Pregunta 1: Encuentra dos números consecutivos cuyos cuadrados suman 85.
Solución:
Sea el primer número = x
⇒ Segundo número = (x+1)
Ahora, de acuerdo con la condición dada—
⇒ Suma de cuadrados de los números = 85
⇒x2 + ( x+1) 2 = 85
⇒ x 2 + x 2 + 2x + 1 = 85 [ porque (a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 ]
⇒ 2x 2 + 2x + 1 – 85 = 0
⇒ 2x 2 + 2x – 84 = 0
⇒ x 2 + x – 42 = 0 [dividiendo por 2 ambos lados]
ahora para la factorización, convierta el coeficiente de x en forma de diferencia de dos números tal que el producto de esos números
ser 42-
⇒ x2 + (7-6)x – 42 = 0
⇒ x2 + 7x -6x -42 = 0
⇒ x(x+7) – 6(x+7) = 0
⇒ (x+7)(x-6) = 0
⇒ ya sea x+7 = 0 o x-6 = 0
x = -7 o x = 6
Ahora cuando x = -7
⇒ Primer número = x = -7 y Segundo número = x+1 = -7+1
= -6
Entonces los números son -7, -6.
Ahora cuando x = 6
⇒ Primer número = x = 6 y segundo número = x+1 = 7
Así que los números son 6, 7.
Pregunta 2: Divide 29 en dos partes para que la suma de los cuadrados de las partes sea 425.
Solución:
Sea la primera parte = x
por lo que la segunda parte será = (29 – x)
Ahora llegando a la condición-
⇒x2 + ( 29-x) 2 = 425
⇒ x 2 + 292 – 2*29*x + x 2 = 425 [porque (a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 ]
⇒ 2x 2 + 841 – 58x = 425 [porque 29 2 = 841]
⇒ 2x 2 -58x + 841-425 = 0
⇒ 2x 2 – 58x + 416 = 0
⇒ x2 – 29x + 208 = 0
por método de factorización—
⇒ x2 – (16+13)x + 208 = 0
⇒ x2 -16x – 13x + 208 = 0
⇒ x(x-16) – 13(x-16) = 0
⇒ (x-16)(x-13) = 0
Ya sea x-16 = 0 o x-13 = 0
x = 16 o x = 13
cuando la primera parte = 16 entonces la segunda parte = 29 – x
= 29-16
= 13
y cuando la primera parte = 13 entonces la segunda parte = 29-13
= 16
Así que las partes serán 13, 16.
Pregunta 3: Dos cuadrados tienen lados x cm y (x + 4) cm. La suma de sus áreas es 656 cm 2 . Encuentra los lados de los cuadrados.
Solución:
Se da que-
el lado del primer cuadrado = x cm
y el de segundo es = (x+4) cm
Y sabemos que el área de un cuadrado = (lado) 2
por lo que el área del primer cuadrado = x 2
y área del segundo cuadrado = (x+4) 2
Ahora, de acuerdo con la condición dada—
⇒ (Área del primer cuadrado) + (Área del segundo cuadrado) = 656
⇒x2 + ( x+4) 2 = 656
⇒ x 2 + x 2 + 2*x*4 + 42 = 656 [porque (a+b) 2 = a 2 + 2*a*b + b 2 ]
⇒ 2x 2 + 8x + 16 – 656 = 0
⇒ 2x 2 + 8x – 640 = 0
⇒ x 2 + 4x – 320 = 0 [dividiendo por 2 ambos lados]
Por método de factorización—
⇒ x2 + (20-16)x – 320 = 0
⇒ x2 + 20x -16x – 320 = 0
⇒ x(x+20) – 16(x+20) = 0
⇒ (x+20)(x-16) = 0
Ya sea x+20=0 o x-16 = 0
x = -20 o x=16
pero x = -20 no es válido porque la longitud nunca puede ser negativa,
Así que descartando x=-20 y tomando x=16 —
el lado del primer cuadrado es = x = 16 cm
y el lado del segundo cuadrado es = x+4
= 20cm
Pregunta 4: La suma de dos números es 48 y su producto es 432. Encuentra los números.
Solución:
Sea el primer número = x
Entonces segundo número = (48 – x) [porque la suma de los números es 48]
Ahora también se da-
El producto del número es = 432
⇒ x*(48-x) = 432
⇒ 48x -x 2 = 432
⇒ x2 – 48x + 432 = 0
Por método de factorización–
⇒ x2 – (36+12)x + 432 = 0
⇒ x 2 – 36x – 12x + 432 = 0
⇒ x(x-36) – 12(x-36) = 0
⇒ (x-36)(x-12) = 0
Ya sea x-36 = 0 o x-12 = 0
x = 36 o x = 12
Cuando x=36 entonces –
primer número = x = 36
y segundo número = 48-x = 12
Y cuando x=12 entonces –
primer número = x = 12
y segundo numero = 48-x = 36
⇒ Significa que un número es 12 y otro es 36.
Pregunta 5: Si se suma un número entero a su cuadrado, la suma es 90. Encuentra el número entero con la ayuda de una ecuación cuadrática.
Solución:
Sea el número = x
Entonces su cuadrado es = x 2
Ahora de acuerdo con la condición dada-
Número + Cuadrado del número = 90
⇒ x + x 2 = 90
⇒ x2 + x – 90 = 0
Por método de factorización-
⇒ x2 + (10-9)x – 90 = 0
⇒ x2 + 10x – 9x – 90 = 0
⇒ x(x+10) – 9(x+10) = 0
⇒ (x+10)(x-9) = 0
⇒ Ya sea x+10=0 o x-9 = 0
x = -10 o x = 9
Ahora, al tomar cualquier valor de x satisface la condición dada, entonces:
El entero requerido puede ser -10 o 9.
Pregunta 6: Encuentra el número entero que cuando se reduce en 20 es igual a 69 veces el recíproco del número.
Solución:
Sea el número entero =x
Entonces el recíproco del número es = 1/x
ahora según condición-
⇒ Número-20=69*(Recíproco del número)
⇒x-20=69*(1/x);
⇒ x-(69/x)-20=0
tomando LCM-
⇒ (x 2 -69-20x)/x = 0
pero el denominador no puede ser igual a 0 entonces-
⇒ (x2-20x – 69)=0
⇒ x2 – (23-3)x -69=0
⇒ x2 – 23x + 3x -69=0
⇒ x(x-23)+3(x-23)=0
⇒(x-23)(x+3)=0
Ya sea x+3=0 o x-23=0
x=-3 o x=23
pero x=-3 no es un número entero
tomando x=23, es un numero entero
⇒ Entonces nuestra respuesta es x=23
Pregunta 7: Encuentra dos números naturales consecutivos cuyo producto sea 20.
Solución:
Sea el primer número = x
Entonces el siguiente número es = x+1
Ahora según la condición-
⇒(primer número)*(segundo número consecutivo) = 20
⇒x(x+1)=20
⇒ x2 + x = 20
⇒ x2 + x – 20=0
⇒ x2 +(5-4)x – 20=0
⇒ x2 + 5x – 4x – 20=0
⇒x(x+5)-4(x+5)=0
⇒(x+5)(x-4)=0
⇒ Ya sea x+5=0 o x-4=0
x=-5 o x=4
Pero x=-5 no es un número natural,
Entonces tomando x=4,
primer numero=4
y Segundo numero=x+1
Segundo número = 5
Pregunta 8: La suma de los cuadrados de dos enteros positivos impares consecutivos es 394. Encuéntralos.
Solución:
Sea el primer número impar positivo = x
entonces el segundo número impar positivo es = x+2
Ahora de acuerdo con la condición-
⇒(Primer número) 2 +(Segundo número) 2 = 394
⇒x2 + ( x+2) 2 = 394
⇒ x 2 + x 2 + 2*x*2 + 4 = 394 [porque (a+b) 2 = a 2 + 2*a*b + b 2 ]
⇒ 2×2 + 4x + 4 = 394
⇒ 2x 2 + 4x – 390 = 0
Dividiendo por 2 –
⇒ x2 + 2x – 195 = 0
⇒ x2 + (15-13)x – 195 = 0
⇒ x2 + 15x – 13x -195 = 0
⇒ x(x+15) – 13(x+15) = 0
⇒ (x+15)(x-13) = 0
Ya sea x+15=0 o x-13=0
x=-15 o x=13
pero x=-15 no es un número impar positivo
Entonces tomando x=13
Primer número impar positivo = 13
y Segundo número = x+2
Segundo número = 15
Pregunta 9: La suma de dos números es 8 y 15 veces la suma de sus recíprocos también es 8. Encuentra los números.
Solución:
Sea el primer número = x
y se da la suma de números que es = 8
Entonces el segundo número es = (8-x)
Ahora,
El recíproco del primer número es = 1/x
Y el recíproco del segundo número es = 1/(8-x)
La condición dada es-
⇒15[(1/x)+(1/(8-x))]=8
⇒15[((8-x)+x)/(x(8-x))]=8 [tomando MCM]
⇒15*[8-x+x]=8[x(8-x)]
⇒15*8 = 8[8x-x 2 ]
Dividiendo por 8–
⇒ 15 = 8x-x 2
⇒x2 -8x +15=0
⇒x2 – ( 5+3)x+15=0
⇒x2 -5x -3x+15=0
⇒x(x-5)-3(x-5)=0
⇒(x-5)(x-3)=0
Ya sea x-5=0 o x-3=0
x=5 o x=3
Así que los números son 3,5.
Pregunta 10: La suma de un número y su raíz cuadrada positiva es 6/25. Encuentra el número.
Solución:
Sea el número = x
Entonces su raíz cuadrada es = √x
Ahora según la condición-
⇒x+√x=6/25
⇒x-6/25=-√x
Ahora elevando al cuadrado ambos lados-
⇒(x-6/25) 2 =(-√x) 2
⇒x 2 – 2*x*(6/25) + (6/25) 2 = x [porque (a+b) 2 = a 2 + 2*a*b + b 2 ]
⇒x 2 -(12/25)x+(36/625) = x [porque (6/25) 2 =36/625]
⇒ x2 – (12/25)x -x +(36/625) = 0
⇒x2 -[(12/25)+1]x + ( 36/625) = 0
⇒x2 -( 37/25 )x + (36/625) = 0
ahora para hacer factor-
⇒x2 -[(36/25)+(1/25 ) ]x + (36/625) = 0
⇒x 2 – (36/25)x – (1/25)x + (36/625) = 0
⇒x[x-(36/25)] – (1/25)[x-(36/25)]=0
⇒[x-(1/25)][x-(36/25)]=0
Ya sea x-(1/25) = 0 o x-(36/25)=0
x=(1/25) o x=(36/25)
pero cuando x=(36/25)
entonces (36/25)+√(36/25)=(36/25)+(6/5)
= (36+30)/25
= 66/25
Entonces, cuando x=36/25, no cumple la condición dada.
Así que el número requerido = 1/25.