Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas por factorización
Pregunta 1. (x – 4) (x + 2) = 0
Solución:
Tenemos ecuación,
(x – 4) (x + 2) = 0
Implica que x – 4 = 0 o x + 2 = 0
Por lo tanto, las raíces de la ecuación son 4 o -2.
Pregunta 2. (2x + 3) (3x – 7) = 0
Solución:
Tenemos ecuación,
(2x + 3) (3x – 7) = 0
Implica que 2x + 3 = 0 o 3x – 7 = 0
Por lo tanto, las raíces de la ecuación son -3/2 o 7/3.
Pregunta 3. 3x 2 – 14x – 5 = 0
Solución:
Tenemos ecuación,
3x 2 – 14x – 5 = 0
Podemos factorizar esta ecuación como
3x 2 – 15x + x – 5 = 0
3x (x – 5) -1 (x – 5) = 0
(3x – 1) (x – 5) = 0
Por lo tanto, las raíces de la ecuación son -1/3 o 5.
Pregunta 4. 9x 2 – 3x – 2 = 0
Solución:
Tenemos ecuación,
9x 2 – 3x – 2 = 0
Podemos factorizar esta ecuación como
9x 2 – 6x + 3x – 2 = 0
3x(3x – 2) + 1(3x – 2) = 0
(3x – 2) (3x + 1) = 0
Por lo tanto, las raíces de la ecuación son 2/3 o -1/3.
Pregunta 5. (1/(x – 1)) – (1/(x + 5)) = 6/7, x ≠ 1, -5.
Solución:
Tenemos ecuación,
(1/(x – 1)) – (1/(x + 5)) = 6/7
Podemos reescribir esta ecuación como
(x + 5 – x + 1)/((x – 1) (x + 5)) = 6 / 7
1/((x – 1) (x + 5)) = 1/7, o
(x – 1) (x + 5) = 7
x2 + 4x – 12 = 0
Podemos factorizar esta ecuación como
x2 + 6x – 2x – 12 = 0
x (x + 6) – 2 (x + 6) = 0
(x – 2) (x + 6) = 0
Por lo tanto, las raíces de la ecuación son 2 o -6.
Pregunta 6. 6x 2 + 11x + 3 = 0
Solución:
Tenemos ecuación,
6×2 + 11x + 3 = 0
Podemos factorizar esta ecuación como
6x 2 + 9x + 2x + 3 = 0
3x (2x + 3) +1 (2x + 3) = 0
(2x + 3) (3x + 1) = 0
Por lo tanto, las raíces de la ecuación son -3/2 o -1/3.
Pregunta 7. 5x 2 – 3x – 2 = 0
Solución:
Tenemos ecuación,
5x 2 – 3x – 2 = 0
Podemos factorizar esta ecuación como
5x 2 – 5x + 2x – 2 = 0
5x (x-1) + 2(x-1) = 0
(x – 1) (5x + 2) = 0
Por lo tanto, las raíces de la ecuación son -2/5 o -1.
Pregunta 8. 48x 2 – 13x – 1 = 0.
Solución:
Tenemos ecuación,
48x 2 – 13x – 1 = 0
Podemos factorizar esta ecuación como
48x 2 – 16x + 3x – 1 = 0
16x (3x – 1) + 1 (3x – 1) = 0
(3x – 1) (16x + 1) = 0
Por lo tanto, las raíces de la ecuación son -1/16 o 1/3.
Pregunta 9. 3x 2 = -11x – 10.
Solución:
Tenemos ecuación,
3×2 + 11x +10 = 0
Podemos factorizar esta ecuación como
3x 2 + 6x + 5x + 10 = 0
3x (x + 2) + 5 (x + 2) = 0
(3x + 5) (x + 2) = 0
Por lo tanto, las raíces de la ecuación son -2 o -5/3.
Pregunta 10. 25x (x + 1) = -4.
Solución:
Tenemos ecuación,
25x 2 + 25x + 4 = 0
Podemos factorizar esta ecuación como
25x 2 + 20x + 5x + 4 = 0
5x (5x + 4) + 1 (5x + 4) = 0
(5x + 4) (5x + 1) = 0
Por lo tanto, las raíces de la ecuación son -1/5 o -4/5.
Pregunta 11. 16x – (10/x) = 27
Solución:
Tenemos la ecuación16x 2 -27x -10 = 0
Podemos factorizar esta ecuación como:
16x 2 – 32x + 5x – 10 = 0
16x (x-2) + 5 (x-2) = 0
(16x + 5) (x – 2) = 0
Por lo tanto, las raíces de las ecuaciones son 2 o -5/16.
Pregunta 12. (1/x) – (1/(x – 2)) = 3, x ≠ 0, 2
Solución:
Tenemos la ecuación3x 2 – 6x + 2 = 0
Aquí, a = 3, b = -6 y c = 2
Ya que,
Discriminante (D) = b 2 – 4ac y x = (-b ± √D)/2a
Por lo tanto,
D = 36 – 24 = 12, y
x = (-(-6) ± √12)/6
x = (6 ± 2√3)/6
x = (3 ± √3)/3
Por lo tanto, las raíces de las ecuaciones son (3 + √3)/3 o (3 – √3)/3.
Pregunta 13. x – (1/x) = 3, x ≠ 0
Solución:
Tenemos la ecuaciónx 2 – 3x -1 = 0
Aquí, a = 1, b = -3 y c = -1
Ya que,
Discriminante (D) = b 2 – 4ac y x = (-b ± √D)/2a
Por lo tanto,
D = 9 + 4 = 13, y
x = (-(-3) ± √13)/2
x = (3 ± √13)/2
Por lo tanto, las raíces de las ecuaciones son (3 + √13)/2 o (3 – √13)/2.
Pregunta 14. (1/(x + 4)) – (1/(x – 7)) = 11 / 30, x ≠ 4, 7
Solución:
Tenemos ecuación,
(1/(x + 4)) – (1/(x – 7)) = 11/30
(x – 7 – x – 4)/((x + 4) (x – 7)) = 11/30
-11/((x – 4) (x – 7)) = 11/30
-1/((x – 4) (x – 7)) = 1/30
x 2 – 3x + 2 = 0
Podemos factorizar esta ecuación como:
x 2 – 2x – x + 2 = 0
x (x – 2) – 1 (x – 2) = 0
(x-1) (x-2) = 0
Por lo tanto, las raíces de las ecuaciones son 2 o 1.
Pregunta 15. (1/(x – 3)) + (2/(x – 2)) = 8/x, x ≠ 0, 2, 3
Solución:
Tenemos ecuación,
(1/(x – 3)) + (2/(x – 2)) = 8/x
(x – 2 + 2x – 6)/((x – 3) (x – 2)) = 8/x
(3x – 8)/((x – 3) (x – 2)) = 8/x
8 ((x – 3) (x – 2)) = x(3x – 8)
5x 2 – 32x + 48 = 0
Podemos factorizar esta ecuación como:
5x 2 – 20x -12x + 48 = 0
5x (x-4) -12(x-4) = 0
(5x – 12) (x – 4) = 0
Por lo tanto, las raíces de las ecuaciones son 12/5 o 4.
Pregunta 16. a 2 x 2 – 3abx + 2b 2 = 0
Solución:
Tenemos ecuación,
a 2 x 2 – 3abx + 2b 2 = 0
Podemos factorizar esta ecuación como:
a 2 x 2 – 2abx – abx + 2b 2 = 0
hacha (hacha – 2b) – b (hacha – 2b) = 0
(hacha – b) (hacha – 2b) = 0
Por lo tanto, las raíces de la ecuación son b/a o 2b/a.
Pregunta 17. 9x 2 – 6b 2 x – (a 4 – b 4 ) = 0
Solución:
Tenemos ecuación,
9x 2 – 6b 2 x – (a 4 – b 4 ) = 0
Podemos factorizar esta ecuación como:
(3x) 2 – 6b 2 x + (b 2 ) 2 – a 4 = 0
(3x – b 2 ) 2 – (a 2 ) 2 = 0
(3x – segundo 2 + un 2 ) (3x – segundo 2 – un 2 ) = 0
Por lo tanto, las raíces de la ecuación son (b 2 – a 2 )/3 o (b 2 + a 2 )/3.
Pregunta 18. 4x 2 + 4bx – (a 2 – b 2 ) = 0
Solución:
Tenemos ecuación,
4x 2 + 4bx – (a 2 – b 2 ) = 0
dividiendo por 4
x 2 + bx – ((a 2 – b 2 )/4) = 0
x 2 + bx – (((a – b)/2) ((a + b)/2)) = 0
Podemos escribir b como:
b = ((a + b)/2) – ((a – b)/2)
Por lo tanto,
x 2 + ((a + b)/2) – ((a – b)/2) x – (((a – b)/2) ((a + b)/2)) = 0
x (x + ((a + b)/2)) – ((a – b)/2) (x + (a + b)/2) = 0
(x + ((a + b)/2)) (x – ((a – b)/2)) = 0
Por lo tanto, las raíces de la ecuación son (a – b)/2 o (-a – b)/2.
Pregunta 19. ax 2 + (4a 2 – 3b) x – 12ab = 0.
Solución:
Tenemos ecuación,
hacha 2 + 4a 2 x – 3bx – 12ab = 0
hacha (x + 4a) – 3b (x – 4a) = 0
(hacha – 3b) (x + 4a) = 0
Por lo tanto, las raíces de la ecuación son 3b/a o -4a.
Pregunta 20. 2x 2 + ax – a 2 = 0.
Solución:
Tenemos ecuación,
2x 2 + hacha – a 2 = 0
2x 2 + 2ax – hacha – a 2 = 0
2x (x + a) – a (x + a) = 0
(2x – a) (x + a) = 0
Por lo tanto, las raíces de la ecuación son a/2 o -a.