Clase 10 Soluciones RD Sharma – Capítulo 8 Ecuaciones cuadráticas – Ejercicio 8.7 | Serie 1

Pregunta 1: Encuentra dos números consecutivos cuyos cuadrados suman 85.

Solución:

Sea el primer número = x

⇒ Segundo número = (x+1)

Ahora, de acuerdo con la condición dada—

⇒ Suma de cuadrados de los números = 85

⇒x2 + ( x+1) 2 = 85

⇒ x 2 + x 2 + 2x + 1 = 85 [ porque (a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 ]

⇒ 2x 2 + 2x + 1 – 85 = 0        

⇒ 2x 2 + 2x – 84 = 0

⇒ x 2 + x – 42 = 0 [dividiendo por 2 ambos lados]

ahora para la factorización, convierta el coeficiente de x en forma de diferencia de dos números tal que el producto de esos números

ser 42-

x2 + (7-6)x – 42 = 0

x2 + 7x -6x -42 = 0

⇒ x(x+7) – 6(x+7) = 0

⇒ (x+7)(x-6) = 0

⇒ ya sea x+7 = 0 o x-6 = 0

                   x = -7 o x = 6

Ahora cuando x = -7

⇒ Primer número = x = -7 y Segundo número = x+1 = -7+1

                                                                                                      = -6

Entonces los números son -7, -6.

Ahora cuando x = 6

⇒ Primer número = x = 6 y segundo número = x+1 = 7

Así que los números son 6, 7.              

Pregunta 2: Divide 29 en dos partes para que la suma de los cuadrados de las partes sea 425.

Solución:

Sea la primera parte = x

por lo que la segunda parte será = (29 – x)

Ahora llegando a la condición-

⇒x2 + ( 29-x) 2 = 425

⇒ x 2 + 292 – 2*29*x + x 2 = 425 [porque (a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 ]

⇒ 2x 2 + 841 – 58x = 425 [porque 29 2 = 841]

⇒ 2x 2 -58x + 841-425 = 0

⇒ 2x 2 – 58x + 416 = 0

⇒ x2 29x + 208 = 0

por método de factorización—

⇒ x2 (16+13)x + 208 = 0

x2 -16x – 13x + 208 = 0

⇒ x(x-16) – 13(x-16) = 0

⇒ (x-16)(x-13) = 0

Ya sea x-16 = 0 o x-13 = 0

               x = 16 o x = 13

cuando la primera parte = 16 entonces la segunda parte = 29 – x

                                                             = 29-16

                                                             = 13

y cuando la primera parte = 13 entonces la segunda parte = 29-13

                                                                  = 16

Así que las partes serán 13, 16.

Pregunta 3: Dos cuadrados tienen lados x cm y (x + 4) cm. La suma de sus áreas es 656 cm 2 . Encuentra los lados de los cuadrados.

Solución:

Se da que-

el lado del primer cuadrado = x cm

y el de segundo es = (x+4) cm

Y sabemos que el área de un cuadrado = (lado) 2

por lo que el área del primer cuadrado = x 2

y área del segundo cuadrado = (x+4) 2

Ahora, de acuerdo con la condición dada—

⇒ (Área del primer cuadrado) + (Área del segundo cuadrado) = 656

⇒x2 + ( x+4) 2 = 656

⇒ x 2 + x 2 + 2*x*4 + 42 = 656 [porque (a+b) 2 = a 2 + 2*a*b + b 2 ]

⇒ 2x 2 + 8x + 16 – 656 = 0

⇒ 2x 2 + 8x – 640 = 0

⇒ x 2 + 4x – 320 = 0 [dividiendo por 2 ambos lados]

Por método de factorización—

⇒ x2 + (20-16)x – 320 = 0

x2 + 20x -16x – 320 = 0

⇒ x(x+20) – 16(x+20) = 0

⇒ (x+20)(x-16) = 0

Ya sea x+20=0 o x-16 = 0

              x = -20 o x=16

pero x = -20 no es válido porque la longitud nunca puede ser negativa,

Así que descartando x=-20 y tomando x=16 —

el lado del primer cuadrado es = x = 16 cm

y el lado del segundo cuadrado es = x+4

                                                   = 20cm

Pregunta 4: La suma de dos números es 48 y su producto es 432. Encuentra los números.

Solución:

Sea el primer número = x

Entonces segundo número = (48 – x) [porque la suma de los números es 48]

Ahora también se da-

El producto del número es = 432

⇒ x*(48-x) = 432

⇒ 48x -x 2 = 432

⇒ x2 48x + 432 = 0

Por método de factorización–

⇒ x2 (36+12)x + 432 = 0

⇒ x 2 – 36x – 12x + 432 = 0

⇒ x(x-36) – 12(x-36) = 0

⇒ (x-36)(x-12) = 0

Ya sea x-36 = 0 o x-12 = 0

                x = 36 o x = 12

Cuando x=36 entonces –

primer número = x = 36

y segundo número = 48-x = 12

Y cuando x=12 entonces –

primer número = x = 12

y segundo numero = 48-x = 36

⇒ Significa que un número es 12 y otro es 36.

Pregunta 5: Si se suma un número entero a su cuadrado, la suma es 90. Encuentra el número entero con la ayuda de una ecuación cuadrática.

Solución:

Sea el número = x

Entonces su cuadrado es = x 2

Ahora de acuerdo con la condición dada-

Número + Cuadrado del número = 90

⇒ x + x 2 = 90

x2 + x – 90 = 0

Por método de factorización-

⇒ x2 + (10-9)x – 90 = 0

x2 + 10x – 9x – 90 = 0

⇒ x(x+10) – 9(x+10) = 0

⇒ (x+10)(x-9) = 0

⇒ Ya sea x+10=0 o x-9 = 0

                         x = -10 o x = 9

Ahora, al tomar cualquier valor de x satisface la condición dada, entonces:

El entero requerido puede ser -10 o 9.

Pregunta 6: Encuentra el número entero que cuando se reduce en 20 es igual a 69 veces el recíproco del número.

Solución:

Sea el número entero =x

Entonces el recíproco del número es = 1/x

ahora según condición-

⇒ Número-20=69*(Recíproco del número)

⇒x-20=69*(1/x);

⇒ x-(69/x)-20=0

tomando LCM-

⇒ (x 2 -69-20x)/x = 0

pero el denominador no puede ser igual a 0 entonces-

⇒ (x2-20x 69)=0

⇒ x2 (23-3)x -69=0

⇒ x2 23x + 3x -69=0

⇒ x(x-23)+3(x-23)=0

⇒(x-23)(x+3)=0

Ya sea x+3=0 o x-23=0

            x=-3 o x=23

pero x=-3 no es un número entero

tomando x=23, es un numero entero

⇒ Entonces nuestra respuesta es x=23

Pregunta 7: Encuentra dos números naturales consecutivos cuyo producto sea 20.

Solución:

Sea el primer número = x

Entonces el siguiente número es = x+1

Ahora según la condición-

⇒(primer número)*(segundo número consecutivo) = 20

⇒x(x+1)=20

⇒ x2 + x = 20

x2 + x – 20=0

x2 +(5-4)x – 20=0

x2 + 5x – 4x – 20=0

⇒x(x+5)-4(x+5)=0

⇒(x+5)(x-4)=0

⇒ Ya sea x+5=0 o x-4=0

              x=-5 o x=4

Pero x=-5 no es un número natural,

Entonces tomando x=4,

primer numero=4

y Segundo numero=x+1

Segundo número = 5

Pregunta 8: La suma de los cuadrados de dos enteros positivos impares consecutivos es 394. Encuéntralos.

Solución:

Sea el primer número impar positivo = x

entonces el segundo número impar positivo es = x+2

Ahora de acuerdo con la condición-

 ⇒(Primer número) 2 +(Segundo número) 2 = 394

⇒x2 + ( x+2) 2 = 394

⇒ x 2 + x 2 + 2*x*2 + 4 = 394 [porque (a+b) 2 = a 2 + 2*a*b + b 2 ]

⇒ 2×2 + 4x + 4 = 394

⇒ 2x 2 + 4x – 390 = 0

Dividiendo por 2 –

x2 + 2x – 195 = 0

⇒ x2 + (15-13)x – 195 = 0

x2 + 15x – 13x -195 = 0

⇒ x(x+15) – 13(x+15) = 0

⇒ (x+15)(x-13) = 0

Ya sea x+15=0 o x-13=0

               x=-15 o x=13

pero x=-15 no es un número impar positivo

Entonces tomando x=13

Primer número impar positivo = 13

y Segundo número = x+2

Segundo número = 15

Pregunta 9: La suma de dos números es 8 y 15 veces la suma de sus recíprocos también es 8. Encuentra los números.

Solución:

Sea el primer número = x

y se da la suma de números que es = 8 

Entonces el segundo número es = (8-x)

Ahora,

El recíproco del primer número es = 1/x

Y el recíproco del segundo número es = 1/(8-x)

La condición dada es-

⇒15[(1/x)+(1/(8-x))]=8

⇒15[((8-x)+x)/(x(8-x))]=8 [tomando MCM]

⇒15*[8-x+x]=8[x(8-x)]

⇒15*8 = 8[8x-x 2 ]

Dividiendo por 8–

⇒ 15 = 8x-x 2

⇒x2 -8x +15=0

⇒x2 – ( 5+3)x+15=0

⇒x2 -5x -3x+15=0

⇒x(x-5)-3(x-5)=0

⇒(x-5)(x-3)=0

Ya sea x-5=0 o x-3=0

x=5 o x=3

Así que los números son 3,5.

Pregunta 10: La suma de un número y su raíz cuadrada positiva es 6/25. Encuentra el número.

Solución:    

Sea el número = x

Entonces su raíz cuadrada es = √x

Ahora según la condición-

⇒x+√x=6/25

⇒x-6/25=-√x

Ahora elevando al cuadrado ambos lados-

⇒(x-6/25) 2 =(-√x) 2

⇒x 2 – 2*x*(6/25) + (6/25) 2 = x [porque (a+b) 2 = a 2 + 2*a*b + b 2 ]

⇒x 2 -(12/25)x+(36/625) = x [porque (6/25) 2 =36/625]

⇒ x2 (12/25)x -x +(36/625) = 0

⇒x2 -[(12/25)+1]x + ( 36/625) = 0

⇒x2 -( 37/25 )x + (36/625) = 0

ahora para hacer factor-

⇒x2 -[(36/25)+(1/25 ) ]x + (36/625) = 0     

⇒x 2 – (36/25)x – (1/25)x + (36/625) = 0  

⇒x[x-(36/25)] – (1/25)[x-(36/25)]=0

⇒[x-(1/25)][x-(36/25)]=0

Ya sea x-(1/25) = 0 o x-(36/25)=0

                  x=(1/25) o x=(36/25)

pero cuando x=(36/25)

entonces (36/25)+√(36/25)=(36/25)+(6/5)

                                        = (36+30)/25

                                        = 66/25

Entonces, cuando x=36/25, no cumple la condición dada.

Así que el número requerido = 1/25. 

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por vgshivam1 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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