Clase 10 Soluciones RD Sharma – Capítulo 4 Triángulos – Ejercicio 4.7 | conjunto 2

Pregunta 15. Cada lado de un rombo mide 10 cm. Si una de sus diagonales mide 16 cm, encuentra la longitud de la otra diagonal.

Solución:

Dado,

En el rombo ABCD, las diagonales AC y BD se bisecan en O en ángulo recto

Cada lado = 10 cm y una diagonal AC = 16 cm

∴ AO = OC = 16/2 = 8 cm

Ahora en ∆AOB,

AB ² = AO ² + OB ²               

(10) ² = (8) ² + (BO) ²

 100 = 64 + ^BO2

 BO2 ⁼ 100 – 64 = 36 

BO = 6

Entonces, BD = 2BO = 2 x 6 = 12 cm

Por lo tanto, la longitud de la otra diagonal es de 12 cm.

Pregunta 16. Calcula la altura de un triángulo equilátero cuyos lados miden 12 cm cada uno.

Solución:

Dado,

Lado del triángulo equilátero = 12 cm

Para encontrar: Calcular la altura de un triángulo equilátero

Dibujemos la figura. Dibujemos la altitud AD. 

BD = DC = 6 cm [La altura también es la mediana del triángulo equilátero]

En ∆ADB, 

AB ² = AD ² + BD ²                              

144 = ² d.C. + 36

² dC = 144 – 36 = 108

DA = 10,39 cm

Por lo tanto, la altura del triángulo equilátero es de 10,39 cm.

Pregunta 17. En la figura, ∠B < 90° y segmento AD ⊥ BC. Muestra esa:

(i) b ² = h ² + a ² + x ² – 2ax

(ii) b ² = a ² + c ² – 2ax

Solución:

Dado: En ∆ABC, ∠B < 90°

dC ⊥ aC

AD = c, BC = a, CA = b AD = h, BD = x, DC = a – x

(i) En ∆CAD,

 CA ² = AD ² + CC ²    

 b ² = h ² + (a – x) ² 

Entonces, b ² = h ² + a ² + x ² – 2ax

(ii) Análogamente en ∆ADB derecho

AB ² = AD ² + BD ²

c ² = h ² + x ²       …..….(i)

b ² = h ² + a ² + x ² – 2ax 

= h2 ⁺ x2 ⁺ a2 – ^2ax

= c ² + a ² – 2ax [De eq(i)]

Entonces, b ² = a ² + c ² – 2ax

Por lo tanto probado.

Pregunta 18. En un equilátero ∆ABC, AD ⊥ BC, demostrar que AD ² = 3 BD ² . 

Solución:

En ángulo recto ∆ABD,

AB ² = AD ² + BD ²      ….(1)

Sabemos que en un triángulo equilátero toda altura es también mediana.

Entonces, AD biseca a BC.

Tenemos BD = DC

Como ∆ABC es un triángulo equilátero, AB = BC = AC

Entonces, podemos escribir la ecuación (1) como

BC ² = AD ² + BD ²       ….(2)

Pero BC = 2BD

Por lo tanto, la ecuación (2) se convierte en,

(2HAB) ² = AD ² + HAB ²

Al simplificar la ecuación obtenemos,

4HAB ² – HAB ² = DA ²

3BD ² = AD ²

Entonces, AD ² = 3BD ²

Por lo tanto probado

Pregunta 19. ∆ABD es un triángulo rectángulo rectángulo en A y AC ⊥ BD. Muestra esa

(i) AB ² = BC.BD

(ii) AC ² = BC.DC

(iii) AD ² = BD.CD

(iv) AB2 /AC2 ^{= BD} /DC 

Solución:

(i) En ΔADB y ΔCAB

∠DAB = ∠ACB = 90°

∠ABD = ∠CBA (ángulo común)

∠ADB = ∠CAB (ángulo restante)

Entonces, por AAA 

 ΔADB ~ ΔCAB     

Por eso,           

AB/CB = BD/AB

⇒ AB2 = CB × BD

(ii) Sea ∠CAB = y

En ΔCBA

∠CBA = 180° − 90° − y

∠CBA = 90° − y

De manera similar, en ΔCAD

∠CAD = 90° − ∠CAD = 90° − y

∠CDA = 90° − ∠CAB

= 90° − y

 ∠CDA = 180° −90° − (90° − y)

∠CDA = y

Ahora en ΔCBA y ΔCAD,

∠CBA = ∠CAD

∠CAB = ∠CDA

∠ACB = ∠DCA = 90°

Entonces, por regla AAA

ΔCBA ~ ΔCAD 

Entonces, AC/DC = BC/AC

⇒ CA ² = CC × BC

(iii) En ΔDCA y ΔDAB

∠DCA = ∠DAB (ambos son iguales a 90°)

∠CDA = ∠ADB (ángulo común)

∠DAC = ∠DBA (ángulo restante)

Entonces, por regla AAA

ΔDCA ~ ΔDAB 

entonces, DC/DA = DA/DB

⇒ AD ² = BD × CD

(iv) De la parte (i) AB ² = CB x BD

De la parte (ii) AC ² = DC × BC

Entonces, AB ² /AC ² = CB x BD/DC x BC

AB2 /AC2 ^{= BD} /DC

Por lo tanto probado

Pregunta 20. Un cable de sujeción sujeto a un poste vertical de 18 m de altura tiene 24 m de largo y tiene una estaca unida al otro extremo. ¿A qué distancia de la base del poste debe clavarse la estaca para que el alambre quede tenso?

Solución:

Dado,

 AC = 18m sea la altura del poste.

BC = 24m es la longitud de un cable de sujeción y está unido a la estaca B.

Ahora,

 En △ABC

BC ² = AB ² + AC ²                                 

24 ² = AB ² + 18 ²

AB2 ⁼ 576 − 324

= 252

Entonces, AB = 6√7 m

Por lo tanto, la estaca debe estar a 6√7 m de la base A.

Pregunta 21. Determina si el triángulo que tiene lados (a – 1) cm, 2 √a cm y (a + 1) cm es un triángulo rectángulo. 

Solución:

Dado,

Los lados del triángulo son (a – 1) cm, 2√a y (a + 1) cm.  

Consideremos ABC el triángulo en el que los lados son  

AB = (a – 1) cm, BC = (2√ a) cm, CA = (a + 1) cm  

AB² = (a – 1) ²  

Usando (a – b) ² = a ² + b ² – 2ab

= un ² + 1 ² – 2 × un × 1      

AB ² = un ² + 1 -2a

BC ² = (2√a) ²

∴ BC = 4a

CA ² = (a + 1) ² 

Usando (a + b) ² = a ² + b ² + 2ab

= un ² + 1 ² + 2 × un × 1  

CA ² = un ² + 1 + 2a

Usando el Teorema de Pitágoras

CA ² = AB ² + BC ²                        

Al poner el valor de AC ² , AB ² y BC ² en la ecuación anterior,

un ² + 1 + 2a = un ² + 1 – 2a + 4a

un ² + 1 + 2a = un ² + 1 + 2a

CA ² = AB ² + BC ²

∆ABC es un ángulo recto de ∆ en B.

Por lo tanto probado

Pregunta 22. En un triángulo acutángulo, expresa una mediana en términos de sus lados.

Solución:

Dado,

 En Δ ABC AD es la mediana.

Construcción: AE ⊥ BC

Ahora, 

∴ BD = CD = 1/2 BC ….(1) [AD es la mediana]

En Δ DEA,  

Usando el Teorema de Pitágoras

AD ² = AE ² + DE ²             

⇒ AE ² = AD ² – DE ² …..(2)

En Δ AEB,

AB ² = AE ² + BE ²

⇒ AD ² – DE ² + BE ²                       [De la ecuación (2)]

= (BD + DE) ² + AD ² – DE ²                [∴ BE = BD + DE]

DB ² + DE ² + 2BD x DE + AD ² – DE ²

= BD ² + AD ² + 2BD x DE

= (1/2BC) ² + AD ² + (2 × 1/2BC × DE) [De la ecuación (1)]

= (1/4BC) ² + AD ² + BC x DE ….(3)

En Δ DEA,

Usando el Teorema de Pitágoras

AC ² = AE ² + EC ²                          

= AD ² – DE ² + EC ²

= AD ² – DE ² + (DC – DE) ²

= AD ² – DE ² + DC ² + DE ² – 2DC x DE

AD ² + CC ² – 2 CC x DE

= AD ² + (1/2BC) ² – (2 × 1/2BC x DE)

= AD ² + (1/4BC) ² – BC x DE ….(4)

Al sumar las ecuaciones (3) y (4), obtenemos  

AB ² + AC ² = 1/4BC ² + AD ² + BC x DE + AD ² + 1/4BC ² – BC x DE  

= 1/ 2BC ² + 2AD ²

2(AB ² + AC ² ) = BC ² + 4AD ²

2AB ² + 2AC ² = BC ² + 4AD ²

Por lo tanto probado

Pregunta 23. En el triángulo rectángulo ABC en el que ∠C = 90°, si D es el punto medio de BC, demuestre que AB ² = 4AD ² – 3AC ² .

Solución:

Dado :  

∠C = 90° y D es el punto medio de BC.

Para probar: AB ² = 4AD ² – 3AC ²

En ∆ACD,  

Usando el Teorema de Pitágoras

AD ² = AC ² + CD ²     

CD ² = AD ² – AC ²   ……….(1)

En ∆ACB,

Usando el Teorema de Pitágoras

AB2 = ^{AC2 +} BC2 ^_      

AB ² = AC ² + (2CD) ²   [D es el punto medio de BC]

AB2 = ^{AC2 +} 4CD2 ^_

∴ AB ² = AC ² + 4(AD ² – AC ² ) [De la ecuación (1)]

AB ² = AC ² + 4AD ² – 4AC ²

^AB2 = 4AD2 – ^{4AC2 +} AC2 ^_

∴ ^AB2 = ^4AD2 – ^3AC2

Por lo tanto probado

Pregunta 24. En la figura, D es el punto medio del lado BC y AE ⊥ BC. Si BC = a, AC = b, AB = c, ED = x, AD = p y AE = h, demuestre que 

(i) b ² = p ² + a ² /4 + hacha

(ii) c ² = p ² – ax + a ² /4 

(iii) b ² + c ² = 2p ² + a ² /2

Solución:

Dado,

D es el punto medio de BC

(i) En ∆ AEC

AC ² = AE ² + EC ²

b ² = AE ² + (ED + CC) ²

b ² = AD ² + DC ² + 2 x ED x DC [Dado BC = 2CD]

segundo ² = pag ² + (a/2) ² + 2 (a/2)x

b ² = p ² + a ² /4 + hacha ………..(i)

(ii) En ∆ AEB

AB ² = AE ² + BE ²

c ² = AD ² – ED ² + (BD – ED) ²

c ² = p ² – ED ² + BD ² + ED ² – 2BD x ED

c ² = P ² + (a/2) ² – 2(a/2) ² x

c ² = p ² – hacha + a ² /4 ……………….(ii)

(iii) Sumando la ecuación (i) y (ii) obtenemos,

^{segundo 2} + c 2 ⁼ 2p ² + un ² /2

Por lo tanto probado

Pregunta 25. En ∆ABC, ∠A es obtuso, PB x AC y QC x AB. Pruebalo:

(i) AB x AQ = AC x AP

(ii) BC ² = (AC x CP + AB x BQ)

Solución:

(i) Dado:

∠A es obtuso.

PB es perpendicular a AC.

QC es perpendicular a AB.

Probar :

AB × AQ = AC × AP.

Prueba:

En ΔACQ y ΔABP,

⇒ ∠CAQ = ∠BAP [Verticalmente opuesto ∠]

⇒ ∠Q = ∠P [∠Q = ∠P = 90º]

Entonces, por la regla de AA

ΔACQ ~ ΔABP          

Por propiedad de triángulos semejantes,

⇒ CQ/BP = AC/AB = AQ/AP

⇒ AC/AB = AQ/AP

⇒ AB × AQ = AC × AP ……..(i)

Por lo tanto Probado.

(ii) Para probar:

BC² = AB × BQ + AC × CP

Prueba:

Usando el Teorema de Pitágoras

⇒ BC ² = CQ ² + QB ²

⇒ BC ² = CQ ² + (QA + AB) ²

⇒ BC ² = CQ ² + QA ² + AB ² + 2 QA × AB

⇒ BC ² = CQ ² + QA ² + AB ² + QA × AB + QA × AB

⇒ BC ² = AC ² + AB ² + QA × AB + QA × AB [En ΔACQ, CQ ² + QA ² = AC ² ]

⇒ BC ² = AC ² + AB ² + QA × AB + AC × CP [Por la ecuación (i)]

⇒ BC ² = AC ² + AC × CP + AB² + QA × AB

⇒ BC ² = AC × (AC+ CP) + AB × (QA + AB)

⇒ BC ² = AC × CP + AB × BQ [CP = AC+ CP, BQ = AQ + AB]

⇒ BC ² = AB × BQ + AC × CP.

Por lo tanto, Probado.

Pregunta 26. En un ∆ABC recto en C, si D es el punto medio de BC, demuestre que BC ² = 4 (AD ² – AC ² ).

Solución:

Dado:

∠C = 90°

en ∆CAD

Usando el Teorema de Pitágoras

DA ² = CA ² + CC ²

AD ² = CA ² + (1/2BC) ²    [CC = 1/2BC]

AD ² = CA ² + 1/4 (BC) ²

4AD ² = 4AC ² + (BC) ²

-(BC) ² = 4AC ² – 4AD ² 

Tomando menos común

(BC) ² = 4 (AD ² – AC ² )

Por lo tanto, demostrado

Pregunta 27. En un cuadrilátero ABCD, ∠B = 90°, AD ² = AB ² + BC ² + CD ² , demuestra que ∠ACD = 90°.

Solución:

Dado: ABCD es un cuadrilátero, ∠B = 90° y AD ² = AB ² + BC ² + CD ²

Para probar: ∠ACD = 90°

Demostración: Por la derecha ∆ABC,

Usando el Teorema de Pitágoras

CA ² = AB ² + BC ² … (1)

Dado, AD ² = AB ² + BC ² + CD ²

⇒ AD ² = AC ² + CD ²  [Usando la ecuación (1)]

En ∆ACD,

AD ² = AC ² + CD ²

Entonces, ∠ACD = 90° [Por el contrario del teorema de Pitágoras]

Pregunta 28. Un avión sale de un aeropuerto y vuela hacia el norte a una velocidad de 1000 km/h. Al mismo tiempo, otro avión sale del mismo aeropuerto y vuela hacia el oeste a una velocidad de 1200 km/h. ¿A qué distancia estarán los dos aviones después de 1 hora y media?

Solución:

Dado que la velocidad del primer avión = 1000 km/h

Distancia recorrida por el primer avión (hacia el norte) en   horas = 1000 x 3/2 km = 1500 km

Velocidad del segundo avión = 1200 km/h

Distancia recorrida por el primer avión (hacia el oeste) en   horas = 1200 × 3/2 km = 1800 km

Ahora en ΔAOB,

Usando el teorema de Pitágoras,

AB ² = AO ² + OB ²

⇒ AB ² = (1500) ² + (1800) ²

⇒ AB = √(2250000 + 3240000)

= √5490000

⇒ AB = 300√61 km

Por lo tanto, en   horas la distancia entre dos aviones = 300√61 km.