Clase 10 Soluciones RD Sharma – Capítulo 8 Ecuaciones cuadráticas – Ejercicio 8.7 | conjunto 2

Pregunta 11: La suma de un número y su cuadrado es 63/4, encuentra los números.

Solución:

Sea el número = x

entonces su cuadrado es = x 2

Ahora según la condición-

⇒(número)+(número) 2 =63/4

⇒x +x2 = 63/4

⇒x2 + x-63/4=0

Multiplicando por 4-

⇒ 4x 2 +4x-63=0

⇒ 4x 2 +(18-14)x – 63 =0 [porque 63*4=252

                                               entonces 18*14=252 y 18-14=4]

⇒ 4x 2 +18x-14x-63=0

⇒2x(2x+9)-7(2x+9)=0

⇒(2x+9)(2x-7)=0

ya sea 2x+9=0 o 2x-7=0

            x=-9/2 o x=7/2

Entonces el número es -9/2 o 7/2.  

Pregunta 12: Hay tres enteros consecutivos tales que el cuadrado del primero aumentado por el producto de los otros dos da 154. ¿Cuáles son los enteros?

Solución:

Sea el primer número = x

entonces el segundo número es = x+1

y el tercer numero es = x+2

ahora de acuerdo con la condición dada-

⇒ (primer número) 2 + (segundo número)*(tercer número)=154

⇒x2 + (x + 1)(x+2)=154

⇒ x2 + x2 + 3x + 2 = 154

⇒ 2×2 + 3x-152=0

⇒ 2×2 + (19-16)x-152=0

⇒ 2×2 + 19x-16x-152=0

⇒x(2x+19)-8(2x+19)=0

⇒ (2x+19)(x-8)=0

2x+19=0 o x-8=0

           x=-19/2 o x=8

pero en cuestión se dice que el número debe ser entero 

así que descarta x=-19/2

cuando x=8

el primer numero es =8

el segundo numero es =9

Y el tercer número es = 10

Pregunta 13: El producto de dos enteros sucesivos múltiplos de 5 es 300. Determina los múltiplos.

Solución:

Sea el primer múltiplo integral de 5 =5x

Entonces el siguiente es = 5x+5

Ahora de acuerdo con la condición-

 ⇒ (primer múltiplo integral de 5)*(siguiente múltiplo integral de 5)=300

⇒ 5x(5x+5)=300

Dividiendo por 5-

 ⇒x(5x+5)=60

otra vez dividiendo por 5-

⇒x(x+1)=12

⇒ x2 + x -12=0

⇒x2 + (4-3)x-12=0

⇒x2 + 4x-3x-12=0

⇒x(x+4)-3(x+4)=0

⇒ (x+4)(x-3)=0

Ya sea x+4=0 o x-3=0

              x=-4 o x=3

cuando x=-4

primer múltiplo integral de 5 es = 5*-4 = -20

y el siguiente múltiplo integral de 5 es = 5*-4+5= -15

cuando x=3

primer integral múltiplo de 5 es = 5*3 = 15

y el siguiente múltiplo integral de 5 es = 5*3+5 = 20

Pregunta 14: La suma de los cuadrados de dos números es 233 y uno de los números es 3 menos que el doble del otro número. Encuentra los números.

Solución:

Sea el primer número = x

Entonces segundo número = 2*(primer número)-3

                              = 2x-3

Ahora de acuerdo con la condición dada-

⇒(primer número) 2 +(segundo número) 2 = 233

⇒x2 + (2x-3) 2 =233

⇒x2 + 4×2 -2 * 2x *3+9=233

⇒5x 2 -12x+9-233=0

⇒5×2 -12x -224=0

⇒5x 2 -(40-28)x-224=0

⇒5×2 -40x + 28x-224=0

⇒5x(x-8)+28(x-8)=0

⇒(x-8)(5x+28)=0

Ya sea x-8=0 o 5x+28=0

               x=8 o x=-28/5

pero cuando x=-28/3, no satisface la condición dada.

así tomando x=8

primer número es = x = 8

y el segundo numero es=2x-3=13 

Pregunta 15: Encuentra dos enteros pares consecutivos cuyos cuadrados suman 340.

Solución:

Sea el primer entero par = 2x

entonces segundo entero par = 2x+2

Según la condición dada-

⇒(primer entero) 2 +(segundo entero) 2 =340

⇒(2x) 2 +(2x+2) 2 =340

⇒4×2 + 4×2 + 2 *2x* 2 +4=340

⇒8x 2 +8x-336=0

Dividiendo por 8-

⇒x2 + x-42=0

⇒x2 + (7-6)x-42=0

⇒x2 + 7x-6x-42=0

⇒x(x+7)-6(x+7)=0

⇒(x+7)(x-6)=0

Ya sea x+7=0 o x-6=0

                x=-7 o x=6

Cuando x=-7

entonces primer entero=2*x= -14

y segundo entero=2x+2=-12

cuando x=6

entonces primer entero=2*x= 12

y segundo entero=2x+2=14

Pregunta 16: La diferencia de dos números es 4. Si la diferencia de sus recíprocos es 4/21, encuentra los números. 

Solución:

Sea el primer número = x

Entonces el segundo número es = x-4

El recíproco del primer número es = 1/x

y el recíproco del segundo número es = 1/x-4

Según la condición dada-

⇒(recíproco del primer número)-(recíproco del segundo número)=4/21

⇒(1/(x-4))-(1/x)=4/21

al tomar LCM-

⇒(x-x+4)/(x(x-4))=4/21

⇒21(4)=4(x(x-4)

⇒21=(x 2 -4x)

⇒x2 -4x -21=0

⇒x2 -(7-3)-21= 0

⇒x2 -7x + 3x-21=0

⇒x(x-7)+3(x-7)=0

⇒(x-7)(x+3)=0

Ya sea x-7=0 o x+3=0

             x=7 o x=-3

Cuando x=7

los números son = 3,7

y cuando x=-3

los numeros son=-7,-3

Pregunta 17: Encuentra dos números naturales que difieran en 3 y cuyo cuadrado sume 117.

Solución:

Sea el primer número = x

Entonces el segundo número es = x-3

Ahora de acuerdo con la condición dada-

⇒(primer número) 2 +(segundo número) 2 =117

⇒x2 + (x-3) 2 =117

⇒x2 +x2 -2 *x* 3 +9=117

⇒2x 2 -6x+9-117=0

⇒2×2 -6x -108=0

Dividiendo por 2-

⇒x2 -3x -54=0

⇒x 2 -(9-6)x-54=0

⇒x2-9x + 6x-54=0

⇒x(x-9)+6(x-9)=0

⇒(x-9)(x+6)=0

Ya sea x-9=0 o x+6=0

              x=9 o x=-6

Pero x=-6 no es un número natural.

entonces cuando x = 9

⇒primer número es=9

⇒el segundo número es=9-3=6

Pregunta 18: La suma de los cuadrados de tres números naturales consecutivos es 149. Encuentra los números.

Solución:

Sea el primer número = x

entonces el segundo es = x + 1

y el tercero es=x+2

Ahora de acuerdo con la condición dada-

⇒(primer número) 2 +(segundo número) 2 +(tercer número) 2 =149

⇒x 2 +(x+1) 2 +(x+2) 2 =149

⇒x2 +x2 + 2 *x* 1 +1+x2 + 2 *x*2+4=149

⇒3×2 + 6x+5-149=0

⇒3×2 + 6x-144=0

Dividiendo por 3-

⇒x2 + 2x -48=0

⇒x2 + (8-6)x-48=0

⇒x2 + 8x-6x-48=0

⇒x(x+8)-6(x+8)=0

⇒(x+8)(x-6)=0

Ya sea x+8=0 o x-6=0

                  x=-8 o x=6

Pero x=-8 no es un número natural.

entonces cuando x=6

⇒primer número es=x=6

⇒el segundo número es=x+1=7

⇒el tercer número es=x+2=8 

Pregunta 19: La suma de dos números es 16. La suma de sus recíprocos es 1/3. Encuentra los números.

Solución:

Sea el primer número = x

Entonces el segundo número es = 16-x

El recíproco del primer número es = 1/x

y el recíproco del segundo número es = 1/(16-x)

Ahora de acuerdo con la condición dada-

⇒(Recíproco del primer número)+(Recíproco del segundo número)=1/3

⇒(1/x)+(1/(16-x))=1/3

al tomar LCM-

⇒(16-x+x)/(x(16-x))=1/3

⇒16*3=x(16-x)

⇒48=16x-x 2

⇒x2 -16x + 48=0

⇒x2 -( 12 +4)x+48=0

⇒x2 -12x -4x+48=0

⇒x(x-12)-4(x-12)=0

⇒(x-12)(x-4)=0

Ya sea x-12=0 o x-4=0

                x=12 o x=4

entonces cuando x=12

los números son = 12,4

cuando x=4

            los numeros son=4,12

significa que los números requeridos son = 4,12

Pregunta 20: Determina dos múltiplos consecutivos de 3 cuyo producto sea 270.

Solución:

Sea el primer múltiplo de 3 = 3x

entonces el segundo es = 3x+3

Ahora de acuerdo con la condición dada-

⇒ (primer múltiplo de 3)*(segundo múltiplo de 3)=270

⇒3x(3x+3)=270

⇒9×2 + 9x=270

al dividir por 9-

⇒x2 + x=30

⇒x 2 +x-30=0

⇒x2 + (6-5)x-30=0

⇒x2 + 6x-5x-30=0

⇒x(x+6)-5(x+6)=0

⇒(x+6)(x-5)=0

Ya sea x+6=0 o x-5=0

               x=-6 o x=5

cuando x=-6

         primer múltiplo es = 3x = -18

         el segundo múltiplo es=3x+3=-15

cuando x=5

         primer múltiplo es = 3x = 15

         segundo múltiplo es = 3x + 3 = 18

Pregunta 21. La suma de un número y su recíproco es 17/4. Encuentra el número.

Solución:

Sea el número x.

Entonces de la pregunta tenemos

x + 1/x = 17/4

(x 2 + 1)/x = 17/4

⇒ 4(x2 + 1 ) = 17x

⇒ 4x + 4 – 17x = 0

⇒ 4x + 4 – 16x – x = 0

⇒ 4x(x – 4) – 1(x – 4) = 0

⇒ (4x – 1)(x – 4) = 0

Ahora bien, x – 4 = 0 ⇒ x = 4

O, 4x – 1 = 0 ⇒ x = 1/4

Por lo tanto, el valor de x es 4.

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por vgshivam1 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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