Clase 10 Soluciones RD Sharma – Capítulo 4 Triángulos – Ejercicio 4.7

Pregunta 1. Si los lados de un triángulo miden 3 cm, 4 cm y 6 cm de largo, determina si el triángulo es un triángulo rectángulo.

Solución:

Según la pregunta

Los lados del triangulo son:

AB = 3cm

BC = 4 cm

CA = 6 cm

Según el teorema de Pitágoras:

AB ² = 3 ² = 9

BC ² = 4 ² = 16

CA ² = 6 ² = 36

Como, AB ² + BC ² ≠ AC ²

Por lo tanto, por el contrario del teorema de Pitágoras, el triángulo no es un triángulo rectángulo

Pregunta 2. Los lados de ciertos triángulos se dan a continuación. Determina cuáles de ellos son triángulos rectángulos.

(i) a = 7 cm, b = 24 cm y c = 25 cm

(ii) a = 9 cm, b = 16 cm y c = 18 cm

(iii) a = 1,6 cm, b = 3,8 cm y c = 4 cm

(iv) a = 8 cm, b = 10 cm y c = 6 cm

Solución:

(i) Según la pregunta

Los lados del triangulo son:

a = 7 cm, b = 24 cm y c = 25 cm

Según el teorema de Pitágoras:

La hipotenusa o lado mayor de un triángulo rectángulo es igual a la suma de

cuadrados de los otros dos lados del triangulo

∴ un ² = 49, ^{segundo 2} = 576 y c ² = 625

(lado más largo) ² = c ² = 625

Suma de cuadrados de lados más cortos = (a) ² + (b) ² = 49 + 576 = 625

∴ 625 = 625

Por lo tanto, por el contrario del teorema de Pitágoras, el triángulo dado es un triángulo rectángulo.

(ii) Según la pregunta

Los lados del triángulo son: a = 9 cm, b = 16 cm y c = 18 cm

Según el teorema de Pitágoras:

La hipotenusa o lado mayor de un triángulo rectángulo es igual a la suma de

cuadrados de los otros dos lados del triangulo

∴ un ² = 81, ^{segundo 2} = 256 y c ² = 324

(lado más largo) ² = c ² = 324

Suma de cuadrados de lados más cortos = (a) ² + (b) ² = 81 + 256 = 337

∴324 ≠ 337

Por lo tanto, por el contrario del teorema de Pitágoras, el triángulo dado no es un triángulo rectángulo.

(iii) Según la pregunta

Los lados del triángulo son: a = 1,6 cm, b = 3,8 cm y C = 4 cm

Según el teorema de Pitágoras:

La hipotenusa o lado mayor de un triángulo rectángulo es igual a la suma de

cuadrados de los otros dos lados del triangulo

(lado más largo) ² = 16

Suma de cuadrados de lados más cortos = (1.6) ² + (3.8) ² = 2.56 + 14.44 = 17

∴ 16 ≠ 17

Por lo tanto, por el contrario del teorema de Pitágoras, el triángulo dado no es un triángulo ligero.

(iv) Según la pregunta

Los lados del triángulo son: a = 8 cm, b = 10 cm, c = 6 cm

Según el teorema de Pitágoras:

La hipotenusa o lado mayor de un triángulo rectángulo es igual a la suma de

cuadrados de los otros dos lados del triangulo

(lado más largo) ² = (10) ² = 100

Suma de cuadrados de lados más cortos = (8) ² + (6) ² = 64 + 36 = 100

∴ 100 = 100

Por lo tanto, por el contrario del teorema de Pitágoras, el triángulo dado es un triángulo ligero.

Pregunta 3. Un hombre recorre 15 m hacia el oeste y luego 8 m hacia el norte. ¿A qué distancia está la mentira del punto de partida?

Solución:

Sea el punto de partida del hombre O y el punto final A.

Entonces, en ∆ABO,

Usando el teorema de Pitágoras

AO ² = AB ² + BO ²

⟹ AO2 = 8 ² + 15 ²

⟹ AO2 = 64 + 225 = 289

⟹AO = √289 = 17m

Por lo tanto, el hombre está a 17 m del punto de partida.

Pregunta 4. Una escalera de 17 m de largo llega a la ventana de un edificio a 15 m del suelo. Encuentre la distancia del pie de la escalera desde el edificio.

Solución:

En ∆ABC,

Usando el teorema de Pitágoras

AB ² + BC ² = AC ²

⟹ 152 + BC ² = 172

⟹ 225 + BC ² = 172

⟹ ² AC = 289 – 225

⟹ BC ² = 64

⟹ BC = 8 m

Por lo tanto, la distancia del pie de la escalera al edificio = 8 m

Pregunta 5. Dos postes de 6 m y 11 m de altura se encuentran sobre un suelo plano. Si la distancia entre sus pies es de 12 m, encuentre la distancia entre sus puntas.

Solución:

Consideremos que CD y AB son los polos de 11 y 6 pulgadas de altura.

Por lo tanto, CP = 11 – 6 = 5 m

De la figura podemos observar que AP = 12m

En ∆APC,

Usando el teorema de Pitágoras

AP ² + PC ² = CA ²

12 ² + 5 ² = CA ²

CA ² = 144 + 25 = 169 m

CA = 13 m

Por lo tanto, la distancia entre sus cimas = 13 m.

Pregunta 6. En un triángulo isósceles ABC. AB = AC = 25 cm, BC = 14 cm. Calcular la altura desde A sobre BC.

Solución:

Según la pregunta

AB = AC = 25 cm y BC = 14

En ∆ABD y ∆ACD

∠ADB = ∠ADC [Cada uno = 90°]

AB = AC [Cada = 25 cm]

AD = AD [Común]

Entonces, por la condición de RHS

∆ABD ≅ ∆ACD

Por lo tanto, por partes correspondientes de triángulos congruentes

∴ BD = CD = 7 cm

En ∆ADB,

Usando el teorema de Pitágoras

AD ² + BD ² = AB ²

⟹ AD ² + 7 ² = 25 ²

⟹ ² dC = 625 – 49 = 576

⟹ DA = √576 = 24 cm

Pregunta 7. El pie de una escalera está a 6 m de una pared y su parte superior llega a una ventana a 8 m del suelo. Si la escalera se desplaza de tal manera que su pie está a 8 m de la pared, ¿qué altura alcanza su punta?

Solución:

Sea la longitud de la escalera AD = BE = lm

En ∆ACD,

Usando el teorema de Pitágoras

AD ² = AC ² + CD ²

⟹ l ² = 8 ² + 6 ² … (i)

En ∆BCE,

Usando el teorema de Pitágoras

SER ² = BC ² + CE ²

⟹ l ² = BC ² + 8 ² … (ii)

De la ecuación (i) y (ii), obtenemos

BC ² + 8 ² = 8 ² + 6 ²

⟹ BC ² + 6 ²

⟹ BC = 6 m

Pregunta 8. Dos postes de 9 m de altura y 14 m se encuentran sobre un suelo plano. Si la distancia entre sus pies es de 12 m in, encuentre la distancia entre sus puntas.

Solución:

Tenemos,

CA = 14 m. CC = 12 m y ED = BC = 9 m

Construcción: Dibuja EB ⊥ AC

AB = AC – BC = 14 — 9 = 5 m

Y, EB = DC = 12m

En ∆ABE,

Usando el teorema de Pitágoras

AE ² = AB ² + BE ²

⟹ AE ² = 5 ² + 12 ²

⟹ AE ² = 25 + 144 = 169

⟹AE= √169 = 13m

Por lo tanto, la distancia entre sus cimas = 13 m

Pregunta 9. Utilizando el teorema de Pitágoras, determine la longitud de AD en términos de b y c que se muestran en la figura siguiente.

Solución:

Tenemos,

En ∆BAC,

Usando el teorema de Pitágoras

BC ² = AB ² + AC ²

⟹ BC ² = do ² + ^{segundo 2}

$\to \space BC=\sqrt{{c^2} +{b^2}}$ ….(1)

En ∆ABD y ∆CBA

∠B = ∠B [Común]

∠ADB = ∠BAC [Cada 90°]

Entonces, por AA ambos triángulos son semejantes

∆ABD ͏~ ∆CBA

Por lo tanto, por partes correspondientes de ∆ similares son proporcionales

$\therefore \space\frac{AB}{CB}=\frac{AD}{CA}$

$\to \frac{C}{\sqrt{C^2 + B^2}}=\frac{AD}{B}$

$\to AD= \frac{BC}{\sqrt{C^2 + B^2}}$

Por lo tanto, la longitud de AD en términos de b y c es $AD= \frac{BC}{\sqrt{C^2 + B^2}}$

Pregunta 10. Un triángulo tiene lados de 5 cm, 12 cm y 13 cm. Halla la longitud, con un decimal, de la perpendicular desde el vértice opuesto al lado cuya longitud es 13 cm.

Solución:

Sea AB = 5 cm, BC = 12 cm y AC = 13 cm. Entonces, AC ² = AB ² + BC ² .

Esto prueba que ∆ABC es un triángulo de lucha. ángulos rectos en B.

Sea BD la longitud de la perpendicular desde B sobre AC.

Ahora, Área de ∆ABC = 1/2(BC x BA)

= 1/2(12×5)

= 30cm

Además, Área de ∆ABC = 1/2(AC x BD) = 1/2(13 x BD) = 1/2(13 x 2)

DB = 60/13 cm

Pregunta 11. ABCD es un cuadrado, F es el punto medio de AB. BE es un tercio de BC. Si el área de ∆FBE = 108 cm ² encuentra la longitud de AC.

Solución:

Dado,

ABCD es un cuadrado.

F es el punto medio de AB.

BE es un tercio de BC.

Área de ∆ FBE = 108cm ²

Para encontrar: longitud de AC

Hagamos que los lados del cuadrado sean y.

AB = BC = CD = DA = y cm

Entonces, AF = FB = x/2 cm

y, BE = x/3 cm

Ahora,

Área de ∆ FBE = 1/2 x BE x FB

⇒ 108 = (1/2) x (x/3) x (x/2)

⇒x2 = 108x2x3x2 = ¹²⁹⁶

⇒x = √(1296)

x = 36cm

En ∆ ABC,

Usando el teorema de Pitágoras

CA ² = AB ² + BC ²

⇒ CA ² = x ² + x ² = 2x ²

⇒ CA ² = 2 x (36) ²

⇒ CA = 36√2 = 36 x 1,414 = 50,904 cm

Por lo tanto, la longitud de AC es 50,904 cm.

Pregunta 12. En un triángulo isósceles ABC, si AB = AC = 13 cm y la altura de A en BC es de 5 cm, encuentra BC.

Solución:

Dado que,

Un triángulo isósceles ABC, AB = AC = 13 cm, AD = 5 cm

Para encontrar: BC

Ahora en ∆ ADB,

Usando el teorema de Pitágoras

AD ² + DB ² = 13 ²

5 ² + BD ² = 169

DB ² = 169 – 25 = 144

BD = √144 = 12 cm

De manera similar, en ∆ADC,

Usando el teorema de Pitágoras

CA ² = AD ² + CC ²

13 ² = 5 ² + CC ²

169 – 25 = CC ²

CC = √144 = 12 cm

Entonces BC = BD + DC = 12 + 12 = 24 cm

Por lo tanto, en el triángulo isósceles ABC el lado BC mide 24 cm

Pregunta 13. En un ∆ABC, AB = BC = CA = 2a y AD ⊥ BC. Pruebalo

(i) DA = a √3

(ii) área (∆ABC) = √3 a ²

Solución:

(i) En ∆ABD y ∆ACD,

∠ADB = ∠ADC = 90° [Dado]

AB = AC [Dado]

AD = AD [Común]

Entonces, por condición de RHS

∆ABD ≅ ∆ACD

Por lo tanto, por partes correspondientes de triángulos congruentes

∴ BD = CD = un

Ahora en ∆ABD,

Usando el teorema de Pitágoras

AD ² + BD ² = AB ²

AD ² + a ² = 2a ²

DA ² = 4a ² – a ² = 3a ²

DA = a√3

(ii) Área (∆ABC) = 1/2 x BC x AD

= 1/2 x (2a) x (a√3)

= √3 a ²

Por lo tanto probado

Pregunta 14. Las longitudes de las diagonales de un rombo son 24 cm y 10 cm. Encuentra cada lado del rombo.

Solución:

Para encontrar: Cada lado del rombo.

Sea ABCD un rombo de diagonales AC y BD.

∴ AC = 24 cm y BD = 10 cm

Lo sabemos,

AO = OC = 12 cm y BO = OD = 3 cm [Las diagonales de un rombo se bisecan en ángulo recto]

Ahora en ∆AOB,

Usando el teorema de Pitágoras

AB ² = AO ² + BO ²

= 12 ² + 5 ²

= 144 + 25

= 169

∴AB = √(169) = 13cm

∴ AB = BC = CD = AD = 13cm. [Los lados del rombo son todos iguales.]

Por lo tanto, los lados del rombo son los siguientes: AB = BC = CD = AD = 13 cm.

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por simardeep032002 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Clase 10 Soluciones RD Sharma – Capítulo 4 Triángulos – Ejercicio 4.7 | Serie 1

Pregunta 1. Si los lados de un triángulo miden 3 cm, 4 cm y 6 cm de largo, determina si el triángulo es un triángulo rectángulo.

Pregunta 2. Los lados de ciertos triángulos se dan a continuación. Determina cuáles de ellos son triángulos rectángulos.

Pregunta 3. Un hombre recorre 15 m hacia el oeste y luego 8 m hacia el norte. ¿A qué distancia está la mentira del punto de partida?

Pregunta 4. Una escalera de 17 m de largo llega a la ventana de un edificio a 15 m del suelo. Encuentre la distancia del pie de la escalera desde el edificio.

Pregunta 5. Dos postes de 6 m y 11 m de altura se encuentran sobre un suelo plano. Si la distancia entre sus pies es de 12 m, encuentre la distancia entre sus puntas.

Pregunta 6. En un triángulo isósceles ABC. AB = AC = 25 cm, BC = 14 cm. Calcular la altura desde A sobre BC.

Pregunta 7. El pie de una escalera está a 6 m de una pared y su parte superior llega a una ventana a 8 m del suelo. Si la escalera se desplaza de tal manera que su pie está a 8 m de la pared, ¿qué altura alcanza su punta?

Pregunta 8. Dos postes de 9 m de altura y 14 m se encuentran sobre un suelo plano. Si la distancia entre sus pies es de 12 m in, encuentre la distancia entre sus puntas.

Pregunta 9. Utilizando el teorema de Pitágoras, determine la longitud de AD en términos de b y c que se muestran en la figura siguiente.

Pregunta 10. Un triángulo tiene lados de 5 cm, 12 cm y 13 cm. Halla la longitud, con un decimal, de la perpendicular desde el vértice opuesto al lado cuya longitud es 13 cm.

Pregunta 11. ABCD es un cuadrado, F es el punto medio de AB. BE es un tercio de BC. Si el área de ∆FBE = 108 cm ² encuentra la longitud de AC.

Pregunta 12. En un triángulo isósceles ABC, si AB = AC = 13 cm y la altura de A en BC es de 5 cm, encuentra BC.

Pregunta 13. En un ∆ABC, AB = BC = CA = 2a y AD ⊥ BC. Pruebalo

Pregunta 14. Las longitudes de las diagonales de un rombo son 24 cm y 10 cm. Encuentra cada lado del rombo.

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Pregunta 1. Si los lados de un triángulo miden 3 cm, 4 cm y 6 cm de largo, determina si el triángulo es un triángulo rectángulo.

Pregunta 2. Los lados de ciertos triángulos se dan a continuación. Determina cuáles de ellos son triángulos rectángulos.

Pregunta 3. Un hombre recorre 15 m hacia el oeste y luego 8 m hacia el norte. ¿A qué distancia está la mentira del punto de partida?

Pregunta 4. Una escalera de 17 m de largo llega a la ventana de un edificio a 15 m del suelo. Encuentre la distancia del pie de la escalera desde el edificio.

Pregunta 5. Dos postes de 6 m y 11 m de altura se encuentran sobre un suelo plano. Si la distancia entre sus pies es de 12 m, encuentre la distancia entre sus puntas.

Pregunta 6. En un triángulo isósceles ABC. AB = AC = 25 cm, BC = 14 cm. Calcular la altura desde A sobre BC.

Pregunta 7. El pie de una escalera está a 6 m de una pared y su parte superior llega a una ventana a 8 m del suelo. Si la escalera se desplaza de tal manera que su pie está a 8 m de la pared, ¿qué altura alcanza su punta?

Pregunta 8. Dos postes de 9 m de altura y 14 m se encuentran sobre un suelo plano. Si la distancia entre sus pies es de 12 m in, encuentre la distancia entre sus puntas.

Pregunta 9. Utilizando el teorema de Pitágoras, determine la longitud de AD en términos de b y c que se muestran en la figura siguiente.

Pregunta 10. Un triángulo tiene lados de 5 cm, 12 cm y 13 cm. Halla la longitud, con un decimal, de la perpendicular desde el vértice opuesto al lado cuya longitud es 13 cm.

Pregunta 11. ABCD es un cuadrado, F es el punto medio de AB. BE es un tercio de BC. Si el área de ∆FBE = 108 cm 2 encuentra la longitud de AC.

Pregunta 12. En un triángulo isósceles ABC, si AB = AC = 13 cm y la altura de A en BC es de 5 cm, encuentra BC.

Pregunta 13. En un ∆ABC, AB = BC = CA = 2a y AD ⊥ BC. Pruebalo

Pregunta 14. Las longitudes de las diagonales de un rombo son 24 cm y 10 cm. Encuentra cada lado del rombo.

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Pregunta 11. ABCD es un cuadrado, F es el punto medio de AB. BE es un tercio de BC. Si el área de ∆FBE = 108 cm ² encuentra la longitud de AC.