Clase 10 RD Sharma Solutions – Capítulo 4 Triángulos – Ejercicio 4.2

Pregunta 1: En un Δ ABC, D y E son puntos de los lados AB y AC respectivamente tales que DE || ANTES DE CRISTO.

(i) Si AD = 6 cm, DB = 9 cm y AE = 8 cm, encuentre AC.

Solución: 

Dado: Δ ABC donde

Longitud del lado AD = 6 cm, DB = 9 cm, AE = 8 cm 

Además, DE ∥ BC,

Para hallar: Longitud del lado AC

Usando el Teorema de Tales obtenemos, (As DE ∥ BC)

AD/BD = AE/CE – ecuación 1

Sea CE = x.

Entonces, poniendo valores en la ecuación 1, obtenemos 

6/9 = 8/x

6x = 72cm

x = 72/6cm

x = 12cm

∴ CA = AE + CE = 12 + 8 = 20.

Por lo tanto, la longitud del lado AC es de 20 cm.

ii) Si AD/DB = 3/4 y AC = 15 cm, encuentre AE.

Solución:

Dado:

Longitud del lado AD/BD = 3/4 y AC = 15 cm 

Para hallar: Longitud del lado AE

Usando el teorema de Thales, obtenemos

AD/BD = AE/CE – ecuación 1

Sea, AE = x

Entonces CE = 15 – x.

Ahora, poniendo valores en la ecuación 1,

⇒ 3/4 = x/ (15 – x)

45 – 3x = 4x

-3x – 4x = – 45

7x = 45

x = 45/7

x = 6,43 cm

∴AE= 6.43cm

Por lo tanto, la longitud del lado AE es de 6,43 cm.

iii) Si AD/DB = 2/3 y AC = 18 cm, encuentre AE.

Solución:

Dado:

Longitud del lado AD/BD = 2/3 y AC = 18 cm

Para hallar: Longitud del lado AE.

Usando el teorema de Thales, obtenemos

AD/BD = AE/CE – ecuación 1

Sea, AE = x 

Entonces CE = 18 – x

Ahora, poniendo valores en la ecuación 1,

⇒ 23 = x/ (18 – x)

3x = 36 – 2x

5x = 36cm

x = 36/5cm

x = 7,2 cm

∴AE = 7,2 cm

Por lo tanto, la longitud del lado AE es de 7,2 cm.

iv) Si AD = 4 cm, AE = 8 cm, DB = x – 4 cm y EC = 3x – 19, encuentre x.

Solución:

Dado:

Longitud del lado AD = 4 cm, AE = 8 cm, DB = x – 4 y EC = 3x – 19

Para encontrar: longitud del lado x.

Usando el teorema de Thales, obtenemos,

AD/BD = AE/CE – ecuación 1

Ahora, poniendo valores en la ecuación 1,

4/ (x – 4) = 8/ (3x – 19)

4(3x-19) = 8(x-4)

12x-76 = 8(x-4)

12x – 8x = – 32 + 76

4x = 44cm

x = 11cm

Por lo tanto, la longitud del lado x es de 11 cm.

v) Si AD = 8 cm, AB = 12 cm y AE = 12 cm, encuentre CE.

Solución:

Dado: 

Longitud del lado AD = 8 cm, AB = 12 cm y AE = 12 cm.

Hallar: Longitud del lado CE.

Usando el teorema de Thales, obtenemos

AD/BD = AE/CE – ecuación 1

Ahora, poniendo valores en la ecuación 1,

8/4 = 12/EC

8 x CE = 4 × 12 cm

CE = (4 × 12)/8 cm

CE = 48/8 cm

∴ CE = 6 cm

Por lo tanto, la longitud del lado x es de 6 cm.

vi) Si AD = 4 cm, DB = 4,5 cm y AE = 8 cm, encuentre AC.

Solución:

Dado:

Longitud del lado AD = 4 cm, DB = 4,5 cm, AE = 8 cm

Para hallar: Longitud del lado AC.

Usando el teorema de Thales, obtenemos

AD/BD = AE/CE – ecuación 1

Ahora, poniendo valores en la ecuación 1,

4/4,5 = 8/CA

CA = (4,5 × 8)/4 cm

∴CA = 9 cm

Por lo tanto, la longitud del lado AC es de 9 cm.

vii) Si AD = 2 cm, AB = 6 cm y AC = 9 cm, encuentre AE.

Solución:

Dado:

Longitud del lado AD = 2 cm, AB = 6 cm y AC = 9 cm

Para hallar: Longitud del lado AC.

Longitud de DB = AB – AD = 6 – 2 = 4 cm

Usando el teorema de Thales, obtenemos

AD/BD = AE/CE – ecuación 1

Ahora, poniendo valores en la ecuación 1,

2/4 = x/(9 – x)

4x = 18 – 2x

6x = 18

x = 3cm

∴AE = 3cm

Por lo tanto, la longitud del lado AE es de 3 cm.

viii) Si AD/BD = 4/5 y EC = 2,5 cm, encuentre AE.

Solución:

Dado:

Longitud del lado AD/BD = 4/5 y EC = 2,5 cm

Para hallar: Longitud del lado AC.

Usando el teorema de Thales, obtenemos

AD/BD = AE/CE – ecuación 1

Ahora, poniendo valores en la ecuación 1,

Entonces, 4/5 = AE/2.5

∴AE = 4 × 2,55 = 2 cm

Por lo tanto, la longitud del lado AE es de 2 cm.

ix) Si AD = x cm, DB = x – 2 cm, AE = x + 2 cm y EC = x – 1 cm, encuentre el valor de x.

Solución:

Dado:

Longitud del lado AD = x, DB = x – 2, AE = x + 2 y EC = x – 1

Para encontrar: Valor de x.

Usando el teorema de Thales, obtenemos

AD/BD = AE/CE – ecuación 1

Ahora, poniendo valores en la ecuación 1,

x/(x – 2) = (x + 2)/(x – 1)

x(x – 1) = (x – 2)(x + 2)

x 2 – x – x 2 + 4 = 0

∴ x = 4

Por lo tanto, el valor de x es 4 

x) Si AD = 8x – 7 cm, DB = 5x – 3 cm, AE = 4x – 3 cm y EC = (3x – 1) cm, encuentre el valor de x.

Solución:

Dado:

Longitud del lado AD = 8x – 7, DB = 5x – 3, AER = 4x – 3 y EC = 3x -1

Para encontrar: Valor de x

Usando el teorema de Thales, obtenemos

AD/BD = AE/CE – ecuación 1

Ahora, poniendo valores en la ecuación 1,

(8x – 7)/(5x – 3) = (4x–3)/ (3x–1)

(8x – 7)(3x – 1) = (5x – 3)(4x – 3)

24x 2 – 29x + 7 = 20x 2 – 27x + 9

4x 2 – 2x – 2 = 0

2(2x 2 – x – 1) = 0

2x 2 – x – 1 = 0

2x 2 – 2x + x – 1 = 0

2x(x-1) + 1(x-1) = 0

(x – 1)(2x + 1) = 0

⇒ x = 1 o x = -1/2

Ya que sabemos que el lado del triángulo siempre es positivo.

Por lo tanto, tomamos el valor positivo.

∴ x = 1.

Por lo tanto, el valor de x es 1.

xi) Si AD = 4x – 3, AE = 8x – 7, BD = 3x – 1 y CE = 5x – 3, encuentre el valor de x.

Solución:

Dado:

Longitud del lado AD = 4x – 3, BD = 3x – 1, AE = 8x – 7 y EC = 5x – 3

Para encontrar: Valor de x

Usando el teorema de Thales, obtenemos

AD/BD = AE/CE – ecuación 1

Ahora, poniendo valores en la ecuación 1,

Obtenemos,

(4x – 3)/(3x – 1) = (8x – 7)/(5x – 3)

(4x – 3)(5x – 3) = (3x – 1)(8x – 7)

4x(5x – 3) -3(5x – 3) = 3x(8x – 7) -1(8x – 7)

20x 2 – 12x – 15x + 9 = 24x 2 – 29x + 7

20x 2 -27x + 9 = 24x 2 – 29x + 7

⇒ -4x 2 + 2x + 2 = 0

4x 2 – 2x – 2 = 0

4x 2 – 4x + 2x – 2 = 0

4x(x-1) + 2(x-1) = 0

(4x + 2)(x – 1) = 0

⇒ x = 1 o x = -2/4

sabemos que el lado de un triangulo siempre es positivo

Por lo tanto, solo tomamos el valor positivo.

∴ x = 1

Por lo tanto, el valor de x es 1.

xii) Si AD = 2,5 cm, BD = 3,0 cm y AE = 3,75 cm, encuentre la longitud de AC.

Solución:

Dado:

Longitud del lado AD = 2,5 cm, AE = 3,75 cm y BD = 3 cm

Para hallar: Longitud del lado AC

Usando el teorema de Thales, obtenemos

AD/BD = AE/CE – ecuación 1

Ahora, poniendo valores en la ecuación 1,

Obtenemos,

2,5/ 3 = 3,75/ CE

2,5 x CE = 3,75 x 3

CE = 3,75 × 32,5

CE = 11.252.5

CE = 4,5

Ahora, AC = 3.75 + 4.5

∴ CA = 8,25 cm.

Por lo tanto, el valor de AC es 8,25 cm. 

Problema 2. En un Δ ABC, D y E son puntos de los lados AB y AC respectivamente. Para cada uno de los siguientes casos, demuestre que DE ∥ BC:

i) AB = 12 cm, AD = 8 cm, AE = 12 cm y AC = 18 cm.

Solución:

Dado:

Longitud del lado AB = 12 cm, AD = 8 cm, AE = 12 cm y AC = 18 cm

Para mostrar: El lado DE es paralelo a BC (DE || BC)

Ahora,

Longitud del lado BD = AB – AD 

 ⇒ 12 – 8 = 4cm

Y,

Longitud del lado CE = AC – AE = 18 – 12 = 6 cm

Ahora,

AD/BD = 8/4 = 1/2 – ecuación 1

AE/CE = 12/6 = 1/2 – ecuación 2

Ahora de la ecuación 1 y 2

AD/BD = AE/CE

Entonces, por el inverso del teorema de Thale

Obtenemos, DE ∥ BC.

Por lo tanto, Probado.

ii) AB = 5,6 cm, AD = 1,4 cm, AC = 7,2 cm y AE = 1,8 cm.

Solución:

Dado: 

Longitud del lado AB = 5,6 cm, AD = 1,4 cm, AC = 7,2 cm y AE = 1,8 cm

Para mostrar: El lado DE es paralelo a BC (DE || BC)

Ahora,

Longitud del lado BD = AB – AD = 5,6 – 1,4 = 4,2 cm

Y,

Longitud del lado CE = AC – AE = 7,2 – 1,8 = 5,4 cm

Ahora,

AD/BD = 1,4/4,2 = 1/3 – ecuación 1

AE/CE = 1.8/5.4 =1/3 – ecuación 2

Ahora de la ecuación 1 y 2

AD/BD = AE/CE

Entonces, por el inverso del teorema de Thale

Obtenemos, DE ∥ BC.

Por lo tanto, Probado.

iii) AB = 10,8 cm, BD = 4,5 cm, AC = 4,8 cm y AE = 2,8 cm.

Solución:

Dado:

Longitud del lado AB = 10,8 cm, BD = 4,5 cm, AC = 4,8 cm y AE = 2,8 cm.

Para mostrar: El lado DE es paralelo a BC ( DE || BC )

Ahora,

Longitud del lado AD = AB – DB = 10,8 – 4,5 = 6,3

Y,

Longitud del lado CE = AC – AE = 4,8 – 2,8 = 2

Ahora,

AD/BD = 6,3/ 4,5 = 2,8/ 2,0 = 7/5 – ecuación 1

AE/CE = 7/5 – ecuación 2

Ahora de la ecuación 1 y 2

AD/BD = AE/CE

Entonces, por el inverso del teorema de Thale

Obtenemos, DE ∥ BC.

Por lo tanto probado 

iv) AD = 5,7 cm, BD = 9,5 cm, AE = 3,3 cm y EC = 5,5 cm.

Solución:

Dado: 

Longitud del lado AD = 5,7 cm, BD = 9,5 cm, AE = 3,3 cm y EC = 5,5 cm

Para mostrar: El lado DE es paralelo a BC (DE || BC)

Ahora,

Longitud del lado AD/BD = 5,7/9,5 = 3/5 – ecuación 1

Y,

Longitud del lado AE/CE = 3,3/5,5 = 3/5 – ecuación 2

Ahora de la ecuación 1 y 2

AD/BD = AE/CE

Entonces, por el inverso del teorema de Thale

Obtenemos, DE ∥ BC.

Por lo tanto, demostrado

Problema 3: En un Δ ABC, P y Q son los puntos de los lados AB y AC respectivamente, tales que PQ ∥ BC. Si AP = 2,4 cm, AQ = 2 cm, QC = 3 cm y BC = 6 cm. Encuentre AB y PQ.

Solución:

Dado: 

En ΔABC, 

Longitud del lado AP = 2,4 cm, AQ = 2 cm, QC = 3 cm y BC = 6 cm. 

Además, PQ ∥ BC.

Para hallar: Longitud del lado AB y PQ

Ahora,

Dado que PQ ∥ BC

Entonces, usando el teorema de Thales, obtenemos

AP/PB = AQ/QC

2.4/PB = 2/3

2 x PB = 2,4 × 3

PB = (2,4 × 3)/2 cm

⇒ PB = 3,6 cm

Por lo tanto, la longitud de PB es de 3,6 cm.

Ahora encontrando, AB = AP + PB

AB = 2,4 + 3,6

⇒ AB = 6cm

Por lo tanto, la longitud de AB es de 6 cm.

Ahora, considerando ΔAPQ y ΔABC

Tenemos,

∠A = ∠A (ángulo común)

∠APQ = ∠ABC (Los ángulos correspondientes son iguales y PQ||BC y AB son transversales)

Por lo tanto, ΔAPQ y ΔABC son similares entre sí según los criterios de AA.

Ahora, sabemos que las partes correspondientes de triángulos semejantes son proposicionales.

Por lo tanto,

⇒ AP/AB = PQ/BC

⇒ PQ = (AP/AB) x BC

= (2,4/6) × 6 = 2,4

∴ PQ = 2,4 cm.

Por lo tanto, la longitud de PQ es de 2,4 cm y AB es de 6 cm.

Problema 4: En un Δ ABC, D y E son puntos sobre AB y AC respectivamente, tales que DE ∥ BC. Si AD = 2,4 cm, AE = 3,2 cm, DE = 2 cm y BC = 5 cm. Encuentre BD y CE.

Solución:

Dado:

En Δ ABC,

Longitud del lado AD = 2,4 cm, AE = 3,2 cm, DE = 2 cm y BE = 5 cm

Además, DE ∥ BC

Para hallar: Longitud del lado BD y CE.

Como DE ∥ BC, AB es transversal,

∠APQ = ∠ABC (ángulos correspondientes) – ecuación 1

Como DE ∥ BC, AC es transversal,

∠AED = ∠ACB (ángulos correspondientes) – ecuación 2

En Δ ADE y Δ ABC,

Ahora de la ecuación 1 y 2 obtenemos,

∠ADE = ∠ABC

∠DEA = ∠ACB

∴ ΔADE = ΔABC (Por criterios de similitud AA)

Ahora, sabemos que

Las partes correspondientes de triángulos semejantes son proporcionales.

Por lo tanto,

⇒ AD/AB = AE/AC = DE/BC

AD/AB = DE/BC

2.4/ (2.4 + DB) = 2/5 [Ya que, longitud del lado AB = AD + DB]

2.4 + DB = 6

DB = 6 – 2,4

DB = 3,6 cm

La longitud del DB lateral es de 3,6 cm.

De la misma manera, obtenemos

⇒ AE/AC = DE/BC

3.2/ (3.2 + EC) = 2/5 [Ya que AC = AE + EC]

3.2 + CE = 8

CE = 8 – 3,2

CE = 4,8 cm

∴ BD = 3,6 cm y CE = 4,8 cm.

La longitud del lado BD es de 3,6 cm y CE es de 4,8 cm

Problema 5: Para la figura dada, establezca PQ ∥ EF.

Solución:

Dado :

Longitud del lado EP = 3 cm, PG = 3,9 cm, FQ = 3,6 cm y QG = 2,4 cm

Hallar: PQ ∥ EF o no.

Según el teorema de Tales,

PG/GE = GQ/FQ 

Ahora,

3,9/3 ≠ 3,6/ 2,4

Como podemos ver no es proporcional.

Entonces, PQ no es paralelo a EF.

Problema 6: M y N son los puntos de los lados PQ y PR respectivamente, de un Δ PQR. Para cada uno de los siguientes casos, indique si MN ∥ QR.

(i) PM = 4 cm, QM = 4,5 cm, PN = 4 cm, NR = 4,5 cm.

(ii) PQ = 1,28 cm, PR = 2,56 cm, PM = 0,16 cm, PN = 0,32 cm.

(i)

Dado:

En el ∆PQR

M y N son puntos en PQ y PR respectivamente

PM = 4 cm, QM = 4,5 cm, PN = 4 cm, RN = 4,5 cm

Para encontrar: MN || QR o no

Según el teorema de Tales,

PM/QM = PN/NR

4/4,5 = 4/4,5

Por lo tanto, MN || código QR

(ii)

Dado :

Longitud del lado PQ = 1,28 cm, PR = 2,56 cm, PM = 0,16 cm y PN = 0,32 cm.

Hallar: que MN ∥ QR o no.

MQ = PQ – PM = 1,28 – 0,16 = 1,12 cm

RN = PR – PN = 2,56 – 0,32 = 2,24 cm

Según el teorema de Tales,

PM/QM = PN/ RN

PM/QN = 0,16/1,12 = 1/7 – ecuación 1

PN/RN = 0,32/ 2,24 = 1/7 – ecuación 2

De la ecuación 1 y 2

PM/QM = PN/ RN

Por lo tanto, MN || código QR

Problema 7: En los segmentos de tres rectas OA, OB y ​​OC, los puntos L, M, N respectivamente se eligen de manera que LM ∥ AB y MN ∥ BC pero ni L, M y N ni A, B, C son colineales . Demuestre que LN ∥ AC. 

Solución: 

Dado : 

OA, OB y ​​OC, los puntos son L, M y N respectivamente

Tal que LM || AB y MN || antes de Cristo

Demostrar: LN ∥ AC

Ahora,

En ΔOAB, Dado que, LM ∥ AB,

Entonces, OL/LA = OM/ MB (Usando BPT) – ecuación 1

En ΔOBC, Dado que, MN ∥ BC

Entonces, OM/MB = ON/NC (Usando BPT)

Por lo tanto, ON/NC = OM/ MB – ecuación 2

De la ecuación 1 y 2, obtenemos

OL/LA = ENCENDIDO/NC

Por lo tanto, en ΔOCA Por el contrario BPT, obtenemos

LN || C.A.

Por lo tanto probado

Problema 8: Si D y E son los puntos de los lados AB y AC respectivamente de un Δ ABC tal que DE ∥ BC y BD = CE. Demuestre que ΔABC es isósceles.

Solución: 

Dado :

En Δ ABC, DE ∥ BC y BD = CE.

Demostrar: que Δ ABC es isósceles.

Según el teorema de Tales,

AD/DB = AE/EC

Pero BD = CE (Dado)

Por lo tanto, obtenemos AD = AE

Ahora, BD = CE y AD = AE.

Entonces, AD + BD = AE + CE.

Por lo tanto, AB = AC.

Por lo tanto, ΔABC es isósceles.

Por lo tanto probado

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por vaibhavsingh19750nit y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Deja una respuesta

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *