Pregunta 13. Los perímetros de dos triángulos semejantes son 25 cm y 15 cm, respectivamente. Si un lado del primer triángulo mide 9 cm, ¿cuál es el lado correspondiente del otro triángulo?
Solución:
Dado: el perímetro de dos triángulos semejantes es de 25 cm, 15 cm y un lado de 9 cm
Para encontrar: el otro lado.
Sean los dos triángulos ABC y PQR.
Sea uno de sus lados (AB) = 9 cm y el otro lado del otro triángulo sea PQ.
∆ABC ∼ ∆PQR. [Dado que la razón de los lados correspondientes de triángulos semejantes es la misma que la razón de sus perímetros.]
AB/PQ = BC/QR = AC/PR = 25/15
9/PQ = 25/15
25 PQ = 15 × 9
PQ = (15×9)/25
PQ =(3× 9 )/5
PQ = 27/5
PQ = 5,4 cm
Por lo tanto, el lado correspondiente de otro ∆ es de 5,4 cm.
Pregunta 14. En ΔABC y ΔDEF se está dando que AB = 5 cm, BC = 4 cm, CA = 4,2 cm, DE = 10 cm, EF = 8 cm y FD = 8,4 cm. Si AL ⊥ BC, DM ⊥ EF, encuentre AL: Dm.
Solución:
Dado,
AB = 5 cm, BC = 4 cm, CA = 4,2 cm, DE = 10 cm, EF = 8 cm y FD = 8,4 cm
AL ⊥ BC, DM ⊥ EF
Para encontrar: AL: DM
Ahora en ∆ABC y ∆DEF,
AB/DE=BC/EF=AC/DF=1/2 [ambos triángulos son similares]
[En un triángulo semejante, la razón de la altura correspondiente es la misma que la razón de los lados correspondientes.]
AL: DM = 1: 2
Pregunta 15. D y E son los puntos de los lados AB y AC respectivamente, de un ΔABC tal que AD = 8 cm, DB = 12 cm, AE = 6 cm y CE = 9 cm. Demostrar que BC = 5/2 DE.
Solución:
AE/EC=6/9=2/3…….(1)
DA/DB=8/12=2/3……(2)
de (1) y (2) sabemos que
Ahora en△AED y △ACB,
ED∥CB
∠DEA=∠ACB
∠ADE=∠ABC
△AED∼△ACB [según criterios AAA]
AE/EC+AE= ED/CB [
6/6+9= DE/CB
6/15=2/5=ED/CB
Por lo tanto probado
Pregunta 16. D es el punto medio del lado BC de un ΔABC. AD se biseca en el punto E y BE produce cortes a AC en el punto X. Demuestre que BE: EX = 3 : 1
Solución:
Dado: En ∆ABC, D es el punto medio de BC, E es el punto medio de AD. BE producido se encuentra con AC en X.
Demostrar : BE: EX = 3 : 1
Ahora en ΔBCX y ΔDCY,
∠CBX = ΔCBY (ángulos correspondientes)
∠CXB = ΔCYD (ángulos correspondientes)
BX/DY = BC/DC
BX/DY = 2DC/DC [Como D es el punto medio de BC]
BX/DY = 2/1…………(yo)
Ahora en ΔAEX y ΔADY,
∠AEX = ΔADY (ángulos correspondientes)
∠AXE = ΔAYD (ángulos correspondientes)
EX/DI = AE/AD
EX/DY = AE/2AE [ D es el punto medio de BC]
EX/DY = ½…………..…(ii)
Al dividir la ecuación. (i) por la ecuación. (ii) obtenemos,
BX/EX = 4/1
BX = 4EX
SER + EX = 4EX
SER = 4EX – EX
SER = 3EX
SER /EX = 3/1
SER : EX = 3:1
Por lo tanto probado
Pregunta 17. ABCD es un paralelogramo y APQ es una línea recta que corta a BC en P y DC producido en Q. Demuestra que el rectángulo obtenido por BP y DQ es igual al rectángulo contenido por AB y BC.
Solución:
Dado: ABCD es un paralelogramo y APQ es una línea recta que se encuentra con BC en P y DC producida en Q.
Para probar: BP x DQ = AB x BC
Ahora en ∆ABP y ∆QDA,
∠B = ∠D [Ángulos opuestos del paralelogramo]
∠BAP = ∠AQD [Ángulos interiores alternos]
DA = BC [los lados opuestos de un paralelogramo son iguales]
AB/QD = PA/BC
AB × BC = QD × BP
Por lo tanto probado
Pregunta 18. En Δ ABC, AL y CM son las perpendiculares desde los vértices A y C a BC y AB respecto. Si Al y CM se cortan en O, demuestre que:
(i) ΔOMA ∼ ΔOLC
(ii)OA/OC=OM/OL
Solución:
Dado,
AL ⊥ BC y CM ⊥ AB
Probar:
(i) ΔOMA ∼ ΔOLC
(ii)OA/OC=OM/OL
Ahora en Δ OMA y ΔOLC,
∠MOA = ∠LOC [Ángulos verticalmente opuestos]
∠AMO = ∠CLO [Cada 90°]
Por lo tanto probado
Pregunta 19. ABCD es un cuadrilátero en el que AD = BC. Si P, Q, R, S son los puntos medios de AB, AC, CD y BD respecto. Demuestre que PQRS es un rombo.
Solución:
Dado,
ABCD es un cuadrilátero en el que AD = BC y P, Q, R, S son los puntos medios de AB, AC, CD, BD, respectivamente.
Demostrar: PQRS es un rombo
Ahora,
En ΔABC, P y Q son los puntos medios de los lados B y AC respectivamente
PQ ∥ BC y PQ = 1/2 BC. [Por el teorema del punto medio]
En ΔADC, Q y R son los puntos medios de los lados AC y DC respectivamente
Por el teorema del punto medio, obtenemos,
QR ∥ AD QR = 1/2 AD [Por el teorema del punto medio]
Ahora en ΔBCD,
RS∥BC y RS = 1/2 AD [Por el teorema del punto medio]
RS= 1/2 aC [AD = aC]
De las ecuaciones anteriores.
PQ = QR = RS
Por lo tanto probado
Pregunta 20. En un ΔABC isósceles, la base AB se produce en ambos sentidos hacia P y Q de manera que AP x BQ = AC2. Demostrar que Δ APC ∼ Δ BCQ
Solución:
Dado: ΔABC es isósceles ∆ y AP x BQ = AC²
Para probar: ΔAPC∼ΔBCQ.
lo sabemos,
ΔABC es un triángulo isósceles AC = BC.
AP x BQ = AC² (dado)
AP x BQ = CA x CA
AP x BQ = CA x BC
AP/BC = ABQ……….(1).
entonces, ∠CAB = ∠CBA [como AC = BC]
180° – ∠CAP = 180° – ∠CBQ [los ángulos opuestos a los lados iguales son IGUALES]
∠CAP = ∠CBQ ………..(2)
En ∆APC y ΔBCQ
AP/BC = AC/BQ [De la ecuación 1]
∠CAP = ∠CBQ [De la ecuación 2]
Por lo tanto probado
Pregunta 21. Una niña de 90 cm de altura se aleja caminando de la base de un poste de luz a una velocidad de 1,2 m/seg. Si la lámpara está a 3,6 m del suelo, encuentra la longitud de su sombra después de 4 segundos.
Solución:
DA = 1,2 m/s × 4 s = 4,8 m = 480 cm
Supongamos que la longitud de la sombra de la niña sea x cm cuando ella esté en la posición D. Por lo tanto,
BD = x cm
En ∆BDE y ∆BAC,
∠BDE=∠BAC [cada 90°]
∠DBE=∠ABC [Ángulo común]
BE/BC=DE/AC=BD/AB [Los lados correspondientes son proporcionales]
90/360=x/480+x
1/4=x/480+x
4x=480+x
4x−x=480
3x=480
x=480/3=160
Por lo tanto, la longitud de su sombra después de 4 segundos es de 160 cm.
Pregunta 22. Un palo vertical de 6 m de largo proyecta una sombra de 4 m de largo sobre el suelo y al mismo tiempo una torre proyecta una sombra de 28 m de largo. Encuentra la altura de la torre.
Solución:
Sea AB un palo y DE una torre.
Un palo de 6 m de largo proyecta una sombra de 4 m
Entonces, AB = 6 m y BC = 4 m
Deje que DE proyecte sombra al mismo tiempo, entonces EF = 28 m
Sea altura de la torre DE = x
Ahora en ∆ABC y ∆DEF,
∠B = ∠E (cada 90°)
∠C = ∠F (sombras al mismo tiempo)
∆ABC ~ ∆DEF [criterio AA]
AB/DE=BC/EF [Los lados correspondientes son proporcionales]
6/x=4/28
x=42 metros
Por lo tanto, la altura de la torre es de 42 m.
Pregunta 23. En la fig. dado, Δ ABC es un triángulo rectángulo en C y DE ⊥ AB. Demuestre que Δ ABC ∼ Δ ADE. por lo tanto, encuentre las longitudes de AE y DE.
Solución:
Dado: ΔACB es un triángulo rectángulo en C = 90°.
Según la figura: BC = 12 cm, AD=3 cm, DC = 2 cm.
CA = DA + CC = 3 +2= 5 cm
Ahora en ∆ACB,
AB² = AC² + BC² [por el teorema de Pitágoras]
AB² = 5² + 12²
AB² = 25 + 144 = 169
AB= √169 = 13
Ahora en ΔABC y ΔADE,
∠BAC = ∠DAE [común]
∠ACB = ∠AED [cada 90°]
13/3 = 12/ DE = 5/AE
13/3 = 12/DI
13 DE = 12×3
DE = 36/13
13/3 = 5/AE
13 EA = 5×3
AE = 15/13
Por lo tanto, la longitud de DE= 36/13 y AE = 15/13
Pregunta 24. En la figura, PA, QB y RC son perpendiculares a AC. Demostrar que 1/X+1/Z=1/Y
Dado:
PA, QB y RC son cada uno perpendicular a AC
Para probar: 1/X+1/Z=1/Y
Ahora en ΔPAC y ΔQBC,
∠PCA = ∠QCB [ángulo común]
∠PAC = ∠QBC [Ángulos correspondientes]
x/y = AB/BC
y/x = BC/AC
Ahora en ΔRCA y ΔQBA,
∠RAC = ∠QAB [ángulo común]
∠RCA = ∠QBA [Ángulo correspondiente]
z/y= AC/AB
y/z=AB/AC
y/z + y/z = BC+ AC/ AC = 1 [sumando ambas ecuaciones obtenemos]
y/z + y/z = 1
1/x + 1/z = 1/y [multiplicando ambos lados por y]
Por lo tanto probado
Pregunta 25. En la fig. dado, tenemos AB ∥ CD ∥ EF. Si AB = 6 cm, CD = x cm, EF = 10 cm, BD = 4 cm y DE = y cm. Calcular los valores de x e y.
Solución:
Dado : AB || disco compacto || EF , AB = 6 cm, CD = x cm, BD = 4 cm y DE = y cm y EF = 10 cm.
Ahora en ∆ECD y ∆EAB,
∠CED = ∠AEB [común]
∠ECD = ∠EAB [ángulos correspondientes]
∴ EC/EA = CD/AB [Las partes correspondientes de triángulos semejantes son proporcionales]
CE / EA = x/6 ……………(2)
En ∆ACD y ∆AEF
∠CAD = ∠EAF [común]
∠ACD = ∠AEF [ángulos correspondientes]
∆ACD ~ ∆AEF [Por similitud AA]
∴ AC/AE = CD/EF [Las partes correspondientes de triángulos semejantes son proporcionales]
AC /AE = x/10 ……………..(3)
EC/EA+ AC /AE = x/6 + x/10 [sumando las ecuaciones 2 y 3]
(CE + CA) /AE =( 5x + 3x)/30
AE / AE = 8x /30
1 = 8x/30
x = 30/8
x = 3,75 cm
∆ECD ~ ∆EAB [De la ecuación (i)]
DC/AB = ED /EB [Las partes correspondientes de un triángulo semejante son proporcionales]
3,75/6 = a/a+4
6y = 3.75(y+4)
6 años = 3,75 años + 15
6 años – 3,75 años = 15
2,25 años = 15
y = 15/2,25
y = 6,67 cm
Por lo tanto, x = 3,75 cm ey = 6,67 cm.
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Artículo escrito por simardeep032002 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA