Clase 10 Soluciones RD Sharma – Capítulo 3 Par de ecuaciones lineales en dos variables – Ejercicio 3.4 | conjunto 2

Resuelva cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de la multiplicación cruzada.

Pregunta 15. 2ax + 3by = a + 2b y 3ax + 2by = 2a + b

Solución:

Dado que,

2ax + 3by = a + 2b

3ax + 2by = 2a + b

Al comparar tanto la ecuación con la forma general obtenemos

 a ₁ = 2a, b ₁ = 3b, c ₁ = -(a + 2b), a ₂ = 3a, b ₂ = 2b, c ₂ = -(2a + b)

Ahora usando la multiplicación cruzada obtenemos

x/(b ₁ c ₂ – b ₂ c ₁ ) = y/(c ₁ a ₂ – c ₂ a ₁ ) = 1/(a ₁ b ₂ – a ₂ b ₁ )

x/(-3b(2a + b) + 2b(a + 2b)) = y/(-3a(a + 2b) + 2a(2a + b)) = 1/(4ab – 9ab)

x/(b ² – 4ab) = y/(a ² – 4ab) = 1/-5ab

x/(-4ab + b2 ⁾ = 1/-5ab

x/b(b – 4a) = 1/-5ab

x = (4a – b)/5a

y,

= -y/(-a ² + 4ab) = 1/-5ab

= -y/a(-a + 4b) = 1/-5ab

 y = (4b – a)/5b

Por lo tanto, x = (4a – b)/5a y y = (4b – a)/5b

Pregunta 16. 5ax + 6by = 28 y 3ax + 4by = 18

Solución:-

Dado que,

5ax + 6by = 28

3ax + 4by = 18

O, 5ax + 6by – 28 = 0

3ax + 4by – 18 = 0

Aquí, a ₁ = 5a, b ₁ = 6b, c ₁ = -28

a₂= 3a, b₂ = 4b, c₂ =-18

Al comparar tanto la ecuación con la forma general obtenemos

 a ₁ = 5a, b ₁ = 6b, c ₁ = -28, a ₂ = 3a, b ₂ = 4b, c ₂ = -18

Ahora usando la multiplicación cruzada obtenemos

x/(b ₁ c ₂ – b ₂ c ₁ ) = y/(c ₁ a ₂ – c ₂ a ₁ ) = 1/(a ₁ b ₂ – a ₂ b ₁ )

x/4b = -y/-6a = 1/2ab

x/4b = 1/2b

x = 2/un

y,

-y/-6a = 1/2ab

y = 3/b

Por lo tanto, x = 2/a y y = 3/b

Pregunta 17. (a + 2b)x + (2a – b)y = 2 y (a – 2b)x + (2a + b)y = 3

Solución:

Dado que,

(a + 2b)x + (2a – b)y = 2

(a – 2b)x + (2a + b)y = 3

O 

(a + 2b) x + (2a – b)y – 2 = 0

(a – 2b) x + (2a + b)y – 3 = 0

Al comparar tanto la ecuación con la forma general obtenemos

 a ₁ = a + 2b, b ₁ = 2a – b, c ₁ = -2, a ₂ = a – 2b, b ₂ = 2a + b, c ₂ = -3

Ahora usando la multiplicación cruzada obtenemos

x/(b ₁ c ₂ – b ₂ c ₁ ) = y/(c ₁ a ₂ – c ₂ a ₁ ) = 1/(a ₁ b ₂ – a ₂ b ₁ )

x/(-3(2a – b)) + (2(2a + b)) = y/(-2(a – 2b)) + (3(a + 2b)) = 1/((a + 2b) (2a + b) – (a – 2b)(2a – b))

x/(5b – 2a) = y/(a + 10b) = 1/(2a ² + 5ab + 2b ² – 2a ² + 5ab – 2b ² )

x/(5b – 2a) = y/(a + 10b) = 1/10ab

Asi que,

x/(5b – 2a) = 1/10ab

x= (5b – 2a)/10ab

y,

y/(a + 10b) = 1/10ab

y = (a + 10b)/10ab

Por lo tanto, x = (5b – 2a)/10ab y y= (a + 10b)/10ab

Pregunta 18. x((a – b) + (ab/(a – b))) = y((a + b) – (ab/(a + b))) y x + y = 2a ²

Solución:

Dado que,

x((a – b) + (ab/(a – b))) = y((a + b) – (ab/(a + b)))

O al resolver obtenemos

x((a ² + b ² – 2ab + ab)/(a – b)) = y((a ² + b ² + 2ab – ab)/(a + b))

= x((a ² + b ² – 2ab + ab)/(a – b)) – y((a ² + b ² + 2ab – ab)/(a + b)) = 0

y,

x + y = 2a ²

Al comparar tanto la ecuación con la forma general obtenemos

 a ₁ = (a ² + b ² – 2ab + ab)/(a – b), b ₁ = (a ² + b ² + 2ab – ab)/(a + b), c ₁ = 0, 

un ₂ = 1, _{segundo 2} = 1, c ₂ = 2a ²

Ahora usando la multiplicación cruzada obtenemos

x/(b ₁ c ₂ – b ₂ c ₁ ) = y/(c ₁ a ₂ – c ₂ a ₁ ) = 1/(a ₁ b ₂ – a ₂ b ₁ )

⇒ x/(2a ² ((a ² + b ² – 2ab + ab)/(a – b)) – 0) = y/(0 + 2a ² ((a ² + b ² + 2ab – ab)/( a + b))) 

= 1/(((a ² + b²)/(a – b) + (a ² + b ² + ab)/(a + b)))

⇒ x/(2a ² ((a ² + b ² – 2ab + ab)/(a – b))) = y/(-2a ² )((a ² + b ² + 2ab – ab)/(a + b)) = 1/(2a ³ /(a ² – b ² ))

Ahora,

x/(2a ² ((a ² + b ² – 2ab + ab)/(a – b)) = 1/(2a ³ /(a ² – b ² ))

x = (2a ² (a ² + ab + b ² )(a ² – b ² )) / 2a ³ (a + b)

x = (a ³ – b ³ )/a

y,

 y/(-2a ² )((a ² + b ² + 2ab – ab)/(a + b)) = 1/(2a ³ /(a ² – b ² ))

y = (2a ² (a ² – ab + b ² )(a ² – b ² ))/2a ³ (a – b)

y = a ³ + b ³ /a

Por lo tanto, x = (a ³ – b ³ )/a y y = a ³ + b ³ /a

Pregunta 19. bx + cy = a + b y ax[(1/(a – b)) – (1/(a + b))] + cy[(1/(b – a)) – (1/( b + a))] = 2a/(a + b)

Solución:

Dado que,

bx + cy = a + b

ax[(1/(a – b)) – (1/(a + b))] + cy[(1/(b – a)) – (1/(b + a))] = 2a/(a + b)

O

bx + cy -(a + b) = 0

ax((1/(a – b)) – (1/(a + b))) + cy(((1/(b – a)) – (1/(b + a))) – 2a/( a + b) = 0

ax(2b/(a ² – b ² ))) + cy(2a/(b ² – a ² )) – 2a/(a + b) = 0

Al comparar tanto la ecuación con la forma general obtenemos

 un ₁ = segundo, segundo ₁ = c, c ₁ = -(a + b),

a ₂ = 2b/(a ² – b ² ), b ₂ = 2a/(b ² – a ² ), c _​​2 = 2a/(a + b) 

Ahora usando la multiplicación cruzada obtenemos

x/(b ₁ c ₂ – b ₂ c ₁ ) = y/(c ₁ a ₂ – c ₂ a ₁ ) = 1/(a ₁ b ₂ – a ₂ b ₁ )

⇒ x / ((-2ac/(a + b)) + ((2ac(a + b)/(b ² – a ² )))) = y/((-(a + b)2ab)/(a ² – b ² )) + (2ab/(a + b)) 

= 1/((2abc/(b ² – a ² )) – (2abc/(a ² – b ² )))

⇒ x / ((-2ac/(a + b)) + ((2ac(a + b)/(b ² – a ² )))) = y/((-(a + b)2ab)/(a ² – b ² )) + (2ab/(a + b)) 

= 1/(-4abc/(a ² – b ² ))

⇒ x/(-2ac((1/(a + b)) + (1/(a – b))) = y/(2ab((-1/(a – b)) + (1/(a + b))) = 1/(-4abc/(a ² – b ² ))

⇒ x/(-4a ² c/(a ² – b ² )) = y/(4ab ² /(a ² – b ² )) = 1/1/(-4abc/(a ² – b ² ))

Asi que,

x/(-4a ² c/(a ² – b ² )) = 1/(-4abc/(a ² – b ² ))

x = a/b

y,

y/(4ab ² /(a ² – b ² )) = 1/(-4abc/(a ² – b ² ))

y = b/c

Por lo tanto, x = a/b, y = b/c

Pregunta 20. (a – b) x + (a + b) y = 2a ² – 2b ² y (a + b) (x + y) = 4ab

Solución:

Dado que,

(a – b) x + (a + b) y = 2a ² – 2b ²

(a + b) (x + y) = 4ab

(a – b) x + (a + b) y – 2(a ² – b ² ) = 0

(a + b)x + (a + b)y – 4ab = 0

Al comparar tanto la ecuación con la forma general obtenemos

 un ₁ = un – segundo, segundo ₁ = un + segundo, c ₁ = -2,

un ₂ = un + segundo, _{segundo 2} = un + segundo, c ₂ = -4ab

Ahora usando la multiplicación cruzada obtenemos

x/(b ₁ c ₂ – b ₂ c ₁ ) = y/(c ₁ a ₂ – c ₂ a ₁ ) = 1/(a ₁ b ₂ – a ₂ b ₁ )

⇒ x/(-(a + b)4ab + 2(a + b) (a ² – b ² )) = y/(− 2(a ² − b ² )(a + b) + 4ab(a – b )) 

= 1/((a − b)(a + b) − (a + b)(a + b))

⇒ x/(2(a + b)(a ² – b ² + 2ab)) = 1/-2b(a + b)

x = (2ab – a ² + b ² )/b

y,

= -y/(2(a – b) (a ² + b ² ) -2b (a + b)) = 1/ -2b(a + b)

y = (a – b)(a ² + b ² )/ b(a + b)

Por lo tanto, x = (2ab – a ² + b ² )/b y y = (a – b)(a ² + b ² )/ b(a + b)

Pregunta 21. a ² x + b ² y = c ² y b ² x + a ² y = d ²

Solución:

Dado que,

un ² x + ^{segundo 2} y = do ²

segundo ² x + un ² y = re ²

O

un ² x + ^{segundo 2} y – c ² = 0

segundo ² x + un ² y – re ² = 0

Al comparar tanto la ecuación con la forma general obtenemos

 un ₁ = un ² , segundo ₁ = ^{segundo 2} , C ₁ = -c ² ,

un ₂ = ^{segundo 2} , _{segundo 2} = un ² , c ₂ = -d ²

Ahora usando la multiplicación cruzada obtenemos

x/(b ₁ c ₂ – b ₂ c ₁ ) = y/(c ₁ a ₂ – c ₂ a ₁ ) = 1/(a ₁ b ₂ – a ₂ b ₁ )

x/(-b ² re ² + a ² c ² ) = y/(-c 2 ^{segundo 2} + a ² re ² ) = 1/(a ⁴ -b ⁴ )

 x/(a ² c ² – b ² d ² ) = y/(a ² d ² – c ² b ² ) = 1/(a ⁴ -b ⁴ )

Por lo tanto,

 = x/(a ² c ² – b ² d ² ) = 1/(a ⁴ – b ⁴ )

x = (a ² c ² – b ² re ² )/(a ⁴ – b ⁴ )

y,

= y/(a ² re ² – c ² b ² ) = 1/(a ⁴ -b ⁴ )

y = (a ² c ² – b ² re ² ) / (a ^​​4 -b ⁴ )

Por lo tanto, x = (a ² c ² – b ² d ² )/(a ⁴ – b ⁴ ), y = (a ² c ² – b ² d ² ) / (a ^​​4 – b ⁴ )

Pregunta 22. ax + by = (a + b)/2 y 3x + 5y = 4

Solución:

Dado que,

hacha + por = (a+b)/2

3x + 5y = 4

O 

hacha + por – (a + b)/2 = 0

3x + 5y – 4 = 0

Al comparar tanto la ecuación con la forma general obtenemos

 a ₁ = a, b ₁ = b, c ₁ = -(a + b)/2,

un ₂ = 3, _{segundo 2} = 5, c ₂ = -4

Ahora usando la multiplicación cruzada obtenemos

x/(b ₁ c ₂ – b ₂ c ₁ ) = y/(c ₁ a ₂ – c ₂ a ₁ ) = 1/(a ₁ b ₂ – a ₂ b ₁ )

= x/(-4b + 5((a + b)/2)) = y/(-3((a + b)/2) + 4a) = 1/(5a – 3b)

= x/((5a – 3b)/2) = y/((5a – 3b)/2) = 1/(5a – 3b)

Ahora,

x/((5a – 3b)/2) = 1/(5a – 3b)

x = (5a – 3b)/(2(5a – 3b))

X = 1/2

y,

y/((5a – 3b)/2) = 1/(5a – 3b)

y = (5a – 3b)/(2(5a – 3b))

y = 1/2

Por lo tanto, x = 1/2, y = 1/2

Pregunta 23. 2 (ax – by) + a + 4b = 0 y 2 (bx + ay) + b – 4a = 0

Solución:

Dado que,

2 (hacha – por) + (a + 4b) = 0

2 (bx + ay) + (b – 4a) = 0

Al comparar tanto la ecuación con la forma general obtenemos

 a ₁ = 2a, b ₁ = -2b, c ₁ = a + 4b,

un ₂ = 2b, _{segundo 2} = 2a, c ₂ = segundo – 4a

Ahora usando la multiplicación cruzada obtenemos

x/(b ₁ c ₂ – b ₂ c ₁ ) = y/(c ₁ a ₂ – c ₂ a ₁ ) = 1/(a ₁ b ₂ – a ₂ b ₁ )

= x/((-2b(a + 4b)) – (2a(b – 4a ))) = y/((2b(a + 4b)) – (2a(b – 4a))) = 1/(4a ² + 4b ² )

= x/(-2b ² + 8ab – 2ab + 8a ² ) = y/(2ab + 8b ² – 2ab + 8a ² ) = 1/4(a ² + b ² )

= x/-2(a ² + b ² ) = y/8(a ² + b ² ) = 1/4(a ² + b ² )

Asi que, 

= x/-2(a ² + b ² ) = 1/4(a ² + b ² )

x = -1/2

y,

= y/8(a ² + b ² ) = 1/4(a ² + b ² )

y = 2

Por lo tanto, x = -1/2 y y = 2

Pregunta 24. 6 (ax + by) = 3a + 2b y 6 (bx – ay) = 3b – 2a 

Solución:

dado que,

6 (hacha + por) = 3a + 2b

6 (bx – ay) = 3b – 2a 

6 (hacha + por) -(3a + 2b)=0…. (1)

6 (bx – ay) -(3b – 2a) =0….. (2)

Al comparar tanto la ecuación con la forma general obtenemos

 a1 = 6a, b1 ₌ 6b, c1 _{= –} (3a – 2b),

a2 ₌ 6b, b2 ₌ 66a, c2 ₌ -(3b – 2a)

Ahora usando la multiplicación cruzada obtenemos

x/(b ₁ c ₂ – b ₂ c ₁ ) = y/(c ₁ a ₂ – c ₂ a ₁ ) = 1/(a ₁ b ₂ – a ₂ b ₁ )

= x/(-6b(3b – 2a) – 6a(3a – 2b)) = y/(-6b(3a – 2b) + 6a(3b – 2a)) = 1/(-36a ² – 36b ² )

= x/(-18(a ² + b ² )) = y/(-12(a ² + b ² )) = 1/(-36(a ² + b ² ))

Por lo tanto,

x/(-18(a ² + b ² )) = 1/(-36(a ² + b ² ))

X = 1/2

y,

y/(-12(a ² + b ² )) = 1/(-36(a ² + b ² ))

y = 1/3

Por lo tanto, x = 1/2 y y = 1/3

Pregunta 25. (a ² /x) − (b ² /y) = 0 y (a ² b/x) − (b ² a/y) = a + b, x, y ≠ 0

Solución:

Dado que,

(a ² /x) − (b ² /y) = 0

(a ² b/x) − (b ² a/y) = a + b 

O

(a ² b/x) − (b ² a/y) – (a + b) = 0

Al comparar tanto la ecuación con la forma general obtenemos

 un ₁ = un ² , segundo ₁ = -b ² , do ₁ = 0,

un ₂ = un ^{2 segundo} , segundo 2 = ^{segundo 2} un, c ₂ = -(un + _{segundo )}

Ahora usando la multiplicación cruzada obtenemos

x/(b ₁ c ₂ – b ₂ c ₁ ) = y/(c ₁ a ₂ – c ₂ a ₁ ) = 1/(a ₁ b ₂ – a ₂ b ₁ )

= (1/x)/(b ² (a + b) – 0) = (1/y)/(0 + (a ² (a + b))) = 1/(a ³ b ² – a ² b ³ )

= (1/x)/(b ² (a + b)) = (1/y)/(a ² (a + b)) = 1/a ² b ² (a + b)

Asi que,

= (1/x)/(b ² (a + b)) = 1/a ² b ² (a + b)

x = un ²

y,

= (1/y)/(a ² (a + b)) = 1/a ² b ² (a + b)

y = ^{segundo 2}

Por lo tanto, x = a ² y y = b ²

Pregunta 26. mx – ny = m ² + n ² y x + y = 2m

Solución:

Dado que,

mx – ny = metro ² + norte ²

x + y = 2m

O

mx – ny -(m ² + n ² ) = 0

x + y – 2m = 0

Al comparar tanto la ecuación con la forma general obtenemos

 un ₁ = metro, segundo ₁ = -n, c ₁ = -(m ² + norte ² ),

a ₂ = 1, b ₂ = 1, c ₂ = -2m

Ahora usando la multiplicación cruzada obtenemos

x/(b ₁ c ₂ – b ₂ c ₁ ) = y/(c ₁ a ₂ – c ₂ a ₁ ) = 1/(a ₁ b ₂ – a ₂ b ₁ )

= x/(2mn + (m ² + n ² )) = y/(-(m ² + n ² ) + 2m ² ) = 1/(m + n)

= x/(m + n) ² = y/(m ² – n ² ) = 1/(m + n)

Por lo tanto,

 x/(m + n) ² = 1/(m + n)

x = metro + norte

y,

y/(m ² – n ² ) = 1/(m + n)

y = metro – norte

Por lo tanto, x = m + n, y = m – n

Pregunta 27. (ax/b) – (by/a) = a + b y ax – by = 2ab

Solución:

Dado que,

(hacha/b) – (por/a) = a + b

hacha – por = 2ab

O

(ax/b) – (por/a) – (a + b) = 0

hacha – por – 2ab = 0

Al comparar tanto la ecuación con la forma general obtenemos

 a ₁ = a/b, b ₁ = -b/a, c ₁ = -(a + b),

un ₂ = un, segundo ₂ = segundo , c ₂ = -2ab

Ahora usando la multiplicación cruzada obtenemos

x/(b ₁ c ₂ – b ₂ c ₁ ) = y/(c ₁ a ₂ – c ₂ a ₁ ) = 1/(a ₁ b ₂ – a ₂ b ₁ )

= x/b(b – a) = -y/a(-a + b) = 1/(b – a)

Asi que,

x/b(b – a) = 1/(b – a)

x = segundo

y,

-y/a(-a + b) = 1/(b – a)

y = -a

Por lo tanto, x = b, y = -a

Pregunta 28. (b/a)x + (a/b)y = a ² + b ² y x + y = 2ab

Solución:

Dado que,

(b/a)x + (a/b)y = un ² + ^{segundo 2}

x + y = 2ab

O

(b/a)x + (a/b)y – (a ² + b ² ) = 0

x + y – 2ab = 0

Al comparar tanto la ecuación con la forma general obtenemos

 a ₁ = b/a, b ₁ = a/b, c ₁ = -(a ² + b ² ),

a ₂ = 1, b ₂ = 1, c ₂ = -2ab

Ahora usando la multiplicación cruzada obtenemos

x/(b ₁ c ₂ – b ₂ c ₁ ) = y/(c ₁ a ₂ – c ₂ a ₁ ) = 1/(a ₁ b ₂ – a ₂ b ₁ )

= x/(b ² – a ² ) = y/(-b ² + a ² ) = 1/((b ² – a ² )/ab)

Por lo tanto,

 x/(b ² – a ² ) = 1/((b ² – a ² )/ab)

x = ab

y/(-b ² + a ² ) = 1/((b ² – a ² )/ab)

y = ab

Por lo tanto, x = ab, y = ab