Pregunta 14. Encuentra el valor de k para el cual cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones tiene infinitas soluciones:
2x + 3y = 2,
(k + 2)x + (2k + 1)y = 2(k − 1)
Solución:
Dado que,
2x + 3y = 2
(k + 2)x + (2k + 1)y = 2(k − 1)
a1x + b1y − c1 = 0
a2x + b2y − c2 = 0
a1 = 2, b1 = 3, c1 = −2
a2 = (k + 2), b2 = (2k + 1), c2 = −2(k − 1)
Para una solución única, tenemos
a1/a2 = b1/b2 = c1/c2
= 2/(k + 2) = 3/(2k + 1) = -2/-2(k – 1)
= 2/(k + 2) = 3/(2k + 1) y 3/(2k + 1) = 2/2(k – 1)
= 2(2k + 1) = 3(k + 2) y 3(k − 1) = (2k + 1)
= 4k + 2 = 3k + 6 y 3k − 3 = 2k + 1
= k = 4 y k = 4
Por lo tanto, cuando k = 4, el conjunto de ecuaciones dado tendrá infinitas soluciones.
Pregunta 15. Encuentra el valor de k para el cual cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones tiene infinitas soluciones:
x + (k + 1)y = 4,
(k + 1)x + 9y = (5k + 2)
Solución:
Dado que,
x + (k + 1)y = 4
(k + 1)x + 9y = (5k + 2)
a1x + b1y − c1 = 0
a2x + b2y − c2 = 0
a1 = 1, b1 = (k + 1), c1 = −4
a2 = (k + 1), b2 = 9, c2 = − (5k + 2)
Para una solución única, tenemos
a1/a2 = b1/b2 = c1/c2
1/(k + 1) = (k + 1)/9 = -4/-(5k + 2)
1/(k + 1) = (k + 1)/9 y (k + 1)/9 = 4/(5k + 2)
9 = (k + 1) 2 y (k + 1)(5k + 2) = 36
9 = k2 + 2k + 1 y 5k2 + 2k + 5k + 2 = 36
k 2 + 2k − 8 = 0 y 5k 2 + 7k − 34 = 0
k2 + 4k − 2k − 8 = 0 y 5k 2 + 17k − 10k − 34 = 0
k(k + 4) −2 (k + 4) = 0 y (5k + 17) − 2 (5k + 17) = 0
(k + 4)(k − 2) = 0 y (5k + 17)(k − 2) = 0
k = – 4 o k = 2 y k = -17/5 o k = 2
Por lo tanto, k = 2 satisface ambas condiciones.
Entonces, cuando k = 2, el conjunto de ecuaciones dado tendrá infinitas soluciones.
Pregunta 16. Encuentra el valor de k para el cual cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones tiene infinitas soluciones:
kx + 3y = 2k + 1,
2(k + 1)x + 9y = (7k + 1)
Solución:
Dado que,
kx + 3y = 2k + 1
2(k + 1)x + 9y = (7k + 1)
a1x + b1y − c1 = 0
a2x + b2y − c2 = 0
a1 = k, b1 = 3, c1 = −(2k + 1)
a2 = 2(k + 1), b2 = 9, c2 = −(7k + 1)
Para una solución única, tenemos
a1/a2 = b1/b2 = c1/c2
1/2(k + 2) = 3/9 = -2k + 1/-(7k + 1)
1/2(k + 2) = 3/9 y 3/9 = 2k + 1/(7k + 1)
9k = 3 × 2(k + 1) y 3(7k + 1) = 9(2k + 1)
9k − 6k = 6 y 21k − 18k = 9 − 3
3k = 6 ⇒ k = 2 y k = 2
Por lo tanto, cuando k = 2, el conjunto de ecuaciones dado tendrá infinitas soluciones.
Pregunta 17. Encuentra el valor de k para el cual cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones tiene infinitas soluciones:
2x + (k – 2)y = k,
6x + (2k − 1)y = (2k + 5)
Solución:
Dado que,
2x +(k − 2)y = k
6x + (2k − 1)y = (2k + 5)
a1x + b1y − c1 = 0
a2x + b2y − c2 = 0
a1 = 2, b1 = (k − 2), c1 = −k
a2 = 6, b2 = (2k − 1), c2 = −(2k + 5)
Para una solución única, tenemos
a1/a2 = b1/b2 = c1/c2
2/6 = k – 1/(2k – 1) = -k/-2(2k + 5)
2/6 = k – 1/(2k – 1) y (k – 1) / (2k – 1) = k / 2(2k + 5)
2k − 3k = −6 + 1 y k + k = 10
−k = −5 y 2k = 10 = k = 5 y k = 5
Por lo tanto, cuando k = 5, el conjunto de ecuaciones dado tendrá infinitas soluciones.
Pregunta 18. Encuentra el valor de k para el cual cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones tiene infinitas soluciones:
2x + 3y = 7,
(k + 1)x + (2k − 1)y = (4k + 1)
Solución:
Dado que,
2x + 3y = 7
(k + 1)x + (2k − 1)y = (4k + 1)
a1x + b1y − c1 = 0
a2x + b2y − c2 = 0
a1 = 2, b1 = 3, c1 = −7
a2 = k + 1, b2 = 2k − 1, c2 = −(4k + 1)
Para una solución única, tenemos
a1/a2 = b1/b2 = c1/c2
2/(k + 1) = 3/(2k – 1) = -7/-(4k + 1)
2/(k + 1) = 3/(2k – 1) y 3/(2k – 1) = -7/-(4k + 1)
Tirante muy cerrado o tirante abierto faltante
4k − 2 = 3k + 3 y 12k + 3 = 14k − 7
k = 5 y 2k = 10 = k = 5 y k = 5
Por lo tanto, cuando k = 5, el conjunto de ecuaciones dado tendrá infinitas soluciones.
Pregunta 19. Encuentra el valor de k para el cual cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones tiene infinitas soluciones:
2x + 3y = k,
(k – 1)x + (k + 2)y = 3k
Solución:
Dado que,
2x + 3y = k
(k – 1)x + (k + 2)y = 3k
a1x + b1y − c1 = 0
a2x + b2y − c2 = 0
a1 = 2, b1 = 3, c1 = −k
a2 = k − 1, b2 = k + 2, c2 = −3k
Para una solución única, tenemos
a1/a2 = b1/b2 = c1/c2
2/(k – 1) = 3/(k + 2) = -k/-3k
2/(k – 1) = 3/(k + 2) y 3/(k + 2) = -k/-3k
Tirante muy cerrado o tirante abierto faltante
2k + 4 = 3k − 3 y 9 = k + 2
2k + 4 = 3k − 3 y 9 = k + 2 ⇒ k = 7 y k = 7
Por lo tanto, cuando k = 7, el conjunto de ecuaciones dado tendrá infinitas soluciones.
Pregunta 20. Encuentra el valor de k para el cual el siguiente sistema de ecuaciones no tiene solución:
kx − 5y = 2,
6x + 2y = 7
Solución:
Dado que,
kx − 5y = 2
6x + 2y = 7
a1x + b1y − c1 = 0
a2x + b2y − c2 = 0
a1 = k, b1 = −5, c1 = −2
a2 = 6 b2 = 2, c2 = −7
Para no tener solución, tenemos
a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2
1/2 = 2/k ≠ 2/7
k = 4
2k = -30
k = -15
Por lo tanto, cuando k = -15, el conjunto de ecuaciones dado no tendrá soluciones.
Pregunta 21. Encuentra el valor de k para el cual el siguiente sistema de ecuaciones no tiene solución:
x + 2y = 0,
2x + ky = 5
Solución:
Dado que,
x + 2y = 0
2x + ky = 5
a1x + b1y − c1 = 0
a2x + b2y − c2 = 0
a1 = 1, b1 = 2, c1 = 0
a2 = 2, b2 = k, c2 = −5
Para no tener solución, tenemos
a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2
k/6 = -5/2 ≠ 2/7
k = 4
Por lo tanto, cuando k = 4, el conjunto de ecuaciones dado no tendrá soluciones.
Pregunta 22. Encuentra el valor de k para el cual el siguiente sistema de ecuaciones no tiene solución:
3x – 4y + 7 = 0,
kx + 3y − 5 = 0
Solución:
Dado que,
3x − 4y + 7 = 0
kx + 3y − 5 = 0
a1x + b1y − c1 = 0
a2x + b2y − c2 = 0
a1 = 3, b1 = −4, c1 = 7
a2 = k, b2 = 3, c2 = −5
Para no tener solución, tenemos
a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2
3/k = -4/3
k = -9/4
Por lo tanto, cuando k = -9/4, el conjunto de ecuaciones dado no tendrá soluciones.
Pregunta 23. Encuentra el valor de k para el cual el siguiente sistema de ecuaciones no tiene solución:
2x − ky + 3 = 0,
3x + 2y − 1 = 0
Solución:
Dado que,
2x − ky + 3 = 0
3x + 2y − 1 = 0
a1x + b1y − c1 = 0
a2x + b2y − c2 = 0
a1 = 2, b1 = −k, c1 = 3
a2 = 3, b2 = 2, c2 = −1
Para no tener solución, tenemos
a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2
2/3 = -k/2
k = -4/3
Por lo tanto, cuando k = -4/3, el conjunto de ecuaciones dado no tendrá solución.
Pregunta 24. Encuentra el valor de k para el cual el siguiente sistema de ecuaciones no tiene solución:
2x + ky − 11 = 0,
5x − 7y − 5 = 0
Solución:
Dado que,
2x + ky − 11 = 0
5x − 7y − 5 = 0
a1x + b1y − c1 = 0
a2x + b2y − c2 = 0
a1 = 2, b1 = k, c1 = −11
a2 = 5, b2 = −7, c2 = −5
Para no tener solución, tenemos
a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2
2/5 = -k/-7
k = -14/5
Por lo tanto, cuando k = -14/5, el conjunto de ecuaciones dado no tendrá solución.
Pregunta 25. Encuentra el valor de k para el cual el siguiente sistema de ecuaciones no tiene solución:
kx + 3y = 3,
12x + ky = 6
Solución:
Dado que,
kx + 3y = 3
12x + ky = 6
a1x + b1y − c1 = 0
a2x + b2y − c2 = 0
a1 = k, b1 = 3, c1 = −3
a2 = 12, b2 = k, c2 = − 6
Para no tener solución, tenemos
a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2
k/12 = 3/k ≠ 3/6 …(5)
k2 = 36 ⇒ k = + 6 o −6
De la ecuación (5), obtenemos
k/12 ≠ 3/6
k ≠ 6
Por lo tanto, cuando k = -6, el conjunto de ecuaciones dado no tendrá soluciones.
Pregunta 26. ¿Para qué valor de a, el siguiente sistema de ecuaciones será inconsistente?
4x + 6y − 11 = 0,
2x + ay − 7 = 0
Solución:
Dado que,
4x + 6y − 11 = 0
2x + ay − 7 = 0
a1x + b1y − c1 = 0
a2x + b2y − c2 = 0
a1 = 4, b1 = 6, c1 = −11
a2 = 2, b2 = a, c2 = −7
Para solución inconsistente, tenemos
a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2
a1/a2 = b1/b2
4/2 = 6/a
un = 3
Por lo tanto, cuando a = 3, el conjunto de ecuaciones dado será inconsistente.
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por ronilpatil y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA