Clase 10 Soluciones RD Sharma – Capítulo 5 Razones trigonométricas – Ejercicio 5.1 | conjunto 2

Posted on by Rudeus Greyrat

Pregunta 7. Si cotθ = 7/8, evalúa:

(i) \frac{(1+sinθ)(1-sinθ)}{(1+cosθ)(1-cosθ)}                              

(ii) cuna 2 θ 

Solución:

 cotθ = 7/8 = Base/Perpendicular

En ángulo recto ΔPQR,

∠Q = 90°, PQ = 8, RQ = 7

Usando el teorema de Pitágoras

PR 2 = PQ 2 + QR 2

RP 2 = 8 2 + 7 2 = 64 + 49

RP 2 = 113

RP = √113
Ahora

sinθ = Perpendicular/Hipotenusa = PQ/PR = 8/√113     

cosθ = Base/Hipotenusa = QR/PR = 7/√113            

(i) \frac{(1+sinθ)(1-sinθ)}{(1+cosθ)(1-cosθ)}

Poniendo los valores de senθ y cosθ en la ecuación

=\frac{(1+\frac{8}{\sqrt113})(1-\frac{8}{\sqrt113})}{(1+\frac{7}{\sqrt113} )(1-\frac{7}{\sqrt113} )}

=\frac{(1)^2-(\frac{8}{\sqrt113})^2}{(1)^2-(\frac{7}{\sqrt113})^2}

=\frac{1-\frac{64}{113}}{1-\frac{49}{113}}

=\frac{\frac{113-64}{113}}{\frac{113-49}{113}}

=\frac{\frac{49}{113}}{\frac{64}{113}}

= 49/64

(ii)  cuna 2 θ  

= (cosθ/senθ) 2 

Poniendo los valores de sinθ y cosθ en la siguiente ecuación

=[\frac{(\frac{7}{\sqrt113})}{(\frac{8}{\sqrt113})}]^2

=\frac{(\frac{49}{113})}{(\frac{64}{113})}

= 49/64

o

cuna 2 θ = (cotθ) 2 = (7/8) 2 = 49/64

Pregunta 8. Si 3 cot A = 4, marca si  \frac{1−tan^2A}{1+tan^2A} = cos^2 A - sin^2 A es o no.

Solución:

Dado, 3cot A = 4 o cot A = 4/3

Dibuja un △ ABC donde ∠B = 90°, AB = 4, BC = 3

Usando el teorema de Pitágoras

CA 2 = AB 2 + BC 2

CA 2 = 4 2 + 3 2 = 16 + 9

CA 2 = 25

CA = 5

Ahora, 

Tomando LHS

=\frac{1−tan^2A}{1+tan^2A}

=\frac{1−(\frac{3}{4})^2}{1+(\frac{3}{4})^2}

=\frac{1−(\frac{9}{16})}{1+(\frac{9}{16})}

=\frac{(\frac{16-9}{16})}{(\frac{16+9}{16})}  

= 7/25

Tomando RHS

= cos 2 A – sen 2 A

=(\frac{4}{5})^2-(\frac{3}{5})^2

=(\frac{16}{25})-(\frac{9}{25})

=(\frac{16-9}{25})

= 7/25

RHS = LHS (por lo tanto probado)

Pregunta 9. Si tanθ = a/b, encuentra el valor de \frac{(cosθ+sinθ)}{(cosθ-sinθ)}     

Solución: 

Dado, tanθ = a/b

Dibujar un △ABC donde ∠B = 90°, AB = b, BC = a

Usando el teorema de Pitágoras

AC 2 = BC 2 + AB 2

CA 2 = un 2 + segundo 2

CA 2 = \sqrt{(a^2+b^2)}

Ahora, 

\frac{(cosθ+sinθ)}{(cosθ-sinθ)}

=\frac{(\frac{b}{\sqrt(a^2+b^2)}+\frac{a}{\sqrt(a^2+b^2)})}{(\frac{b}{\sqrt(a^2+b^2)}-\frac{a}{\sqrt(a^2+b^2)})}

=\frac{\frac{b+a}{\sqrt(a^2+b^2)}}{\frac{b-a}{\sqrt(a^2+b^2)}}

= (b + a)/(b – a)

Pregunta 10. Si 3tanθ = 4, encuentra el valor de \frac{(4cosθ-sinθ)}{(2cosθ+sinθ)}

Solución:

Dado tanθ = 4/3 

Ahora, dividiendo el numerador y denominador por cosθ 

=\frac{(4-tanθ)}{(2+tanθ)}

Poniendo los valores de tanθ en la ecuación anterior

=\frac{(4-\frac{4}{3})}{(2+\frac{4}{3})}

=\frac{(\frac{16-3}{4})}{(\frac{8+3}{4})}

= 8/10

= 4/5

Pregunta 11. Si 3cotθ = 2, encuentra el valor de \frac{(4sinθ-3cosθ)}{(2sinθ+6cosθ)}

Solución:

Dado: 3cotθ = 2

  Usando el teorema de Pitágoras

AC 2 = BC 2 + AB 2

CA 2 = 3 2 + 4 2

CA 2 = 9 + 16 = 25

CA = 5

Ahora, 

=\frac{(4sinθ-3cosθ)}{(2sinθ+6cosθ)}  

=\frac{(4\frac{3}{\sqrt13}-3\frac{2}{\sqrt13})}{(2\frac{3}{\sqrt13}+6\frac{2}{\sqrt13})}

=\frac{(\frac{12}{\sqrt13}-\frac{6}{\sqrt13})}{(\frac{6}{\sqrt13}+\frac{12}{\sqrt13})} 

=\frac{\frac{12-6}{\sqrt13}}{\frac{6+12}{\sqrt13}} 

=\frac{\frac{6}{\sqrt13}}{\frac{18}{\sqrt13}}

= 6/18 = 1/3 

Pregunta 12. Si tanθ = a/b, demuestre que \frac{(asinθ-bcosθ)}{(asinθ+bcosθ)}=\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}

Solución:    

Dado, tanθ = a/b 

  

Usando el teorema de Pitágoras

AC 2 = BC 2 + AB 2

CA 2 = un 2 + segundo 2

CA 2 = \sqrt{(a^2+b^2)}

Ahora,   

=\frac{(asinθ-bcosθ)}{(asinθ+bcosθ)}

Poniendo los valores de sinθ y cosθ en la ecuación anterior

=\frac{(a\frac{a}{\sqrt(a^2+b^2)}-b\frac{b}{\sqrt(a^2+b^2)})}{(a\frac{a}{\sqrt(a^2+b^2)}+b\frac{b}{\sqrt(a^2+b^2)})}

=\frac{(\frac{a^2}{\sqrt(a^2+b^2)}-\frac{b^2}{\sqrt(a^2+b^2)})}{(\frac{a^2}{\sqrt(a^2+b^2)}+\frac{b^2}{\sqrt(a^2+b^2)})}

=\frac{(\frac{a^2-b^2}{\sqrt(a^2+b^2)})}{(\frac{a^2+b^2}{\sqrt(a^2+b^2)})}

=\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}

Por lo tanto probado

Pregunta 13. Si secθ = 13/5, prueba que  \frac{(2sinθ-3cosθ)}{(4sinθ-9cosθ)}=3

Solución:  

Dado, secθ = 13/5

Usando el teorema de Pitágoras

AC 2 = BC 2 + AB 2

13 2 = BC 2 + 5 2

2 aC = 169 – 25 = 144

BC = 12

Ahora,    

Tomando LHS 

=\frac{(2sinθ-3cosθ)}{(4sinθ-9cosθ)}

Poniendo los valores de sinθ y cosθ en la ecuación anterior

=\frac{(2\frac{12}{13}-3\frac{5}{13})}{(4\frac{12}{13}-9\frac{5}{13})}

=\frac{(\frac{24}{13}-\frac{15}{13})}{(\frac{48}{13}-\frac{45}{13})}

=\frac{(\frac{24-15}{13})}{(\frac{48-45}{13})}

=\frac{(\frac{9}{13})}{(\frac{3}{13})}  

= 3 = lado derecho

Por lo tanto probado

Pregunta 14. Si cosθ = 12/13, demuestre que senθ(1 – tanθ) = 35/156 

Solución:

Tenemos cosθ = 12/13

Usando el teorema de Pitágoras

AC 2 = BC 2 + AB 2

13 2 = BC 2 + 12 2

2 aC = 169 – 144 = 25

BC = 5

Ahora, 

Tomando LHS

= sinθ(1 – tanθ)

=\frac{5}{13}(1-\frac{5}{12})

=\frac{5}{13}.\frac{7}{12}

= 35/156

= lado derecho

Por lo tanto probado

Pregunta 15. Si cotθ = 1/√3, demuestre que\frac{1−cos^2θ}{ 2−sin^2θ}=\frac{3}{5}

Solución:

Dado, cotθ = 1/√3

tanθ = 1/cotθ =√3 

Del teorema de Pitágoras,

CA 2 = AB 2 + BC 2

CA 2 = 1 2 + (√3) 2

CA 2 = 3 + 1 = 4

CA = 2

Ahora, 

Tomando LHS

=\frac{1−cos^2θ}{ 2−sin^2θ}

=\frac{1-(\frac{1}{2})^2}{2-(\frac{\sqrt3}{2})^2}

=\frac{(4−1)}{(8−3)}

= 3/5         

Por lo tanto probado

Pregunta 16. Si tanθ = 1/√7, entonces \frac{(cosec^2θ-sec^2θ)}{(cosec^2θ+sec^2θ)}=\frac{3}{4}   

Solución:

Tenemos

tanθ = 1/√7

cotθ = √7

Sabemos sec 2 θ = (1 + tan 2 θ) = 1 + 1/7 = 8/7

y cosec 2 θ = (1 + cot 2 θ) = 1 + 7 = 8

Ahora, 

\frac{(cosec^2θ-sec^2θ)}{(cosec^2θ+sec^2θ)}

=\frac{(8-\frac{8}{7})}{(8+\frac{8}{7})}

= 48/64 = 3/4

Pregunta 17. Si secθ = 5/4, encuentra el valor de\frac{sinθ-2cosθ}{tanθ-cotθ}

Solución:

Dado:

secθ = 5/4

cosθ = 1/segθ = 4/5

Del teorema de Pitágoras,

AC 2 = BC 2 + AB 2

5 2 = BC 2 + 4 2

BC 2 = 25 − 16 = 9

BC = 3

Ahora,

=\frac{sinθ−2cosθ}{tanθ−cotθ}=\frac{\frac{3}{5}-2(\frac{4}{5})}{\frac{3}{4}-\frac{4}{3}}

=\frac{\frac{-5}{5}}{\frac{-7}{12}}

= 12/7   

Pregunta 18. Si tanθ = 12/13, encuentre el valor de \frac{2sinθcosθ}{cos^2θ−sin^2θ}

Solución:

Dado: tanθ = 12/13

Del teorema de Pitágoras,

AC 2 = BC 2 + AB 2

CA 2 = (13) 2 + (12) 2

CA 2 = 313

CA = √313

senθ = 12/√313

cosθ = 13/√313

Tenemos

\frac{2sinθcosθ}{cos^2θ−sin^2θ} = \frac{2\times\frac{12}{\sqrt{133}} \times \frac{13}{\sqrt{133}}}{(\frac{12}{\sqrt{133}})^2 - (\frac{13}{\sqrt{133}})^2 }

= \\frac{\frac{312}{313}}{\frac{169}{313}-\frac{144}{313}}

= \frac{\frac{312}{313}}{\frac{25}{313}}

= 312/25

Pregunta 19. Si cosθ = 3/5, entonces evalúa \frac{sinθ−\frac{1}{tanθ}}{2tanθ}

Solución:

Dado:

cosθ = 3/5

Del teorema de Pitágoras,

AC 2 = BC 2 + AB 2

5 2 = 3 2 + AB 2

AB 2 = 25 − 9 = 16

AB = 4

Ahora

\frac{sinθ−\frac{1}{tanθ}}{2tanθ}

=\frac{\frac{4}{5}-\frac{1}{\frac{4}{3}}}{2\frac{4}{3}}

=\frac{\frac{4}{5}-\frac{3}{4}}{\frac{8}{3}}

=\frac{\frac{16-15}{20}}{\frac{8}{3}}

= (1/20) × (3/8)

= 3/160

Pregunta 20 . Si senθ = 3/5, entonces evalúe \frac{cosθ−\frac{1}{tanθ}}{2cotθ}

Solución:

Dado,

senθ = 3/5

Ahora

\frac{sinθ−\frac{1}{tanθ}}{2cotθ}

= \frac{sinθ−{cotθ}}{2cotθ}

=\frac{cosθ−\frac{cosθ}{sinθ}}{2\frac{cosθ}{sinθ}}

=\frac{cosθ−\frac{cosθ}{sinθ}}{2\frac{cosθ}{sinθ}}

=\frac{cosθ}{cosθ}.\frac{1−\frac{1}{sinθ}}{\frac{2}{sinθ}}

=\frac{\frac{sinθ-1}{sinθ}}{\frac{2}{sinθ}}

= (senθ – 1)/(2)

Poniendo el valor de senθ, obtenemos

=\frac{\frac{3}{5}-1}{2}  

=\frac{3-5}{10}

= -1/5  

Pregunta 21. Si tanθ = 24/7, encuentra que senθ + cosθ.

Solución:

Dado:   

tanθ = 24/7 

Del teorema de Pitágoras,

AC 2 = BC 2 + AB 2

CA 2 = 24 2 + 7 2

CA 2 = 576 + 49 = 625

CA = 25

Ahora, 

= senθ + cosθ

= 24/25 + 7/25

= (24 + 7)/25

= 31/25

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por rahulsharma1771996 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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