Resuelva cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de la multiplicación cruzada.
Pregunta 1. x + 2y + 1 = 0 y 2x – 3y – 12 = 0
Solución:
Dado que,
x + 2y + 1 = 0
2x – 3y – 12 = 0
Al comparar tanto la ecuación con la forma general obtenemos
un 1 = 1, segundo 1 = 2, do 1 = 1, un 2 = 2, segundo 2 = −3, do 2 = -12
Ahora usando la multiplicación cruzada obtenemos
x/(b 1 c 2 – b 2 c 1 ) = y/(c 1 a 2 – c 2 a 1 ) = 1/(a 1 b 2 – a 2 b 1 )
x/(-24 – (-3)) = y/(-2 – (-12)) = 1/(-3 – 4)
x/(-24 + 32) = y/(2 + 12) = 1/ (-3 – 4)
x = -21/-7
Entonces, x = 3
y
y = 14/-7
y = -2
Por lo tanto, x = 3 y y = -2
Pregunta 2. 3x + 2y + 25 = 0 y 2x + y + 10 = 0
Solución:
Dado que,
3x +2y + 250
2x + y + 10 = 0
Al comparar tanto la ecuación con la forma general obtenemos
un 1 = 3, segundo 1 = 2, do 1 = 25, un 2 = 2, segundo 2 = 1, do 2 = 10
Ahora usando la multiplicación cruzada obtenemos
x/(b 1 c 2 – b 2 c 1 ) = y/(c 1 a 2 – c 2 a 1 ) = 1/(a 1 b 2 – a 2 b 1 )
x/(20 – 25) = y/(50 – 30) = 1/(3 – 4)
x/-5 = y/20 = 1/-1
x = -5 × (-1)
x = 5
x = -5 × (-1) = 5
y/20 = -1
y = 20 × (-1) = −20
Por lo tanto, x = 5y y y = −2
Pregunta 3. 2x + y = 35 y 3x + 4y = 65
Solución:
Dado que,
2x + y = 35
3x + 4y = 65
O 2x + y – 35 = 0
3x + 4y – 65 = 0
Al comparar tanto la ecuación con la forma general obtenemos
a 1 = 2, b 1 = 1, c 1 = -35, a 2 = 3, b 2 = 4, c 2 = -65
Ahora usando la multiplicación cruzada obtenemos
x/(b 1 c 2 – b 2 c 1 ) = y/(c 1 a 2 – c 2 a 1 ) = 1/(a 1 b 2 – a 2 b 1 )
x/(-65 – (-140)) = y/(-105-(-65 × 2)) = 1/( 8 – 3)
x/(-65 + 140) = y/( -105 + 130) = 1/5
x = 75/5
X = 15
y = 25/5
y = 5
Por lo tanto, x = 15 y y = 5
Pregunta 4. 2x – y = 6 y x – y = 2
Solución:
Dado que,
2x – y = 6
x – y = 2
O 2x – y – 6 = 0
x-y-2 = 0
Al comparar tanto la ecuación con la forma general obtenemos
a 1 = 2, b 1 = -1, c 1 = -6, a 2 = 1, b 2 = -1, c 2 = -2
Ahora usando la multiplicación cruzada obtenemos
x/(b 1 c 2 – b 2 c 1 ) = y/(c 1 a 2 – c 2 a 1 ) = 1/(a 1 b 2 – a 2 b 1 )
x/(2 – 6) = y/(-6 + 4) = 1/(-2 + 1)
Entonces, x = 4
y y = 2
Por lo tanto, x = 4 y y = 2
Pregunta 5. (x + y)/xy = 2 y (x − y)/xy = 6
Solución:
Dado que,
(x + y)/xy = 2,
(x − y)/xy = 6
O, 1/x + 1/y – 2 = 0
y,
1/x – 1/y – 6 = 0
Al comparar tanto la ecuación con la forma general obtenemos
a 1 = 1, b 1 = 1, c 1 = -2, a 2 = 1, b 2 = -1, c 2 = -6
Ahora usando la multiplicación cruzada obtenemos
x/(b 1 c 2 – b 2 c 1 ) = y/(c 1 a 2 – c 2 a 1 ) = 1/(a 1 b 2 – a 2 b 1 )
(1/x)/(-6 + 2) = (1/y)/(2 + 6) = 1/(1 + 1)
Entonces, x = -1/2
y y = 1/4
Por lo tanto, x = -1/2 y y = 1/4
Pregunta 6. ax + by = a – b y bx – ay = a + b
Solución:
Dado que,
hacha + por = a – b
bx-ay = a + b
O, hacha + por – (a – b) = 0
bx – ay – (a + b) = 0
Al comparar tanto la ecuación con la forma general obtenemos
a 1 = a, b 1 = b, c 1 = -(a – b), a 2 = b, b 2 = -a, c 2 = (a + b)
Ahora usando la multiplicación cruzada obtenemos
x/(b 1 c 2 – b 2 c 1 ) = y/(c 1 a 2 – c 2 a 1 ) = 1/(a 1 b 2 – a 2 b 1 )
x/(−b(a + b) − (-a)(-(a − b))) = y/((-(a − b) × b) – (-(a + b) × a) = 1/ (-a 2 – b 2 )
x/(-ab – b 2 – a 2 + ab) = y/(-ab – b 2 + a 2 + ab) = 1/-(-a 2 + b 2 )
Asi que,
x/-(-a 2 + b 2 ) = 1/-(-a 2 + b 2 )
X = 1
y, y/(a 2 + b 2 ) = 1/-(-a 2 + b 2 )
y = -1
Por lo tanto, x = 1 y y = -1
Pregunta 7. x + ay = b y ax – by = c
Solución:
Dado que,
x + ay = b
hacha – por = c
O, x + ay – b = 0
hacha – por – c = 0
Al comparar tanto la ecuación con la forma general obtenemos
un 1 = 1, segundo 1 = un, c 1 = – segundo, un 2 = un, segundo 2 = -b, c 2 = -c
Ahora usando la multiplicación cruzada obtenemos
x/(b 1 c 2 – b 2 c 1 ) = y/(c 1 a 2 – c 2 a 1 ) = 1/(a 1 b 2 – a 2 b 1 )
x/(-ac – b 2 ) = y/(-ab + c) = 1/(-b – a 2 )
x/(- ac – b 2 ) = 1/(-b – a 2 )
x = (ac + b 2 )/(a 2 + b)
y,
y/(- ab + c) = 1/(-b – a 2 )
y =(ab – c)/(a 2 + b)
Por lo tanto, x = (ac + b 2 )/(a 2 +b) y y =(ab – c)/(a 2 + b)
Pregunta 8. ax + by = a 2 y bx + ay = b 2
Solución:
Dado que,
hacha + por = un 2
bx + ay = b 2
O, ax + by – a 2 = 0
bx + ay – b 2 = 0
Al comparar tanto la ecuación con la forma general obtenemos
un 1 = un, segundo 1 = segundo, c 1 = – un 2 , un 2 = segundo, segundo 2 = un, c 2 = -b 2
Ahora usando la multiplicación cruzada obtenemos
x/(b 1 c 2 – b 2 c 1 ) = y/(c 1 a 2 – c 2 a 1 ) = 1/(a 1 b 2 – a 2 b 1 )
x/(-b 3 + a 3 ) = y/(-a 2 b + ab 2 ) = 1/(a 2 – b 2 )
x/(a 3 – b 3 ) = y/(-ab(a – b)) = 1/(a 2 – b 2 )
x= (a 3 – b 3 )/(a 2 – b 2 )
x = ((a – b)(a 2 + ab + b 2 ))/(a + b)(a – b)
x = (a 2 + ab + b 2 )/a + b
y,
y/(-ab(a – b)) = 1/(a 2 – b 2 )
(a – b)(a 2 + ab + b 2 ) (a + ba – b)
y = -ab(a – b)/(a + b)(a – b)
y= -ab/(a + b)
Por lo tanto, x = (a 2 + ab + b 2 )/(a + b) y y = -ab/(a + b)
Pregunta 9. (5/(x + y)) – (2/(x – y)) = -1 y (15/(x + y)) + (7/(x – y)) = 10
Solución:
Dado que,
(5/(x + y)) – (2/(x – y)) = -1
(15/(x + y)) + (7/(x – y)) = 10
Supongamos
x + y = a, y x – y = b, entonces
(5/a) – (2/b) + 1 = 0
(15/a) – (7/b) + 10 = 0
Al comparar tanto la ecuación con la forma general obtenemos
a 1 = 5, b 1 = -2, c 1 = – 1, a 2 = 15, b 2 = 7, c 2 = -10
Ahora usando la multiplicación cruzada obtenemos
x/(b 1 c 2 – b 2 c 1 ) = y/(c 1 a 2 – c 2 a 1 ) = 1/(a 1 b 2 – a 2 b 1 )
((1/a)/(20 – 7)) = ((1/b)(15 + 50)) = 1/(35 + 30)
((1/a)/13) = ((1/b)/65) = 1/65
Asi que,
1/a = 13/65
un = 5
y,
1/b = 65/65
segundo = 1
= x + y = 5…… (1)
= x – y = 1….. (2)
Ahora, al sumar las ecuaciones (1) y (2) obtenemos,
x = 3 y y = 2
Por lo tanto, x = 3 y y = 2
Pregunta 10. (2/x) + (3/y) = 13 y (5/x) – (4/y) = -2
Solución:
Dado que,
(2/x) +(3/y) = 13
(5/x) – (4/y) = -2
O, (2/x) + (3/y) – 13 = 0
(5/x) – (4/año) + 2 = 0
Al comparar tanto la ecuación con la forma general obtenemos
a 1 = 2, b 1 = 3, c 1 = – 13, a 2 = 5, b 2 = -4, c 2 = 2
Ahora usando la multiplicación cruzada obtenemos
x/(b 1 c 2 – b 2 c 1 ) = y/(c 1 a 2 – c 2 a 1 ) = 1/(a 1 b 2 – a 2 b 1 )
= ((1/x)/(6 – 52)) = ((1/a)(-65 – 4)) = 1/(-8 – 5)
= ((1/x)/-46) = ((1/a)/(-69)) = 1/(-23)
Ahora,
1/x = -46/(-23)
X = 1/2
y,
1/año = -69/-23
y = 1/3
Por lo tanto, x = 1/2 y y = 1/3
Pregunta 11. (11x + y)) + (6/(x – y)) = 5 y (38/(x + y)) + (21(x – y)) = 9
Solución:
Dado que,
(57/(x + y)) + (6/(x – y)) = 5
(38/(x + y)) + (21(x – y)) = 9
Consideremos
x + y = pag
x – y = q
Asi que,
(57/p) + (6/q) – 5 = 0
(38/p) + (21/q) – 9 = 0
Al comparar tanto la ecuación con la forma general obtenemos
a 1 = 57, b 1 = 6, c 1 = – 5, a 2 = 38, b 2 = 21, c 2 = -9
Ahora usando la multiplicación cruzada obtenemos
x/(b 1 c 2 – b 2 c 1 ) = y/(c 1 a 2 – c 2 a 1 ) = 1/(a 1 b 2 – a 2 b 1 )
((1/p)/(-54 + 105)) = ((1/q)/(-190 + 513)) = 1/(1197 – 228)
((1/p)/51) = ((1/q)/323) = 1/969
Asi que,
((1/p)/51) = 1/969
1/p = 51/969
pag = 19
y,
((1/q)/323) = 1/969
1/q = 323/969
q = 3
Ahora, sumando eq x + y = 19 y x – y = 3 obtenemos:
x = 11 y y = 8
Por lo tanto, x = 11 y y = 8
Pregunta 12. (x/a) + (y/b) = 2 y ax – by = a 2 – b 2
Solución:
Dado que,
(x/a) + (y/b) = 2
hacha – por = a 2 – b 2
(x/a) + (y/b) – 2 = 0
hacha – por – (a 2 – b 2 ) = 0
Al comparar tanto la ecuación con la forma general obtenemos
a 1 = 1/a, b 1 = 1/b, c 1 = – 2, a 2 = a, b 2 = -b, c 2 = -(a 2 – b 2 )
Ahora usando la multiplicación cruzada obtenemos
x/(b 1 c 2 – b 2 c 1 ) = y/(c 1 a 2 – c 2 a 1 ) = 1/(a 1 b 2 – a 2 b 1 )
x/((-1/b)(a 2 + b 2 )-2b) = y/((-2a) + (1/a)(a 2 – b 2 )) = 1/((-b/a ) – (a/b))
x/((-a 2 /b) – b) = y/(-a – (b 2 /a)) = 1/-(a 2 + b 2 )/ab
x/(-(a 2 + b 2 )/b) = y/(-(a 2 + b 2 )/a)) = 1/-(a 2 + b 2 )/ab
Asi que,
x/(-(a 2 + b 2 ) /b) = 1/-( a 2 + b 2 )/ab
x = -(a 2 + b 2 )ab/-b(a 2 + b 2 )
x = un
y,
y/(-(a 2 + b 2 ) /a)) = 1/-(a 2 + b 2 )/ab
y = -(a 2 + b 2 )ab/-a(a 2 + b 2 )
y = segundo
Por lo tanto, x = a y y = b
Pregunta 13. (x/a) + (y/b) = a + b y (x/a 2 ) + (y/b 2 ) = 2
Solución:
Dado que,
(x/a) + (y/b) = a + b
(x/a 2 ) + (y/b 2 ) = 2
(x/a) + (y/b) – a + b = 0
(x/a 2 ) + (y/b 2 ) – 2 = 0
Al comparar tanto la ecuación con la forma general obtenemos
a 1 = 1/a, b 1 = 1/b, c 1 = -(a + b), a 2 = 1/ a 2 , b 2 = 1/ b 2 , c 2 = -2
Ahora usando la multiplicación cruzada obtenemos
x/(b 1 c 2 – b 2 c 1 ) = y/(c 1 a 2 – c 2 a 1 ) = 1/(a 1 b 2 – a 2 b 1 )
(x/ (-2/b) + (a/b 2 ) + (1/b)) = (-y/(-2/a) + (1/a) + (b/ a 2 )) = ( 1/(-1/ ab 2 ) – (-1/ a 2 b))
Ahora,
x/((a – b)b 2 ) = 1/(-1/ab 2 ) – (-1/a 2 b)
x = un 2
y,
-y/((-a – b)/a 2 ) + (1/a) + (b/b 2 ) = 1/(-1/ab 2 ) – (-1/a 2 b)
y = segundo 2
Por lo tanto, x = a 2 y y = b 2
Pregunta 14. x/a = y/b y ax + by = a 2 + b 2
Solución:
Dado que,
x/a = y/b
hacha + por = a 2 + b 2
Al comparar tanto la ecuación con la forma general obtenemos
a 1 = 1/a, b 1 = 1/b, c 1 = 0, a 2 = a, b 2 = b, c 2 = -(a 2 + b 2 )
Ahora usando la multiplicación cruzada obtenemos
x/(b 1 c 2 – b 2 c 1 ) = y/(c 1 a 2 – c 2 a 1 ) = 1/(a 1 b 2 – a 2 b 1 )
x/((a 2 + b 2 )/b) = y/((a 2 + b 2 )/a) = 1/((a/b) + (b/a))
Ahora,
x/((a 2 + b 2 )/b) = 1/((a/b) + (b/a))
x = un
y,
y/((a 2 + b 2 )/a) = 1/((a/b) + (b/a))
y = segundo
Por lo tanto, x = a y y = b
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Artículo escrito por mayurbadole2407 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA