Pregunta 11: La suma de un número y su cuadrado es 63/4, encuentra los números.
Solución:
Sea el número = x
entonces su cuadrado es = x 2
Ahora según la condición-
⇒(número)+(número) 2 =63/4
⇒x +x2 = 63/4
⇒x2 + x-63/4=0
Multiplicando por 4-
⇒ 4x 2 +4x-63=0
⇒ 4x 2 +(18-14)x – 63 =0 [porque 63*4=252
entonces 18*14=252 y 18-14=4]
⇒ 4x 2 +18x-14x-63=0
⇒2x(2x+9)-7(2x+9)=0
⇒(2x+9)(2x-7)=0
ya sea 2x+9=0 o 2x-7=0
x=-9/2 o x=7/2
Entonces el número es -9/2 o 7/2.
Pregunta 12: Hay tres enteros consecutivos tales que el cuadrado del primero aumentado por el producto de los otros dos da 154. ¿Cuáles son los enteros?
Solución:
Sea el primer número = x
entonces el segundo número es = x+1
y el tercer numero es = x+2
ahora de acuerdo con la condición dada-
⇒ (primer número) 2 + (segundo número)*(tercer número)=154
⇒x2 + (x + 1)(x+2)=154
⇒ x2 + x2 + 3x + 2 = 154
⇒ 2×2 + 3x-152=0
⇒ 2×2 + (19-16)x-152=0
⇒ 2×2 + 19x-16x-152=0
⇒x(2x+19)-8(2x+19)=0
⇒ (2x+19)(x-8)=0
2x+19=0 o x-8=0
x=-19/2 o x=8
pero en cuestión se dice que el número debe ser entero
así que descarta x=-19/2
cuando x=8
el primer numero es =8
el segundo numero es =9
Y el tercer número es = 10
Pregunta 13: El producto de dos enteros sucesivos múltiplos de 5 es 300. Determina los múltiplos.
Solución:
Sea el primer múltiplo integral de 5 =5x
Entonces el siguiente es = 5x+5
Ahora de acuerdo con la condición-
⇒ (primer múltiplo integral de 5)*(siguiente múltiplo integral de 5)=300
⇒ 5x(5x+5)=300
Dividiendo por 5-
⇒x(5x+5)=60
otra vez dividiendo por 5-
⇒x(x+1)=12
⇒ x2 + x -12=0
⇒x2 + (4-3)x-12=0
⇒x2 + 4x-3x-12=0
⇒x(x+4)-3(x+4)=0
⇒ (x+4)(x-3)=0
Ya sea x+4=0 o x-3=0
x=-4 o x=3
cuando x=-4
primer múltiplo integral de 5 es = 5*-4 = -20
y el siguiente múltiplo integral de 5 es = 5*-4+5= -15
cuando x=3
primer integral múltiplo de 5 es = 5*3 = 15
y el siguiente múltiplo integral de 5 es = 5*3+5 = 20
Pregunta 14: La suma de los cuadrados de dos números es 233 y uno de los números es 3 menos que el doble del otro número. Encuentra los números.
Solución:
Sea el primer número = x
Entonces segundo número = 2*(primer número)-3
= 2x-3
Ahora de acuerdo con la condición dada-
⇒(primer número) 2 +(segundo número) 2 = 233
⇒x2 + (2x-3) 2 =233
⇒x2 + 4×2 -2 * 2x *3+9=233
⇒5x 2 -12x+9-233=0
⇒5×2 -12x -224=0
⇒5x 2 -(40-28)x-224=0
⇒5×2 -40x + 28x-224=0
⇒5x(x-8)+28(x-8)=0
⇒(x-8)(5x+28)=0
Ya sea x-8=0 o 5x+28=0
x=8 o x=-28/5
pero cuando x=-28/3, no satisface la condición dada.
así tomando x=8
primer número es = x = 8
y el segundo numero es=2x-3=13
Pregunta 15: Encuentra dos enteros pares consecutivos cuyos cuadrados suman 340.
Solución:
Sea el primer entero par = 2x
entonces segundo entero par = 2x+2
Según la condición dada-
⇒(primer entero) 2 +(segundo entero) 2 =340
⇒(2x) 2 +(2x+2) 2 =340
⇒4×2 + 4×2 + 2 *2x* 2 +4=340
⇒8x 2 +8x-336=0
Dividiendo por 8-
⇒x2 + x-42=0
⇒x2 + (7-6)x-42=0
⇒x2 + 7x-6x-42=0
⇒x(x+7)-6(x+7)=0
⇒(x+7)(x-6)=0
Ya sea x+7=0 o x-6=0
x=-7 o x=6
Cuando x=-7
entonces primer entero=2*x= -14
y segundo entero=2x+2=-12
cuando x=6
entonces primer entero=2*x= 12
y segundo entero=2x+2=14
Pregunta 16: La diferencia de dos números es 4. Si la diferencia de sus recíprocos es 4/21, encuentra los números.
Solución:
Sea el primer número = x
Entonces el segundo número es = x-4
El recíproco del primer número es = 1/x
y el recíproco del segundo número es = 1/x-4
Según la condición dada-
⇒(recíproco del primer número)-(recíproco del segundo número)=4/21
⇒(1/(x-4))-(1/x)=4/21
al tomar LCM-
⇒(x-x+4)/(x(x-4))=4/21
⇒21(4)=4(x(x-4)
⇒21=(x 2 -4x)
⇒x2 -4x -21=0
⇒x2 -(7-3)-21= 0
⇒x2 -7x + 3x-21=0
⇒x(x-7)+3(x-7)=0
⇒(x-7)(x+3)=0
Ya sea x-7=0 o x+3=0
x=7 o x=-3
Cuando x=7
los números son = 3,7
y cuando x=-3
los numeros son=-7,-3
Pregunta 17: Encuentra dos números naturales que difieran en 3 y cuyo cuadrado sume 117.
Solución:
Sea el primer número = x
Entonces el segundo número es = x-3
Ahora de acuerdo con la condición dada-
⇒(primer número) 2 +(segundo número) 2 =117
⇒x2 + (x-3) 2 =117
⇒x2 +x2 -2 *x* 3 +9=117
⇒2x 2 -6x+9-117=0
⇒2×2 -6x -108=0
Dividiendo por 2-
⇒x2 -3x -54=0
⇒x 2 -(9-6)x-54=0
⇒x2-9x + 6x-54=0
⇒x(x-9)+6(x-9)=0
⇒(x-9)(x+6)=0
Ya sea x-9=0 o x+6=0
x=9 o x=-6
Pero x=-6 no es un número natural.
entonces cuando x = 9
⇒primer número es=9
⇒el segundo número es=9-3=6
Pregunta 18: La suma de los cuadrados de tres números naturales consecutivos es 149. Encuentra los números.
Solución:
Sea el primer número = x
entonces el segundo es = x + 1
y el tercero es=x+2
Ahora de acuerdo con la condición dada-
⇒(primer número) 2 +(segundo número) 2 +(tercer número) 2 =149
⇒x 2 +(x+1) 2 +(x+2) 2 =149
⇒x2 +x2 + 2 *x* 1 +1+x2 + 2 *x*2+4=149
⇒3×2 + 6x+5-149=0
⇒3×2 + 6x-144=0
Dividiendo por 3-
⇒x2 + 2x -48=0
⇒x2 + (8-6)x-48=0
⇒x2 + 8x-6x-48=0
⇒x(x+8)-6(x+8)=0
⇒(x+8)(x-6)=0
Ya sea x+8=0 o x-6=0
x=-8 o x=6
Pero x=-8 no es un número natural.
entonces cuando x=6
⇒primer número es=x=6
⇒el segundo número es=x+1=7
⇒el tercer número es=x+2=8
Pregunta 19: La suma de dos números es 16. La suma de sus recíprocos es 1/3. Encuentra los números.
Solución:
Sea el primer número = x
Entonces el segundo número es = 16-x
El recíproco del primer número es = 1/x
y el recíproco del segundo número es = 1/(16-x)
Ahora de acuerdo con la condición dada-
⇒(Recíproco del primer número)+(Recíproco del segundo número)=1/3
⇒(1/x)+(1/(16-x))=1/3
al tomar LCM-
⇒(16-x+x)/(x(16-x))=1/3
⇒16*3=x(16-x)
⇒48=16x-x 2
⇒x2 -16x + 48=0
⇒x2 -( 12 +4)x+48=0
⇒x2 -12x -4x+48=0
⇒x(x-12)-4(x-12)=0
⇒(x-12)(x-4)=0
Ya sea x-12=0 o x-4=0
x=12 o x=4
entonces cuando x=12
los números son = 12,4
cuando x=4
los numeros son=4,12
significa que los números requeridos son = 4,12
Pregunta 20: Determina dos múltiplos consecutivos de 3 cuyo producto sea 270.
Solución:
Sea el primer múltiplo de 3 = 3x
entonces el segundo es = 3x+3
Ahora de acuerdo con la condición dada-
⇒ (primer múltiplo de 3)*(segundo múltiplo de 3)=270
⇒3x(3x+3)=270
⇒9×2 + 9x=270
al dividir por 9-
⇒x2 + x=30
⇒x 2 +x-30=0
⇒x2 + (6-5)x-30=0
⇒x2 + 6x-5x-30=0
⇒x(x+6)-5(x+6)=0
⇒(x+6)(x-5)=0
Ya sea x+6=0 o x-5=0
x=-6 o x=5
cuando x=-6
primer múltiplo es = 3x = -18
el segundo múltiplo es=3x+3=-15
cuando x=5
primer múltiplo es = 3x = 15
segundo múltiplo es = 3x + 3 = 18
Pregunta 21. La suma de un número y su recíproco es 17/4. Encuentra el número.
Solución:
Sea el número x.
Entonces de la pregunta tenemos
x + 1/x = 17/4
(x 2 + 1)/x = 17/4
⇒ 4(x2 + 1 ) = 17x
⇒ 4x 2 + 4 – 17x = 0
⇒ 4x 2 + 4 – 16x – x = 0
⇒ 4x(x – 4) – 1(x – 4) = 0
⇒ (4x – 1)(x – 4) = 0
Ahora bien, x – 4 = 0 ⇒ x = 4
O, 4x – 1 = 0 ⇒ x = 1/4
Por lo tanto, el valor de x es 4.