Pregunta 1: En un Δ ABC, D y E son puntos de los lados AB y AC respectivamente tales que DE || ANTES DE CRISTO.
(i) Si AD = 6 cm, DB = 9 cm y AE = 8 cm, encuentre AC.
Solución:
Dado: Δ ABC donde
Longitud del lado AD = 6 cm, DB = 9 cm, AE = 8 cm
Además, DE ∥ BC,
Para hallar: Longitud del lado AC
Usando el Teorema de Tales obtenemos, (As DE ∥ BC)
AD/BD = AE/CE – ecuación 1
Sea CE = x.
Entonces, poniendo valores en la ecuación 1, obtenemos
6/9 = 8/x
6x = 72cm
x = 72/6cm
x = 12cm
∴ CA = AE + CE = 12 + 8 = 20.
Por lo tanto, la longitud del lado AC es de 20 cm.
ii) Si AD/DB = 3/4 y AC = 15 cm, encuentre AE.
Solución:
Dado:
Longitud del lado AD/BD = 3/4 y AC = 15 cm
Para hallar: Longitud del lado AE
Usando el teorema de Thales, obtenemos
AD/BD = AE/CE – ecuación 1
Sea, AE = x
Entonces CE = 15 – x.
Ahora, poniendo valores en la ecuación 1,
⇒ 3/4 = x/ (15 – x)
45 – 3x = 4x
-3x – 4x = – 45
7x = 45
x = 45/7
x = 6,43 cm
∴AE= 6.43cm
Por lo tanto, la longitud del lado AE es de 6,43 cm.
iii) Si AD/DB = 2/3 y AC = 18 cm, encuentre AE.
Solución:
Dado:
Longitud del lado AD/BD = 2/3 y AC = 18 cm
Para hallar: Longitud del lado AE.
Usando el teorema de Thales, obtenemos
AD/BD = AE/CE – ecuación 1
Sea, AE = x
Entonces CE = 18 – x
Ahora, poniendo valores en la ecuación 1,
⇒ 23 = x/ (18 – x)
3x = 36 – 2x
5x = 36cm
x = 36/5cm
x = 7,2 cm
∴AE = 7,2 cm
Por lo tanto, la longitud del lado AE es de 7,2 cm.
iv) Si AD = 4 cm, AE = 8 cm, DB = x – 4 cm y EC = 3x – 19, encuentre x.
Solución:
Dado:
Longitud del lado AD = 4 cm, AE = 8 cm, DB = x – 4 y EC = 3x – 19
Para encontrar: longitud del lado x.
Usando el teorema de Thales, obtenemos,
AD/BD = AE/CE – ecuación 1
Ahora, poniendo valores en la ecuación 1,
4/ (x – 4) = 8/ (3x – 19)
4(3x-19) = 8(x-4)
12x-76 = 8(x-4)
12x – 8x = – 32 + 76
4x = 44cm
x = 11cm
Por lo tanto, la longitud del lado x es de 11 cm.
v) Si AD = 8 cm, AB = 12 cm y AE = 12 cm, encuentre CE.
Solución:
Dado:
Longitud del lado AD = 8 cm, AB = 12 cm y AE = 12 cm.
Hallar: Longitud del lado CE.
Usando el teorema de Thales, obtenemos
AD/BD = AE/CE – ecuación 1
Ahora, poniendo valores en la ecuación 1,
8/4 = 12/EC
8 x CE = 4 × 12 cm
CE = (4 × 12)/8 cm
CE = 48/8 cm
∴ CE = 6 cm
Por lo tanto, la longitud del lado x es de 6 cm.
vi) Si AD = 4 cm, DB = 4,5 cm y AE = 8 cm, encuentre AC.
Solución:
Dado:
Longitud del lado AD = 4 cm, DB = 4,5 cm, AE = 8 cm
Para hallar: Longitud del lado AC.
Usando el teorema de Thales, obtenemos
AD/BD = AE/CE – ecuación 1
Ahora, poniendo valores en la ecuación 1,
4/4,5 = 8/CA
CA = (4,5 × 8)/4 cm
∴CA = 9 cm
Por lo tanto, la longitud del lado AC es de 9 cm.
vii) Si AD = 2 cm, AB = 6 cm y AC = 9 cm, encuentre AE.
Solución:
Dado:
Longitud del lado AD = 2 cm, AB = 6 cm y AC = 9 cm
Para hallar: Longitud del lado AC.
Longitud de DB = AB – AD = 6 – 2 = 4 cm
Usando el teorema de Thales, obtenemos
AD/BD = AE/CE – ecuación 1
Ahora, poniendo valores en la ecuación 1,
2/4 = x/(9 – x)
4x = 18 – 2x
6x = 18
x = 3cm
∴AE = 3cm
Por lo tanto, la longitud del lado AE es de 3 cm.
viii) Si AD/BD = 4/5 y EC = 2,5 cm, encuentre AE.
Solución:
Dado:
Longitud del lado AD/BD = 4/5 y EC = 2,5 cm
Para hallar: Longitud del lado AC.
Usando el teorema de Thales, obtenemos
AD/BD = AE/CE – ecuación 1
Ahora, poniendo valores en la ecuación 1,
Entonces, 4/5 = AE/2.5
∴AE = 4 × 2,55 = 2 cm
Por lo tanto, la longitud del lado AE es de 2 cm.
ix) Si AD = x cm, DB = x – 2 cm, AE = x + 2 cm y EC = x – 1 cm, encuentre el valor de x.
Solución:
Dado:
Longitud del lado AD = x, DB = x – 2, AE = x + 2 y EC = x – 1
Para encontrar: Valor de x.
Usando el teorema de Thales, obtenemos
AD/BD = AE/CE – ecuación 1
Ahora, poniendo valores en la ecuación 1,
x/(x – 2) = (x + 2)/(x – 1)
x(x – 1) = (x – 2)(x + 2)
x 2 – x – x 2 + 4 = 0
∴ x = 4
Por lo tanto, el valor de x es 4
x) Si AD = 8x – 7 cm, DB = 5x – 3 cm, AE = 4x – 3 cm y EC = (3x – 1) cm, encuentre el valor de x.
Solución:
Dado:
Longitud del lado AD = 8x – 7, DB = 5x – 3, AER = 4x – 3 y EC = 3x -1
Para encontrar: Valor de x
Usando el teorema de Thales, obtenemos
AD/BD = AE/CE – ecuación 1
Ahora, poniendo valores en la ecuación 1,
(8x – 7)/(5x – 3) = (4x–3)/ (3x–1)
(8x – 7)(3x – 1) = (5x – 3)(4x – 3)
24x 2 – 29x + 7 = 20x 2 – 27x + 9
4x 2 – 2x – 2 = 0
2(2x 2 – x – 1) = 0
2x 2 – x – 1 = 0
2x 2 – 2x + x – 1 = 0
2x(x-1) + 1(x-1) = 0
(x – 1)(2x + 1) = 0
⇒ x = 1 o x = -1/2
Ya que sabemos que el lado del triángulo siempre es positivo.
Por lo tanto, tomamos el valor positivo.
∴ x = 1.
Por lo tanto, el valor de x es 1.
xi) Si AD = 4x – 3, AE = 8x – 7, BD = 3x – 1 y CE = 5x – 3, encuentre el valor de x.
Solución:
Dado:
Longitud del lado AD = 4x – 3, BD = 3x – 1, AE = 8x – 7 y EC = 5x – 3
Para encontrar: Valor de x
Usando el teorema de Thales, obtenemos
AD/BD = AE/CE – ecuación 1
Ahora, poniendo valores en la ecuación 1,
Obtenemos,
(4x – 3)/(3x – 1) = (8x – 7)/(5x – 3)
(4x – 3)(5x – 3) = (3x – 1)(8x – 7)
4x(5x – 3) -3(5x – 3) = 3x(8x – 7) -1(8x – 7)
20x 2 – 12x – 15x + 9 = 24x 2 – 29x + 7
20x 2 -27x + 9 = 24x 2 – 29x + 7
⇒ -4x 2 + 2x + 2 = 0
4x 2 – 2x – 2 = 0
4x 2 – 4x + 2x – 2 = 0
4x(x-1) + 2(x-1) = 0
(4x + 2)(x – 1) = 0
⇒ x = 1 o x = -2/4
sabemos que el lado de un triangulo siempre es positivo
Por lo tanto, solo tomamos el valor positivo.
∴ x = 1
Por lo tanto, el valor de x es 1.
xii) Si AD = 2,5 cm, BD = 3,0 cm y AE = 3,75 cm, encuentre la longitud de AC.
Solución:
Dado:
Longitud del lado AD = 2,5 cm, AE = 3,75 cm y BD = 3 cm
Para hallar: Longitud del lado AC
Usando el teorema de Thales, obtenemos
AD/BD = AE/CE – ecuación 1
Ahora, poniendo valores en la ecuación 1,
Obtenemos,
2,5/ 3 = 3,75/ CE
2,5 x CE = 3,75 x 3
CE = 3,75 × 32,5
CE = 11.252.5
CE = 4,5
Ahora, AC = 3.75 + 4.5
∴ CA = 8,25 cm.
Por lo tanto, el valor de AC es 8,25 cm.
Problema 2. En un Δ ABC, D y E son puntos de los lados AB y AC respectivamente. Para cada uno de los siguientes casos, demuestre que DE ∥ BC:
i) AB = 12 cm, AD = 8 cm, AE = 12 cm y AC = 18 cm.
Solución:
Dado:
Longitud del lado AB = 12 cm, AD = 8 cm, AE = 12 cm y AC = 18 cm
Para mostrar: El lado DE es paralelo a BC (DE || BC)
Ahora,
Longitud del lado BD = AB – AD
⇒ 12 – 8 = 4cm
Y,
Longitud del lado CE = AC – AE = 18 – 12 = 6 cm
Ahora,
AD/BD = 8/4 = 1/2 – ecuación 1
AE/CE = 12/6 = 1/2 – ecuación 2
Ahora de la ecuación 1 y 2
AD/BD = AE/CE
Entonces, por el inverso del teorema de Thale
Obtenemos, DE ∥ BC.
Por lo tanto, Probado.
ii) AB = 5,6 cm, AD = 1,4 cm, AC = 7,2 cm y AE = 1,8 cm.
Solución:
Dado:
Longitud del lado AB = 5,6 cm, AD = 1,4 cm, AC = 7,2 cm y AE = 1,8 cm
Para mostrar: El lado DE es paralelo a BC (DE || BC)
Ahora,
Longitud del lado BD = AB – AD = 5,6 – 1,4 = 4,2 cm
Y,
Longitud del lado CE = AC – AE = 7,2 – 1,8 = 5,4 cm
Ahora,
AD/BD = 1,4/4,2 = 1/3 – ecuación 1
AE/CE = 1.8/5.4 =1/3 – ecuación 2
Ahora de la ecuación 1 y 2
AD/BD = AE/CE
Entonces, por el inverso del teorema de Thale
Obtenemos, DE ∥ BC.
Por lo tanto, Probado.
iii) AB = 10,8 cm, BD = 4,5 cm, AC = 4,8 cm y AE = 2,8 cm.
Solución:
Dado:
Longitud del lado AB = 10,8 cm, BD = 4,5 cm, AC = 4,8 cm y AE = 2,8 cm.
Para mostrar: El lado DE es paralelo a BC ( DE || BC )
Ahora,
Longitud del lado AD = AB – DB = 10,8 – 4,5 = 6,3
Y,
Longitud del lado CE = AC – AE = 4,8 – 2,8 = 2
Ahora,
AD/BD = 6,3/ 4,5 = 2,8/ 2,0 = 7/5 – ecuación 1
AE/CE = 7/5 – ecuación 2
Ahora de la ecuación 1 y 2
AD/BD = AE/CE
Entonces, por el inverso del teorema de Thale
Obtenemos, DE ∥ BC.
Por lo tanto probado
iv) AD = 5,7 cm, BD = 9,5 cm, AE = 3,3 cm y EC = 5,5 cm.
Solución:
Dado:
Longitud del lado AD = 5,7 cm, BD = 9,5 cm, AE = 3,3 cm y EC = 5,5 cm
Para mostrar: El lado DE es paralelo a BC (DE || BC)
Ahora,
Longitud del lado AD/BD = 5,7/9,5 = 3/5 – ecuación 1
Y,
Longitud del lado AE/CE = 3,3/5,5 = 3/5 – ecuación 2
Ahora de la ecuación 1 y 2
AD/BD = AE/CE
Entonces, por el inverso del teorema de Thale
Obtenemos, DE ∥ BC.
Por lo tanto, demostrado
Problema 3: En un Δ ABC, P y Q son los puntos de los lados AB y AC respectivamente, tales que PQ ∥ BC. Si AP = 2,4 cm, AQ = 2 cm, QC = 3 cm y BC = 6 cm. Encuentre AB y PQ.
Solución:
Dado:
En ΔABC,
Longitud del lado AP = 2,4 cm, AQ = 2 cm, QC = 3 cm y BC = 6 cm.
Además, PQ ∥ BC.
Para hallar: Longitud del lado AB y PQ
Ahora,
Dado que PQ ∥ BC
Entonces, usando el teorema de Thales, obtenemos
AP/PB = AQ/QC
2.4/PB = 2/3
2 x PB = 2,4 × 3
PB = (2,4 × 3)/2 cm
⇒ PB = 3,6 cm
Por lo tanto, la longitud de PB es de 3,6 cm.
Ahora encontrando, AB = AP + PB
AB = 2,4 + 3,6
⇒ AB = 6cm
Por lo tanto, la longitud de AB es de 6 cm.
Ahora, considerando ΔAPQ y ΔABC
Tenemos,
∠A = ∠A (ángulo común)
∠APQ = ∠ABC (Los ángulos correspondientes son iguales y PQ||BC y AB son transversales)
Por lo tanto, ΔAPQ y ΔABC son similares entre sí según los criterios de AA.
Ahora, sabemos que las partes correspondientes de triángulos semejantes son proposicionales.
Por lo tanto,
⇒ AP/AB = PQ/BC
⇒ PQ = (AP/AB) x BC
= (2,4/6) × 6 = 2,4
∴ PQ = 2,4 cm.
Por lo tanto, la longitud de PQ es de 2,4 cm y AB es de 6 cm.
Problema 4: En un Δ ABC, D y E son puntos sobre AB y AC respectivamente, tales que DE ∥ BC. Si AD = 2,4 cm, AE = 3,2 cm, DE = 2 cm y BC = 5 cm. Encuentre BD y CE.
Solución:
Dado:
En Δ ABC,
Longitud del lado AD = 2,4 cm, AE = 3,2 cm, DE = 2 cm y BE = 5 cm
Además, DE ∥ BC
Para hallar: Longitud del lado BD y CE.
Como DE ∥ BC, AB es transversal,
∠APQ = ∠ABC (ángulos correspondientes) – ecuación 1
Como DE ∥ BC, AC es transversal,
∠AED = ∠ACB (ángulos correspondientes) – ecuación 2
En Δ ADE y Δ ABC,
Ahora de la ecuación 1 y 2 obtenemos,
∠ADE = ∠ABC
∠DEA = ∠ACB
∴ ΔADE = ΔABC (Por criterios de similitud AA)
Ahora, sabemos que
Las partes correspondientes de triángulos semejantes son proporcionales.
Por lo tanto,
⇒ AD/AB = AE/AC = DE/BC
AD/AB = DE/BC
2.4/ (2.4 + DB) = 2/5 [Ya que, longitud del lado AB = AD + DB]
2.4 + DB = 6
DB = 6 – 2,4
DB = 3,6 cm
La longitud del DB lateral es de 3,6 cm.
De la misma manera, obtenemos
⇒ AE/AC = DE/BC
3.2/ (3.2 + EC) = 2/5 [Ya que AC = AE + EC]
3.2 + CE = 8
CE = 8 – 3,2
CE = 4,8 cm
∴ BD = 3,6 cm y CE = 4,8 cm.
La longitud del lado BD es de 3,6 cm y CE es de 4,8 cm
Problema 5: Para la figura dada, establezca PQ ∥ EF.
Solución:
Dado :
Longitud del lado EP = 3 cm, PG = 3,9 cm, FQ = 3,6 cm y QG = 2,4 cm
Hallar: PQ ∥ EF o no.
Según el teorema de Tales,
PG/GE = GQ/FQ
Ahora,
3,9/3 ≠ 3,6/ 2,4
Como podemos ver no es proporcional.
Entonces, PQ no es paralelo a EF.
Problema 6: M y N son los puntos de los lados PQ y PR respectivamente, de un Δ PQR. Para cada uno de los siguientes casos, indique si MN ∥ QR.
(i) PM = 4 cm, QM = 4,5 cm, PN = 4 cm, NR = 4,5 cm.
(ii) PQ = 1,28 cm, PR = 2,56 cm, PM = 0,16 cm, PN = 0,32 cm.
(i)
Dado:
En el ∆PQR
M y N son puntos en PQ y PR respectivamente
PM = 4 cm, QM = 4,5 cm, PN = 4 cm, RN = 4,5 cm
Para encontrar: MN || QR o no
Según el teorema de Tales,
PM/QM = PN/NR
4/4,5 = 4/4,5
Por lo tanto, MN || código QR
(ii)
Dado :
Longitud del lado PQ = 1,28 cm, PR = 2,56 cm, PM = 0,16 cm y PN = 0,32 cm.
Hallar: que MN ∥ QR o no.
MQ = PQ – PM = 1,28 – 0,16 = 1,12 cm
RN = PR – PN = 2,56 – 0,32 = 2,24 cm
Según el teorema de Tales,
PM/QM = PN/ RN
PM/QN = 0,16/1,12 = 1/7 – ecuación 1
PN/RN = 0,32/ 2,24 = 1/7 – ecuación 2
De la ecuación 1 y 2
PM/QM = PN/ RN
Por lo tanto, MN || código QR
Problema 7: En los segmentos de tres rectas OA, OB y OC, los puntos L, M, N respectivamente se eligen de manera que LM ∥ AB y MN ∥ BC pero ni L, M y N ni A, B, C son colineales . Demuestre que LN ∥ AC.
Solución:
Dado :
OA, OB y OC, los puntos son L, M y N respectivamente
Tal que LM || AB y MN || antes de Cristo
Demostrar: LN ∥ AC
Ahora,
En ΔOAB, Dado que, LM ∥ AB,
Entonces, OL/LA = OM/ MB (Usando BPT) – ecuación 1
En ΔOBC, Dado que, MN ∥ BC
Entonces, OM/MB = ON/NC (Usando BPT)
Por lo tanto, ON/NC = OM/ MB – ecuación 2
De la ecuación 1 y 2, obtenemos
OL/LA = ENCENDIDO/NC
Por lo tanto, en ΔOCA Por el contrario BPT, obtenemos
LN || C.A.
Por lo tanto probado
Problema 8: Si D y E son los puntos de los lados AB y AC respectivamente de un Δ ABC tal que DE ∥ BC y BD = CE. Demuestre que ΔABC es isósceles.
Solución:
Dado :
En Δ ABC, DE ∥ BC y BD = CE.
Demostrar: que Δ ABC es isósceles.
Según el teorema de Tales,
AD/DB = AE/EC
Pero BD = CE (Dado)
Por lo tanto, obtenemos AD = AE
Ahora, BD = CE y AD = AE.
Entonces, AD + BD = AE + CE.
Por lo tanto, AB = AC.
Por lo tanto, ΔABC es isósceles.
Por lo tanto probado
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Artículo escrito por vaibhavsingh19750nit y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA