Clase 10 RD Sharma Solutions – Capítulo 4 Triángulos – Ejercicio 4.5

Pregunta 1. En la figura, ΔACB ∼ ΔAPQ. Si BC = 8 cm, PQ = 4 cm, BA = 6,5 cm y AP = 2,8 cm, encuentre CA y AQ.

Solución:

Dado,

ΔACB ∼ ΔAPQ

BC = 8 cm, PQ = 4 cm, BA = 6,5 cm y AP = 2,8 cm

Para encontrar: CA y AQ

Lo sabemos,

ΔACB ∼ ΔAPQ [dado]

$\therefore$ BA/ AQ = CA/ AP = BC/ PQ [los lados son proporcionales a Triángulos semejantes]

Ahora,

6.5/ AC = 8/ 4

AQ = (6,5 x 4)/ 8

QA = 3,25 cm

Similarmente,

CA/AP = BC/PQ

CA/ 2.8 = 8/ 4

CA = 2,8 × 2

CA = 5,6 cm

Por lo tanto, CA = 5,6 cm y AQ = 3,25 cm.

Pregunta 2. En la figura, AB ∥ QR, encuentre la longitud de PB.

Solución:

Dado,

ΔPQR, AB ∥ QR

AB = 3 cm, QR = 9 cm y PR = 6 cm

Para encontrar: longitud de PB

En ΔPAB y ΔPQR

Tenemos,

∠P = ∠P [Ángulo común]

∠PAB = ∠PQR [Ángulos correspondientes]

∠PBA = ∠PRQ [Ángulos correspondientes]

$\therefore$ ΔPAB ∼ ΔPQR [Según criterios de similitud AAA]

$\therefore$ AB/ QR = PB/ PR [los lados son proporcionales a Triángulos Similares]

⇒ 3/9 = PB/6

PB = 6/3

Por lo tanto, la longitud de PB = 2 cm

Pregunta 3. En la fig. dado, XY∥BC. Encuentra la longitud de XY.

Solución:

Dado,

XY∥BC

AX = 1 cm, XB = 3 cm y BC = 6 cm

Para encontrar: longitud de XY

En ΔAXY y ΔABC

Tenemos,

∠A = ∠A [Ángulo común]

∠AXY = ∠ABC [Ángulos correspondientes]

∠AYX = ∠ACB [Ángulos correspondientes]

$\therefore$ ΔAXY ∼ ΔABC [Según criterios de similitud AAA]

$\therefore$ XY/ BC = AX/ AB [Las partes correspondientes de triángulos semejantes son proposicionales]

Ahora,

(AB = AX + XB = 1 + 3 = 4)

XY/6 = 1/4

XY/1 = 6/4

Por lo tanto, la longitud de XY = 1,5 cm

Pregunta 4. En un triángulo rectángulo con lados a y b e hipotenusa c, la altura dibujada en la hipotenusa es x. Demuestre que ab = cx.

Solución:

Consideremos ΔABC como un triángulo rectángulo con los lados a, b y c como hipotenusa. sea BD la altura trazada sobre la hipotenusa AC.

Para probar: ab = cx

Ahora,

En ΔABC y ΔADB

∠BAC = ∠DAB [Común]

∠ACB = ∠ABC = 90 $\degree$ [triángulo rectángulo]

$\therefore$ ΔABC ∼ ΔADB [Por criterios de similitud AA]

Asi que,

AC/ AB = BC/ EB [Las partes correspondientes de triángulos semejantes son proposicionales]

c/a = b/x

⇒ xc = ab

$\therefore$ ab = cx

Por lo tanto, probado.

Pregunta 5. En la fig., ∠ABC = 90° y BD⊥AC. Si BD = 8 cm y AD = 4 cm, encuentre CD.

Solución:

Dado,

ABC es un triángulo rectángulo y BD⊥AC.

BD = 8 cm y AD = 4 cm

Para encontrar: CD.

Ahora en el triángulo ΔABD y ΔCBD,

∠BDC=∠BDA [cada 90 $\degree$ ]

∠ABD=∠CBD [BD⊥AC]

$\therefore$ ΔDBA∼ΔDCB [Por similitud AA]

BD/ CD = AD/ BD

BD ² = AD x DC

(8) ² = 4 x CC

CC = 64/4 = 16 cm

Por lo tanto, la longitud del lado CD = 16 cm

Pregunta 6. En la fig., ∠ABC = 90 ^o y BD ⊥ AC. Si AB = 5,7 cm, BD = 3,8 cm y CD = 5,4 cm, encuentra BC.

Solución:

Dado:

BD ⊥ CA

AB = 5,7 cm, BD = 3,8 cm y CD = 5,4 cm

∠ABC = 90 ^o

Requerido para encontrar: BC

sea ∠BCD=x

Ahora en ΔADB y ΔCDB,

∠ADB = ∠CDB = 90 ^o [triángulo rectángulo]

∠ABD = ∠CBD [∠ABD = ∠CBD = 90 ^o – x]

$\therefore$ ΔABC ∼ ΔBDC [Por similitud AA]

asi que,

AB/ BD = BC/ CD [Las partes correspondientes de triángulos semejantes son proposicionales]

$\therefore$ 5,7/ 3,8 = BC/ 5,4

BC = (5,7 × 5,4)/ 3,8 = 8,1

Por lo tanto, la longitud del lado BC = 8,1 cm

Pregunta 7. En la fig. dado, DE ∥ BC tal que AE = (1/4)AC. Si AB = 6 cm, encuentre AD.

Solución:

Dado:

DE∥BC

AE = (1/4)CA

AB = 6 cm.

Para encontrar: AD.

Ahora en ΔADE y ΔABC,

∠A = ∠A [Ángulo común]

∠ADE = ∠ABC [Ángulos correspondientes]

$\therefore$ ΔADE ∼ ΔABC [Por criterios de similitud AA]

asi que,

$\therefore$ AD/AB = AE/ AC [Las partes correspondientes de triángulos semejantes son proposicionales]

DA/6 = 1/4

4 x DA = 6

DA = 6/4

$\therefore$ DA=1,5 cm

Por lo tanto, la longitud de AD = 1,5 cm

Pregunta 8. En la fig. dado, si AB ⊥ BC, DC ⊥ BC y DE ⊥ AC, demuestre que ΔCED ∼ ΔABC

Solución:

Dado:

AB ⊥ BC,

CC ⊥ BC,

DE ⊥ AC

Para probar: ΔCED∼ΔABC

Ahora en ΔABC y ΔCED,

∠B = ∠E = 90 ^o [dado]

∠BAC = ∠ECD [ángulos alternos]

$\therefore$ ΔCED∼ΔABC [similitud AA]

Por lo tanto probado

Pregunta 9. Las diagonales AC y BD de un trapecio ABCD con AB ∥ DC se cortan en el punto O. Utilizando el criterio de semejanza para dos triángulos, demuestra que OA/ OC = OB/ OD

Solución:

Dado: OC es el punto de intersección de AC y BD en el trapecio ABCD, con AB ∥ DC.

Para probar: OA/ OC = OB/ OD

Ahora en ΔAOB y ΔCOD,

∠AOB = ∠COD [Ángulos verticalmente opuestos]

∠OAB = ∠OCD [Ángulos alternos]

$\therefore$ ΔAOB ∼ ΔCOD

asi que,

$\therefore$ OA/ OC = OB/ OD [Los lados correspondientes son proporcionales]

Por lo tanto probado

Pregunta 10. Si Δ ABC y Δ AMP son dos triángulos rectángulos, en ángulo recto en B y M, respectivamente, tales que ∠MAP = ∠BAC. Pruebalo

(i) ΔABC ∼ ΔAMP

(ii) CA/ PA = BC/ MP

Solución:

(i) Dado:

Δ ABC y Δ AMP son los dos triángulos rectángulos.

Ahora en ΔABC y ΔAMP,

∠AMP = ∠B = 90 ^o

∠MAP = ∠BAC [Ángulos verticalmente opuestos]

$\therefore$ ΔABC∼ΔAMP [similitud AA]

(ii) Dado que, ΔABC∼ΔAMP

CA/ PA = BC/ MP [Los lados correspondientes son proporcionales]

Por lo tanto, probado.

Pregunta 11. Un palo vertical de 10 cm de largo proyecta una sombra de 8 cm de largo. Al mismo tiempo, una torre proyecta una sombra de 30 m de largo. Determinar la altura de la torre.

Solución:

Dado:

Longitud del palo = 10 cm

Longitud de la sombra del palo = 8 cm

Longitud de la sombra de la torre = 30m = 3000cm

Para encontrar: la altura de la torre = PQ.

Ahora en ΔABC y ΔPQR,

∠ABC = ∠PQR = 90 ^o [cada 90 ^o ]

∠ACB = ∠PRQ [los ángulos se hacen al mismo tiempo]

$\therefore$ ΔABC ∼ ΔPQR [Por similitud AA]

Asi que,

AB/BC = PQ/QR [por los lados correspondientes son proporcionales]

10/8 = PQ/ 3000

PQ = (3000×10)/ 8

PQ = 30000/8

PQ = 3750/100

Por lo tanto, la longitud de PQ = 37,5 m

Pregunta 12. En la figura, ∠A = ∠CED, demuestre que ΔCAB ∼ ΔCED. Además , encuentre el valor de x.

Solución:

Dado:

∠A = ∠CED

Demostrar: ΔCAB ∼ ΔCED

En ΔCAB y ΔCED

∠C = ∠C [Común]

∠A = ∠CED [Dado]

$\therefore$ ΔCAB ∼ ΔCED [Por similitud AA]

asi que,

CA/ CE = AB/ ED [por los lados correspondientes son proporcionales]

15/10 = 9/x

x = (9 × 10)/ 15

Por lo tanto, valor para x = 6 cm

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por simardeep032002 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Clase 10 RD Sharma Solutions – Capítulo 4 Triángulos – Ejercicio 4.5 | Serie 1

Pregunta 1. En la figura, ΔACB ∼ ΔAPQ. Si BC = 8 cm, PQ = 4 cm, BA = 6,5 cm y AP = 2,8 cm, encuentre CA y AQ.

Pregunta 2. En la figura, AB ∥ QR, encuentre la longitud de PB.

Pregunta 3. En la fig. dado, XY∥BC. Encuentra la longitud de XY.

Pregunta 4. En un triángulo rectángulo con lados a y b e hipotenusa c, la altura dibujada en la hipotenusa es x. Demuestre que ab = cx.

Pregunta 5. En la fig., ∠ABC = 90° y BD⊥AC. Si BD = 8 cm y AD = 4 cm, encuentre CD.

Pregunta 6. En la fig., ∠ABC = 90 ^o y BD ⊥ AC. Si AB = 5,7 cm, BD = 3,8 cm y CD = 5,4 cm, encuentra BC.

Pregunta 7. En la fig. dado, DE ∥ BC tal que AE = (1/4)AC. Si AB = 6 cm, encuentre AD.

Pregunta 8. En la fig. dado, si AB ⊥ BC, DC ⊥ BC y DE ⊥ AC, demuestre que ΔCED ∼ ΔABC

Pregunta 9. Las diagonales AC y BD de un trapecio ABCD con AB ∥ DC se cortan en el punto O. Utilizando el criterio de semejanza para dos triángulos, demuestra que OA/ OC = OB/ OD

Pregunta 10. Si Δ ABC y Δ AMP son dos triángulos rectángulos, en ángulo recto en B y M, respectivamente, tales que ∠MAP = ∠BAC. Pruebalo

Pregunta 11. Un palo vertical de 10 cm de largo proyecta una sombra de 8 cm de largo. Al mismo tiempo, una torre proyecta una sombra de 30 m de largo. Determinar la altura de la torre.

Pregunta 12. En la figura, ∠A = ∠CED, demuestre que ΔCAB ∼ ΔCED. Además , encuentre el valor de x.

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Pregunta 1. En la figura, ΔACB ∼ ΔAPQ. Si BC = 8 cm, PQ = 4 cm, BA = 6,5 cm y AP = 2,8 cm, encuentre CA y AQ.

Pregunta 2. En la figura, AB ∥ QR, encuentre la longitud de PB.

Pregunta 3. En la fig. dado, XY∥BC. Encuentra la longitud de XY.

Pregunta 4. En un triángulo rectángulo con lados a y b e hipotenusa c, la altura dibujada en la hipotenusa es x. Demuestre que ab = cx.

Pregunta 5. En la fig., ∠ABC = 90° y BD⊥AC. Si BD = 8 cm y AD = 4 cm, encuentre CD.

Pregunta 6. En la fig., ∠ABC = 90 o y BD ⊥ AC. Si AB = 5,7 cm, BD = 3,8 cm y CD = 5,4 cm, encuentra BC.

Pregunta 7. En la fig. dado, DE ∥ BC tal que AE = (1/4)AC. Si AB = 6 cm, encuentre AD.

Pregunta 8. En la fig. dado, si AB ⊥ BC, DC ⊥ BC y DE ⊥ AC, demuestre que ΔCED ∼ ΔABC

Pregunta 9. Las diagonales AC y BD de un trapecio ABCD con AB ∥ DC se cortan en el punto O. Utilizando el criterio de semejanza para dos triángulos, demuestra que OA/ OC = OB/ OD

Pregunta 10. Si Δ ABC y Δ AMP son dos triángulos rectángulos, en ángulo recto en B y M, respectivamente, tales que ∠MAP = ∠BAC. Pruebalo

Pregunta 11. Un palo vertical de 10 cm de largo proyecta una sombra de 8 cm de largo. Al mismo tiempo, una torre proyecta una sombra de 30 m de largo. Determinar la altura de la torre.

Pregunta 12. En la figura, ∠A = ∠CED, demuestre que ΔCAB ∼ ΔCED. Además , encuentre el valor de x.

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Pregunta 6. En la fig., ∠ABC = 90 ^o y BD ⊥ AC. Si AB = 5,7 cm, BD = 3,8 cm y CD = 5,4 cm, encuentra BC.