevo ancho es y-2 unidades.
El área se reduce en 28 unidades cuadradas, es decir = (x * y) – 28
por lo tanto la ecuación se convierte en,
= (x+2)(y−2) = xy − 28
= xy − 2x + 2y – 4 = xy − 28
= −2x + 2y – 4 + 28 = 0
= 2x − 2y – 24 = 0 —————(yo)
Caso 2:
La longitud se reduce en 1 unidad = La nueva longitud es x-1 unidad.
El ancho se incrementa en 2 unidades = El nuevo ancho es y+2 unidades.
El área se incrementa en 33 unidades cuadradas, es decir = (x * y) + 33
por lo tanto la ecuación se convierte en,
(x−1)(y+2) = xy + 33
= xy + 2x – y – 2 = x + 33
= 2x – y − 2 − 33 = 0
= 2x – y −35 = 0 ———————(ii)
Ahora, al resolver las ecuaciones (i) y (ii) obtenemos,
x = 46/2 = 23
y,
y = 22/2 = 11
Por eso,
La longitud del rectángulo es de 23 unidades.
El ancho del rectángulo es de 11 unidades.
por lo tanto, el área del rectángulo real = largo x ancho,
= x * y = 23 x 11 = 253 unidades cuadradas
Por lo tanto, el área del rectángulo es de 253 unidades cuadradas.
Pregunta 2. El área de un rectángulo permanece igual si la longitud aumenta en 7 metros y la anchura disminuye en 3 metros. El área no se ve afectada si la longitud se reduce en 7 metros y la anchura aumenta en 5 metros. Encuentra las dimensiones del rectangulo.
Solución:
Supongamos que el largo y el ancho del rectángulo son la unidad x y la unidad y.
por lo tanto, el área del rectángulo = x * y unidades cuadradas
Dado que,
Caso 1:
La longitud se incrementa en 7 metros = La nueva longitud es x+7
El ancho se reduce en 3 metros = El nuevo ancho es y-3
El área del rectángulo sigue siendo la misma, es decir, = x * y.
por lo tanto, la ecuación se convierte en,
xy = (x+7)(y−3)
xy = xy + 7y − 3x − 21
3x – 7y + 21 = 0 —————-(yo)
Caso 2:
La longitud se reduce en 7 metros = La nueva longitud es x-7
El ancho se incrementa en 5 metros = El nuevo ancho es y+5
El área del rectángulo sigue siendo la misma, es decir, = x * y.
por lo tanto, la ecuación se convierte en
xy = (x−7)(y+5)
xy = xy − 7y + 5x − 35
5x – 7y – 35 = 0 —————–(ii)
Ahora, al resolver las ecuaciones (i) y (ii) obtenemos,
x = 392/14 = 28
Y,
y = 210/14 = 15
Por lo tanto, la longitud del rectángulo es de 28 m. y el ancho del rectángulo real es de 15 m.
Pregunta 3. En un rectángulo, si el largo aumenta en 3 metros y el ancho disminuye en 4 metros, el área del triángulo se reduce en 67 metros cuadrados. Si el largo se reduce en 1 metro y el ancho aumenta en 4 metros, el área aumenta en 89 metros cuadrados. Encuentra la dimensión del rectángulo.
Solución:
Supongamos que el largo y el ancho del rectángulo son x unidades e y unidades respectivamente.
por lo tanto, el área del rectángulo = x * y unidades cuadradas
Dado que,
Caso 1:
La longitud se incrementa en 3 metros = La nueva longitud es x+3
El ancho se reduce en 4 metros = El nuevo ancho es y-4
El área del rectángulo se reduce en 67 m2 = (x * y) – 67.
por lo tanto, la ecuación se convierte en
xy – 67 = (x + 3)(y – 4)
xy – 67 = xy + 3y – 4x – 12
4xy – 3y – 67 + 12 = 0
4x – 3y – 55 = 0 —————-(i)
Caso 2:
La longitud se reduce en 1 metro = La nueva longitud es x-1
El ancho se incrementa en 4 metros = El nuevo ancho es y+4
El área del rectángulo se incrementa en 89 m2 = (x * y) + 89.
por lo tanto, la ecuación se convierte en
xy + 89 = (x -1)(y + 4)
4x – y – 93 = 0 —————–(ii)
Ahora, al resolver las ecuaciones (i) y (ii) obtenemos,
x = 224/8 = 28
y = 152/8 = 19
Por lo tanto, el largo del rectángulo es de 28 m y el ancho del rectángulo es de 19 m.
Pregunta 4. Los ingresos de X e Y están en una proporción de 8:7 y sus gastos están en una proporción de 19:16. Si cada uno ahorra ₹ 1250, encuentre sus ingresos.
Solución:
Denotemos los ingresos por x y los gastos por y, respectivamente.
Dado que,
El ingreso de X es ₹ 8x y el gasto de X es 19y.
El ingreso de Y es ₹ 7x y el gasto de Y es 16y.
Entonces, al calcular los ahorros, obtenemos
Ahorro de X = 8x – 19y = 1250
Ahorro de Y = 7x – 16y = 1250
Por lo tanto, las ecuaciones son:
8x – 19y – 1250 = 0 —————-(yo)
7x – 16y – 1250 = 0 —————(ii)
Ahora, al resolver las ecuaciones (i) y (ii) obtenemos,
x = 3750/5 = 750
Si, x = 750, entonces
El ingreso de X = 8x
= 8×750 = 6000
El ingreso de Y = 7x
= 7×750 = 5250
Por lo tanto, el ingreso de X es ₹ 6000 y el ingreso de Y es ₹ 5250
Pregunta 5. A y B tienen dinero cada uno. Si A le da 30 rupias a B, a B le quedará el doble de dinero que a A. Pero, si B le da 10 rupias a A, a A le quedará el triple de lo que le queda a B. ¿Cuánto dinero le queda a cada uno?
Solución:
Supongamos que el dinero con «A» sea ₹ x y el dinero con «B» sea ₹ y.
Dado que,
Caso 1:
Si A le da ₹ 30 a B, entonces a B le quedará el doble de dinero que a A.
Según el caso la ecuación se convierte en,
y + 30 = 2(x – 30)
y + 30 = 2x – 60
2x-y-60-30 = 0
2x – y – 90 = 0 —————(yo)
Caso 2:
Si B le da ₹ 10 a A, entonces A tendrá el triple de lo que le queda a B.
Según el caso la ecuación se convierte en,
x + 10 = 3(y – 10)
x + 10 = 3y – 10
x-3y + 10 + 30 = 0
x – 3y + 40 = 0 —————(ii)
Al multiplicar la ecuación (ii) por 2, obtenemos,
2x – 6y + 80 = 0
Restamos la ecuación (ii) de (i), obtenemos,
2x – y – 90 – (2x – 6y + 80) = 0
5 años – 170 = 0
y = 34
Ahora, pon el valor y = 34 en la ecuación (i), y obtenemos,
x = 62
Por lo tanto, el dinero con A es ₹ 62 y el dinero con B es ₹ 34
Pregunta 6. ABCD es un cuadrilátero cíclico tal que ∠A = (4y + 20)°, ∠B = (3y – 5)°, ∠C = (+4x)° y ∠D = (7x + 5)°. Encuentra los cuatro ángulos. [NCERT]
Solución:
Dado que,
∠A = 4y + 20,
∠B = 3y-5,
∠C = – 4x,
∠D = 7x+5.
Como sabemos que los ángulos opuestos de un cuadrilátero cíclico son suplementarios,
∠A + ∠C = 180°
4y+20-4x = 180
-4x+4y = 160
(-x + y) = 40 ——————-(yo)
y,
∠B+∠D = 180°
3y-5+7x+5 = 180
7x+3y = 180 —————-(ii)
-7x+7y = 280 (multiplicando la ecuación n (i) por 7 y obtenemos)
10 años = 460
y = 46
ponemos el valor de y en la ecuación n (i) y obtenemos,
-x+46 = 40
-x = -6= 6
Por lo tanto, el valor de x = 6 y y = 46.
Pregunta 7. 2 hombres y 7 niños pueden hacer una obra en 4 días. El mismo trabajo se hace en 3 días por 4 hombres y 4 niños. ¿Cuánto tardaría un hombre y un niño en hacerlo?
Solución:
Supongamos que el tiempo que requiere un hombre solo para terminar el trabajo son “x” días y también el tiempo que requiere un niño solo para terminar el trabajo son “y” días.
El trabajo realizado por un hombre en un día = 1/x
El trabajo realizado por un niño en un día = 1/a
Similarmente,
El trabajo realizado por 2 hombres en un día = 2/x
El trabajo realizado por 7 niños en un día = 7/año
por lo tanto, de acuerdo con la condición dada en cuestión,
2 hombres y 7 niños juntos pueden terminar el trabajo en 4 días
4(2/x + 7/y) = 1
8/x + 28/y = 1 ——————-(i)
Y, la segunda condición de la pregunta establece que,
4 hombres y 4 niños pueden terminar el trabajo en 3 días
3(4/x + 4/y) = 1
12/x + 12/y = 1 —————-(ii)
Ahora, al resolver las ecuaciones (i) y (ii) obtenemos,
poner, 1/x = u y 1/y = v
por lo tanto, las ecuaciones (i) y (ii) se convierten en,
8u + 28v = 1
12u + 12v = 1
8u + 28v – 1 = 0 —————-(iii)
12u + 12v – 1 = 0 —————-(iv)
Ahora, al resolver las ecuaciones (iii) y (iv) obtenemos,
tu = 1/15
1/x = 1/15
X = 15
y,
v = 1/60
1/año = 1/60
y = 60
Por lo tanto, el tiempo que necesita un hombre solo para terminar el trabajo es de 15 días y el tiempo que necesita un niño solo para terminar el trabajo es de 60 días.
Pregunta 8. En un Δ ABC, ∠A = x o , ∠B = (3x – 2) o , ∠C = y o . Además, ∠C – ∠B = 9 o . Encuentra los tres ángulos.
Solución:
Dado que,
∠A = x o ,
∠B = (3x – 2) o ,
∠C = y o ,
∠C – ∠B = 9o
∠C = 9 ∘ + ∠B
∠C = 9 + 3x − 2
∠C = 7 o + 3x o
Sustituyendo el valor por
∠C = y o en la ecuación anterior obtenemos,
yo = 7 o + 3x o
Como sabemos que, ∠A + ∠B + ∠C = 180 o (propiedad de la suma de ángulos de un triángulo)
= x o + (3x ∘ − 2 ∘ ) + (7 ∘ + 3x ∘ ) = 180 ∘
= 7x ∘ + 5 ∘ = 180 ∘
= 7x ∘ = 175 ∘
= x = 25 ∘
Por lo tanto, calculando los ángulos individuales que obtenemos,
∠A = x o = 25 o
∠B = (3x – 2) o = 73 o
∠C = (7 + 3x) o = 82°
Por lo tanto, ∠A = 25 o , ∠B = 73 o y ∠C = 82 o .
Pregunta 9. En un cuadrilátero cíclico ABCD, ∠A = (2x + 4) o , ∠B = (y + 3) o , ∠C = (2y + 10) o , ∠D = (4x – 5) o . Encuentra los cuatro ángulos.
Solución:
Como sabemos que,
La suma de los ángulos opuestos del cuadrilátero cíclico debe ser 180o.
Y, en el cuadrilátero cíclico ABCD,
Los ángulos ∠A y ∠C y los ángulos ∠B y ∠D son los pares de ángulos opuestos.
por lo tanto,
∠A + ∠C = 180 o y
∠B + ∠D = 180o
Sustituyendo los valores dados a las dos ecuaciones anteriores, tenemos
Para ∠A + ∠C = 180 o
= ∠A = (2x + 4) o y ∠C = (2y + 10) o
2x + 4 + 2y + 10 = 180 o
2x + 2y + 14 = 180o
2x + 2y = 180o – 14o
2x + 2y = 166 —————(yo)
Y para, ∠B + ∠D = 180 o , tenemos
= ∠B = (y+3)o y ∠D = (4x – 5)o
y + 3 + 4x – 5 = 180 o
4x + y – 5 + 3 = 180
4x + y – 2 = 180
4x + y = 180 + 2
4x + y = 182 o ——————-(ii)
Ahora para resolver (i) y (ii), realizamos
Multiplicando la ecuación (ii) por 2 para obtener,
8x + 2y = 364 ———–(iii)
Y ahora, reste la ecuación (iii) de (i) y obtenemos,
-6x = -198
x = −198/ −6 = 33
Ahora, sustituyendo el valor de x = 33o en la ecuación (ii) y obtenemos,
4x + y = 182
132 + y = 182
y = 182 – 132 = 50
Así, calculando los ángulos de un cuadrilátero cíclico y obtenemos,
∠A = 2x + 4 = 66 + 4 = 70 o
∠B = y + 3 = 50 + 3 = 53 o
∠C = 2y + 10 = 100 + 10 = 110 o
∠D = 4x – 5 = 132 – 5 = 127 o
Por lo tanto, los ángulos del cuadrilátero cíclico ABCD son
∠A = 70 o , ∠B = 53 o , ∠C = 110 o y ∠D = 127 o
Pregunta 10. Yash obtuvo 40 puntos en una prueba, obtuvo 3 puntos por cada respuesta correcta y perdió 1 punto por cada respuesta incorrecta. Si se hubieran otorgado 4 puntos por cada respuesta correcta y se hubieran deducido 2 puntos por cada respuesta incorrecta, Yash habría obtenido 50 puntos. ¿Cuántas preguntas había en la prueba?
Solución:
Supongamos que el número total de respuestas correctas es x y el número total de respuestas incorrectas es y.
Por lo tanto, su suma dará el número total de preguntas en la prueba, es decir, x + y
Dado que,
Caso 1: Cuando se otorgan 3 puntos por cada respuesta correcta y se resta 1 punto por cada respuesta incorrecta.
Según este tipo, la puntuación total obtenida por Yash es 40. (Dado)
por lo tanto, la ecuación será
3x – 1y = 40 —————–(yo)
Caso 2: Cuando se otorgan 4 puntos por cada respuesta correcta y se restan 2 puntos por cada respuesta incorrecta.
Según esto, la puntuación total obtenida por Yash es 50. (Dado)
por lo tanto, la ecuación será
4x – 2y = 50 ————–(ii)
Así, al resolver (i) y (ii) obtuvimos los valores de x e y.
De (i), obtenemos
y = 3x – 40 ————–(iii)
ponga este valor de y en (ii) y obtenemos,
4x – 2(3x – 40) = 50
4x – 6x + 80 = 50
2x = 30
X = 15
Poniendo x = 14 en (iii) y obtenemos,
y = 3(15) – 40 = 5
por lo tanto, x + y = 15 + 5 = 20
Por lo tanto, el número de preguntas en la prueba fue de 20.
Pregunta 11. En un Δ ABC, ∠A = x o , ∠B = 3x o , ∠C = y o . Si 3y – 5x = 30, prueba que el triángulo es rectángulo.
Solución:
Necesitamos demostrar que ΔABC es un ángulo recto.
Dado que,
∠A = x o , ∠B = 3x o y ∠C = y o
Como sabemos que,
La suma de los tres ángulos de un triángulo es 180o (Propiedad de la suma de los ángulos de un triángulo)
∠A + ∠B + ∠C = 180 o
x + 3x + y = 180
4x + y = 180 —————-(yo)
3y – 5x = 30 ————-(ii) (Dado)
Para resolver (i) y (ii),
Multiplicando la ecuación (i) por 3 y obtenemos,
12x + 36y = 540 ————-(iii)
Ahora, restando la ecuación (ii) de la ecuación (iii) y obtenemos,
17x = 510
x = 510/17 = 30
Sustituyendo el valor de x = 30o en la ecuación (i) y obtenemos,
4x + y = 180
120 + y = 180
y = 180 – 120 = 60
Por lo tanto, los ángulos ∠A, ∠B y ∠C se calculan para ser
∠A = xo = 30 o
∠B = 3xo = 90o
∠C = yo = 60 o
Un triángulo rectángulo es un triángulo con uno de sus lados en ángulo recto con respecto al otro, es decir, 90 ° con respecto al otro.
y aquí tenemos ∠B = 90 o .
Por lo tanto, el triángulo ABC es rectángulo. Por lo tanto, probado.
Pregunta 12. Los cargos de alquiler de automóviles en una ciudad comprenden cargos fijos junto con el cargo por la distancia recorrida. Para un viaje de 12 km, el cargo pagado es ₹ 89 y para un viaje de 20 km, el cargo pagado es ₹ 145. ¿Cuánto tendrá que pagar una persona por recorrer una distancia de 30 km?
Solución:
Sea la carga fija del auto ₹ x y,
Deje que los cargos variables del automóvil sean ₹ y por km.
por lo tanto, las ecuaciones se convierten en,
x + 12y = 89 ————–(yo)
x + 20y = 145 ————–(ii)
Ahora, al resolver (i) y (ii) podemos encontrar las cargas.
Restamos (i) de (ii) y obtenemos,
-8 años = -56
y = −56 − 8 = 7
ahora, sustituimos el valor de y en la ecuación (i) y obtenemos,
x + 12y = 89
x + 84 = 89
x = 89 – 84 = 5
Por lo tanto, los cargos totales por viajar una distancia de 30 km se pueden calcular como: x + 30y
x + 30y = 5 + 210 = $215
Por lo tanto, una persona tiene que pagar ₹ 215 por recorrer una distancia de 30 km en automóvil.
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por ronilpatil y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA