Problema 1: Demuestre que la sucesión definida por a n = 5n – 7 es un AP, encuentre su diferencia común.
Solución:
Dado:
un n = 5n – 7
Ahora poniendo n = 1, 2, 3, 4,5 obtenemos,
1 = 5,1 – 7 = 5 – 7 = -2
un 2 = 5.2 – 7 = 10 – 7 = 3
3 = 5,3 – 7 = 15 – 7 = 8
4 = 5,4 – 7 = 20 – 7 = 13
Podemos ver eso,
un 2 – un 1 = 3 – (-2) = 5
un 3 – un 2 = 8 – (3) = 5
un 4 – un 3 = 13 – (8) = 5
Dado que la diferencia sucesiva de la lista es la misma, es decir, 5
∴ La secuencia dada está en AP y tienen una diferencia común de 5
Problema 2: Demostrar que la sucesión definida por a n = 3n 2 – 5 no es un AP
Solución:
Dado:
un n = 3n 2 – 5
Ahora poniendo n = 1, 2, 3, 4 obtenemos,
a 1 = 3.1.1 – 5= 3 – 5 = -2
2 = 3.2.2 – 5 = 12 – 5 = 7
3 = 3.3.3 – 5 = 27 – 5 = 22
4 = 3.4.4 – 5 = 48 – 5 = 43
Podemos ver eso,
un 2 – un 1 = 7 – (-2) = 9
un 3 – un 2 = 22 – 7 = 15
un 4 – un 5 = 43 – 22 = 21
Ya que, la diferencia sucesiva de lista no es la misma
∴ La secuencia dada no está en AP
Problema 3: El término general de una sucesión viene dado por n = -4n + 15. ¿Es la sucesión un AP? Si es así, encuentra su término 15 y la diferencia común.
Solución:
Dado:
un n = -4n + 15
Ahora poniendo n = 1, 2, 3, 4 obtenemos,
a 1 = -4.(1) + 15 = -4 + 15 = 11
a 2 = -4.(2) + 15 = -8 + 15 = 7
a 3 = -4.(3) + 15 = -12 + 15 = 3
a 4 = -4.(4) + 15 = -16 + 15 = -1
Podemos ver eso,
un 2 – un 1 = 7 – (11) = -4
un 3 – un 2 = 3 – 7 = -4
un 4 – un 3 = -1 – 3 = -4
Dado que la diferencia sucesiva de la lista es la misma, es decir, -4
∴ La secuencia dada está en AP y tiene una diferencia común de -4
Por lo tanto, el término 15 será
15 = -4 ( 15) + 15 = -60 + 15 = -45
Y, un 15 = -45
Problema 4: Escribe la sucesión con término n-ésimo:
(i) un n = 3 + 4n
Solución:
Dado:
un n = 3 + 4n
Ahora poniendo n = 1, 2, 3, 4 obtenemos,
un 1 = 3 + 4.1 = 7
un 2 = 3 + 4.2 = 11
un 3 = 3 + 4.3 = 15
un 4 = 3 + 4.4 = 19
∴ La secuencia es 7, 11, 15, 19
Podemos ver eso,
un 2 – un 1 = 11 – (7) = 4
un 3 – un 2 = 15 – (11) = 4
un 4 – un 3 = 19 – (15) = 4
Dado que la diferencia sucesiva de la lista es la misma, es decir, 4
∴ La secuencia dada está en AP
(ii) un n = 5 + 2n
Solución:
Ahora poniendo n = 1, 2, 3, 4 obtenemos,
un 1 = 5 + 2.1 = 7
un 2 = 5 + 2.2 = 9
un 3 = 5 + 2.3 = 11
un 4 = 5 + 2.4 = 13
∴ La secuencia es 7, 9, 11, 13
Podemos ver eso,
un 2 – un 1 = 9 – (7) = 2
un 3 – un 2 = 11 – (9) = 2
un 4 – un 3 = 13 – (11) = 2
Dado que la diferencia sucesiva de la lista es la misma, es decir, 2
∴ La secuencia dada está en AP
(iii) un n = 6 – n
Solución:
Ahora poniendo n = 1, 2, 3, 4 obtenemos,
un 1 = 6 – 1 = 5
un 2 = 6 – 2 = 4
un 3 = 6 – 3 = 3
un 4 = 6 – 4 = 2
∴ La secuencia es 5, 4, 3, 2
Podemos ver eso,
un 2 – un 1 = 4 – (5) = -1
un 3 – un 2 = 3 – (4) = -1
un 4 – un 3 = 2 – (3) = -1
Dado que la diferencia sucesiva de la lista es la misma, es decir, -1
∴ La secuencia dada está en AP
(iv) un n = 9 – 5n
Solución:
Ahora poniendo n = 1, 2, 3, 4 obtenemos,
un 1 = 9 – 5.1 = 4
un 2 = 9 – 5,2 = -1
un 3 = 9 – 5,3 = -6
un 4 = 9 – 5,4 = -11
∴ La secuencia es 4, -1, -6, -11
Podemos ver eso,
un 2 – un 1 = -1 – (4) = -5
un 3 – un 2 = -6 – (-1) = -5
un 4 – un 3 = -11 – (-6) = -5
Dado que la diferencia sucesiva de la lista es la misma, es decir, -5
∴ La secuencia dada está en AP
Problema 5: El enésimo término de un AP es 6n + 2. Encuentra la diferencia común.
Solución:
Ahora poniendo n = 1, 2, 3, 4 obtenemos,
1 = 6,1 + 2 = 8
un 2 = 6.2 + 2 = 14
3 = 6,3 + 2 = 20
un 4 = 6,4 + 2 = 26
Podemos ver eso,
un 2 – un 1 = 14 – (8) = 6
un 3 – un 2 = 20 – (14) = 6
un 4 – un 3 = 26 – (20) = 6
Por lo tanto, la diferencia común es 6
Problema 6: Justifique si es cierto que la sucesión que tiene el siguiente término enésimo es un AP
(i) un n = 2n – 1
Solución:
Ahora poniendo n = 1, 2, 3, 4 obtenemos,
un 1 = 2.1 – 1 = 1
un 2 = 2.2 – 1 = 3
un 3 = 2.3 – 1 = 5
un 4 = 2.4 – 1 = 7
Podemos ver eso,
un 2 – un 1 = 3 – (1) = 2
un 3 – un 2 = 5 – (3) = 2
un 4 – un 3 = 7 – (5) = 2
Dado que la diferencia sucesiva de la lista es la misma, es decir, 2
Por lo tanto, la sucesión dada está en AP
(ii) un n = 3n² + 5
Solución:
Ahora poniendo n = 1, 2, 3, 4 obtenemos,
1 = 3.1.1 + 5 = 8
un 2 = 3.2.2 + 5 = 17
3 = 3.3.3 + 5 = 32
un 4 = 3.4.4 + 5 = 53
Podemos ver eso,
un 2 – un 1 = 17 – (8) = 9
un 3 – un 2 = 32 – (17) = 15
un 4 – un 3 = 53 – (32) = 21
Ya que, la diferencia sucesiva de lista no es la misma
Por lo tanto, la secuencia dada no está en AP
(iii) un n = 1 + n + n²
Solución:
Ahora poniendo n = 1, 2, 3 obtenemos,
un 1 = 1 + 1 + 1.1 = 3
un 2 = 1 + 2 + 2.2 = 7
un 3 = 1 + 3 + 3.3 = 13
Podemos ver eso,
un 2 – un 1 = 7 – (3) = 4
un 3 – un 2 = 13 – (7) = 6
Ya que, la diferencia sucesiva de lista no es la misma
Por lo tanto, la secuencia dada no está en AP
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Artículo escrito por vaibhavsingh19750nit y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA