Pregunta 1. Encuentra:
(i) Décima tienda del AP 1, 4, 7, 10….
(ii) 18vo término del AP √2, 3√2, 5√2, …….
(iii) Término enésimo de la AP 13, 8, 3, -2, ……….
(iv) Término 10 de la AP -40, -15, 10, 35, ………….
(v) Término 8 de la AP 11, 104, 91, 78, ……………
(vi) Tenor 11 del AP 10.0, 10.5, 11.0, 11.2, …………..
(vii) 9º término del AP 3/4, 5/4, 7/4 + 9/4, ………..
Solución:
(i) Dado que,
AP es 1, 4, 7, 10, ……….
Primer término(a) = 1
Diferencia común (d) = Segundo término – Primer término
= 4 – 1 = 3.
Como sabemos, para encontrar el término n en un AP = a + (n – 1)d
Por lo tanto, el décimo término en AP es 1 + (10 – 1)3
= 1 + 9×3 = 1 + 27 = 28
Por lo tanto, el décimo término de AP es 28
(ii) Dado que,
AP es √2, 3√2, 5√2, …….
Primer término (a) = √2,
Diferencia común = Segundo término – Primer término
d = 3√2 – √2 = 2√2
Como sabemos, para encontrar el término n en un AP = a + (n – 1)d
Por lo tanto, el término 18 de AP = √2 + (18 – 1)2√2
= √2 + 17.2√2 = √2 (1+34) = 35√2
Por lo tanto, el término 18 de AP es 35√2
(iii) Dado que,
AP es 13, 8, 3, – 2, …………
Primer término (a) = 13,
Diferencia común (d) = Segundo término primer término
d = 8 – 13 = – 5
Como sabemos, para encontrar el término n en un AP = a + (n – 1)d
= 13 + (n – 1) – 5 = 13 – 5n + 5
Por lo tanto, el término n del AP es an = 18 – 5n
(iv) Dado que,
AP es – 40, -15, 10, 35, ……….
Primer término (a) = -40,
Diferencia común (d) = Segundo término – término rápido
d = -15 – (- 40) = 40 – 15 = 25
Como sabemos, para encontrar el término n en un AP = a + (n – 1)d
Por lo tanto, décimo término de AP = -40 + (10 – 1)25
= – 40 + 9,25 = – 40 + 225 = 185
Por lo tanto, el décimo término del AP es 185
(v) Dado que,
La secuencia es 117, 104, 91, 78, ………….
Primer término (a) = 117,
Diferencia común (d) = Segundo término – primer término
d = 104 – 117 = –13
Como sabemos, para encontrar el término n en un AP = a + (n – 1)d
Por lo tanto, 8vo término = a + (8 – 1)d
= 117 + 7(-13) = 117 – 91 = 26
Por lo tanto, el octavo término del AP es 26
(vi) Dado que,
A. P es 10.0, 10.5, 11.0, 11.5,
Primer término(a) = 10.0,
Diferencia común (d) = Segundo término – primer término
d = 10,5 – 10,0 = 0,5
Como sabemos, para encontrar el término n en un AP = a + (n – 1)d
Por lo tanto, undécimo término a 11 = 10,0 + (11 – 1)0,5
= 10,0 + 10 x 0,5 = 10,0 + 5 = 15,0
Por lo tanto, el término 11 del AP es 15.0
(vii) Dado que,
A. P es 3/4, 5/4, 7/4, 9/4, …………
Primer término (a) = 3/4,
Diferencia común (d) = Segundo término – primer término
re = 5/4 – 3/4 = 2/4
Como sabemos, para encontrar el término n en un AP = a + (n – 1)d
Por lo tanto, noveno término a 9 = a + (9 – 1)d
= 3/4 + 16/4 = 19/4
Por lo tanto, el noveno término del AP es 19/4.
Pregunta 2. Encuentra:
(i) ¿Qué término del AP 3, 8, 13, …. es 248?
(ii) ¿Qué término del AP 84, 80, 76,… es 0?
(iii) ¿Qué término del AP 4. 9, 14, …. es 254?
(iv) ¿Qué término del AP 21. 42, 63, 84,… es 420?
(v) ¿Qué término del AP 121, 117, 113,… es su primer término negativo?
Solución:
(i) Dado que,
AP es 3, 8, 13, ………..
Primer término (a) = 3,
el término n es 248
Diferencia común (d) = Segundo término – primer término
re = 8 – 3 = 5
Como sabemos, para encontrar el término n en un AP = a + (n – 1)d
248 = 3+(n – 1)5
248 = -2 + 5n
5n = 250
n = 250/5 = 50
Por lo tanto, el término 50 en AP es 248.
(ii) Dado que,
AP es 84, 80, 76, …………
Primer término (a) = 84
el término n es 0
Diferencia común (d) = a2 – a
d = 80 – 84 = – 4
Como sabemos, para encontrar el término n en un AP = a + (n – 1)d
0 = 84 + (n – 1) – 4
84 = +4(n-1)
n-1 = 84/4 = 21
norte = 21 + 1 = 22
Por lo tanto, el término 22 en AP es 0.
(iii) Dado A. P 4, 9, 14, …………
Primer término (a) = 4,
el término n es 254
Diferencia común (d) = a2 – a1
re = 9 – 4 = 5
Como sabemos, para encontrar el término n en un AP = a + (n – 1)d
4 + (n – 1)5 = 254
(n – 1)∙5 = 250
n-1 = 250/5 = 50
norte = 51
Por lo tanto, el término 51 en AP es 254.
(iv) Dado que,
AP 21, 42, 63, 84, ………
un = 21,
n-ésimo término = 420,
d = un 2 – un 1
= 42 – 21 = 21
Como sabemos, para encontrar el término n en un AP = a + (n – 1)d
21 + (n – 1)21 = 420
(n-1)21 = 399
n-1 = 399/21 = 19
norte = 20
Por lo tanto, el vigésimo término es 420.
(v) Dado que,
AP es 121, 117, 113, ………..
Primer término (a) = 121,
el término n es negativo, es decir, an < 0,
Diferencia común (d) = 117 – 121 = – 4
Como sabemos, para encontrar el término n en un AP = a + (n – 1)d
121 + (n – 1) – 4 < 0
121 + 4 – 4n < 0
125 – 4n < 0
4n > 125
n > 125/4
n > 31,25
El entero que viene después de 31.25 es 32.
Por lo tanto, el término 32 en AP será el primer término negativo.
Pregunta 3.
(i) ¿Es 68 un término del AP 7, 10, 13,…?
(ii) ¿Es 302 un término del AP 3, 8, 13, …. ?
(iii) ¿Es -150 un término del AP 11, 8, 5, 2,…?
Soluciones:
(i) Dado que,
PA 7, 10, 13,…
de la serie dada,
a = 7 y d = a 2 – a 1 = 10 – 7 = 3
Como sabemos, para encontrar el término n en un AP = a + (n – 1)d
tenemos que encontrar en qué posición 68 está presente en la serie dada,
a + (n – 1)d = 68
7 + (n – 1)3 = 68
7 + 3n – 3 = 68
3n + 4 = 68
3n = 64
n = 64/3, que no es un número entero.
Por lo tanto, 68 no es un término en el AP
(ii) Dado, AP 3, 8, 13,…
de la serie dada, a = 3 y d = a 2 – a 1 = 8 – 3 = 5
Como sabemos, para encontrar el término n en un AP = a + (n – 1)d
tenemos que encontrar en qué posición 302 está presente en la serie dada,
a + (n – 1)d = 302
3 + (n – 1)5 = 302
3 + 5n – 5 = 302
5n – 2 = 302
5n = 304
n = 304/5, que no es un número entero.
Por lo tanto, 302 no es un término en AP
(iii) Dado, AP 11, 8, 5, 2, …
de la serie dada,
a = 11 y d = a 2 – a 1 = 8 – 11 = -3
Como sabemos, para encontrar el término n en un AP = a + (n – 1)d
tenemos que encontrar en qué posición -150 está presente en la serie dada,
a + (n – 1)d = -150
11 + (n – 1)(-3) = -150
11 – 3n + 3 = -150
3n = 150 + 14
3n = 164
n = 164/3, que no es un número entero.
Por lo tanto, -150 no es un término en el AP
Pregunta 4. ¿Cuántos términos hay en el AP?
(i) 7, 10, 13, ….., 43
(ii) -1, -5/6, -2/3, -1/2, … , 10/3
(iii) 7, 13, 19, …, 205
(iv) 18, 15½, 13, …., -47
Solución:
(i) Dado que,
AP 7, 10, 13, ….., 43
donde, a = 7 y d = a 2 – a 1 = 10 – 7 = 3
Como sabemos, para encontrar el término n en un AP = a + (n – 1)d
a + (n – 1)d = 43
7 + (n – 1)(3) = 43
7 + 3n – 3 = 43
3n = 43 – 4
3n = 39
norte = 13
Por lo tanto, hay 13 términos en el AP dado
(ii) Dado que,
PA -1, -5/6, -2/3, -1/2, … , 10/3
donde, a = -1 y d = a 2 – a 1 = -5/6 – (-1) = 1/6
Como sabemos, para encontrar el término n en un AP = a + (n – 1)d
a + (n – 1)d = 10/3
-1 + (n – 1)(1/6) = 10/3
-1 + n/6 – 1/6 = 10/3
n/6 = 10/3 + 1 + 1/6
n/6 = (20 + 6 + 1)/6
norte = (20 + 6 + 1)
norte = 27
Por lo tanto, hay 27 términos en el AP dado
(iii) Dado que,
PA 7, 13, 19, …, 205
donde, a = 7 y d = a 2 – a 1 = 13 – 7 = 6,
el término n es 205
Como sabemos, para encontrar el término n en un AP = a + (n – 1)d
a + (n – 1)d = 205
7 + (n – 1)(6) = 205
7 + 6n – 6 = 205
6n = 205 – 1
n = 204/6
n = 34
Por lo tanto, hay 34 términos en el AP dado
(iv) Dado que,
PA 18, 15½, 13, …., -47
donde, a = 7 y d = 15½ – 18 = 5/2,
Como sabemos, para encontrar el término n en un AP = a + (n – 1)d
a + (n – 1)d = 43
18 + (n – 1)(-5/2) = -47
18 – 5n/2 + 5/2 = -47
36 – 5n + 5 = -94
5n = 94 + 36 + 5
5n = 135
norte = 27
Por lo tanto, hay 27 términos en el AP dado
Pregunta 5. El primer término de un AP es 5, la diferencia común es 3 y el último término es 80; encontrar el número de términos.
Solución:
Dado que,
a = 5 y d = 3,
último término = 80
Como sabemos, para encontrar el término n en un AP = a + (n – 1)d
por lo tanto, para el AP dado an = 5 + (n – 1)3 = 3n + 2
=3n + 2 = 80
3n = 78
n = 78/3 = 26
Por lo tanto, hay 26 términos en el AP
Pregunta 6. Los términos 6 y 17 de un AP son 19 y 41 respectivamente, encuentre el término 40.
Solución:
Dado que,
un 6 = 19 y un 17 = 41
Como sabemos, para encontrar el término n en un AP = a + (n – 1)d
por lo tanto,
un 6 = un + (6-1)d
= a + 5d = 19 ——-(i)
Similarmente,
un 17 = un + (17 – 1)d
= a + 16d = 41 ———-(ii)
Resolviendo (i) y (ii),
(ii) – (yo)
a + 16d – (a + 5d) = 41 – 19
11d = 22
re = 2
Usando d en la ecuación (i), obtenemos
a + 5(2) = 19
a = 19 – 10 = 9
Ahora, el término 40 está dado por a40 = 9 + (40 – 1)2 = 9 + 78 = 87
Por lo tanto, el término 40 es 87.
Pregunta 7. Si el término 9 de un AP es cero, demuestre que su término 29 es el doble del término 19.
Solución:
Dado que,
un 9 = 0
Como sabemos, para encontrar el término n en un AP = a + (n – 1)d
por lo tanto, a + (9 – 1)d = 0 ⇒ a + 8d = 0 ———-(i)
Ahora,
El término 29 está dado por a 29 = a + (29 – 1)d
=a 29 = a + 28d
Y, a 29 = (a + 8d) + 20d (usando (i))
= a 29 = 20d ———-(ii)
De manera similar, el término 19 está dado por 19 = a + (19 – 1)d
=a 19 = a + 18d
Y, a 19 = (a + 8d) + 10d (usando (i))
=a 19 = 10d ———(iii)
Al comparar (ii) y (iii), observamos que
un 29 = 2(un 19 )
Por lo tanto, el término 29 es el doble del término 19.
Pregunta 8. Si 10 veces el término 10 de un AP es igual a 15 veces el término 15, demuestre que el término 25 del AP es cero.
Solución:
Dado que,
10 veces el término 10 de un AP es igual a 15 veces el término 15.
Como sabemos, para encontrar el término n en un AP = a + (n – 1)d
10(un 10 ) = 15(un 15 )
10(a + (10 – 1)d) = 15(a + (15 – 1)d)
10(a + 9d) = 15(a + 14d)
10a + 90d = 15a + 210d
5a + 120d = 0
5(a + 24d) = 0
a + 24d = 0
a + (25 – 1)d = 0
un 25 = 0
Por lo tanto, el término 25 del AP es cero.
Pregunta 9. Los términos 10 y 18 de un AP son 41 y 73 respectivamente. Encuentra el término 26.
Solución:
Dado que,
Un 10 = 41 y un 18 = 73
Como sabemos, para encontrar el término n en un AP = a + (n – 1)d
por lo tanto,
un 10 = un + (10 – 1)d
= a + 9d = 41 ———(yo)
Similarmente,
un 18 = un + (18 – 1)d
= a + 17d = 73 ——-(ii)
Resolviendo (i) y (ii),
(ii) – (yo)
a + 17d – (a + 9d) = 73 – 41
8d = 32
re = 4
Usando d en (i), obtenemos
a + 9(4) = 41
a = 41 – 36 = 5
Ahora, el término 26 está dado por a26 = 5 + (26 – 1)4 = 5 + 100 = 105
Por lo tanto, el término 26 es 105.
Pregunta 10. En cierto AP el término 24 es el doble del término 10. Demuestre que el término 72 es el doble del término 34.
Solución:
Dado que,
El término 24 es el doble del término 10.
Como sabemos, para encontrar el término n en un AP = a + (n – 1)d
24 = 2(a10 )
a + (24 – 1)d = 2(a + (10 – 1)d)
a + 23d = 2(a + 9d)
a + 23d = 2a + 18d
a = 5d…. (1)
Ahora, el término 72 se puede expresar como:
un 72 = un + (72 – 1)d
= a + 71d
= a + 5d + 66d
= a + a + 66d [usando (1)]
= 2(a + 33d)
= 2(a + (34 – 1)d)
= 2(a34)
⇒ un 72 = 2(un 34 )
Por lo tanto, el término 72 es el doble del término 34 del AP dado
Pregunta 11. Los términos 26, 11 y último de un AP son 0, 3 y -1/5, respectivamente. Encuentra la diferencia común y el número de términos.
Solución:
Dado que,
a 26 = 0, a11 = 3 y an (último término) = -1/5 de un AP
Como sabemos, para encontrar el término n en un AP = a + (n – 1)d
Por lo tanto,
un 26 = un + (26 – 1)d
a + 25d = 0 ——–(1)
a11 = a + (11 – 1)d
a + 10d = 3 ———(2)
Resolviendo (1) y (2),
(1) – (2)
a + 25d – (a + 10d) = 0 – 3
15d = -3
d = -1/5
Usando d en (1), obtenemos
a + 25(-1/5) = 0
un = 5
Ahora, dado que el último término es -1/5
5 + (n – 1)(-1/5) = -1/5
5 + -n/5 + 1/5 = -1/5
25 – n + 1 = -1
norte = 27
Por tanto, el AP tiene 27 términos y su diferencia común es -1/5.
Pregunta 12. Si el enésimo término del AP 9, 7, 5, …. es lo mismo que el n-ésimo término del AP 15, 12, 9, … hallar n.
Solución:
Dado que,
A.P1 = 9, 7, 5, …. y AP2 = 15, 12, 9, …
n-ésimo término del A.P1 = n-ésimo término del A.P2,
Como sabemos, para encontrar el término n en un AP = a + (n – 1)d
Para AP1,
a = 9, d = segundo término – primer término = 9 – 7 = -2
Y, su enésimo término an = 9 + (n – 1)(-2) = 9 – 2n + 2
an = 11 – 2n ———-(i)
Del mismo modo, para A.P2
a = 15, d = segundo término – primer término = 12 – 15 = -3
Y, su enésimo término an = 15 + (n – 1)(-3) = 15 – 3n + 3
an = 18 – 3n ——–(ii)
11 – 2n = 18 – 3n
n = 7
Por lo tanto, el séptimo término de ambos A.Ps es igual.
Pregunta 13. Encuentra el término 12 desde el final de las siguientes progresiones aritméticas:
(i) 3, 5, 7, 9, …. 201
(ii) 3,8,13, … ,253
(iii) 1, 4, 7, 10, … ,88
Solución:
Para encontrar el término 12 desde el final de un AP que tiene n términos, se hace simplemente encontrando el ((n -12) + 1)th del AP
Como sabemos, para encontrar el término n en un AP = a + (n – 1)d
(i) Dado que,
AP = 3, 5, 7, 9, …. 201
el último término es 201
donde, a = 3 y d = (5 – 3) = 2
an = 3 + (n – 1)2 = 201
3 + 2n – 2 = 201
2n = 200
n = 100
Por lo tanto, el AP tiene 100 términos.
por lo tanto, el término 12 desde el final es igual a (100 – 12 + 1) del AP, que es el término 89.
89 = 3 + (89 – 1) 2
= 3 + 88(2)
= 3 + 176 = 179
Por lo tanto, el término 12 desde el final del AP es 179.
(ii) Dado que,
PA = 3,8,13, … ,253
último término es 253
donde, a = 3 y d = (8 – 3) = 5
an = 3 + (n – 1)5 = 253
3 + 5n – 5 = 253
5n = 253 + 2 = 255
n = 255/5
norte = 51
Por lo tanto, el AP tiene 51 términos.
por lo tanto, el término 12 desde el final es igual a (51 – 12 + 1) del AP, que es el término 40.
40 = 3 + (40 – 1) 5
= 3 + 39(5)
= 3 + 195 = 198
Por lo tanto, el término 12 desde el final del AP es 198.
(iii) Dado que,
PA = 1, 4, 7, 10, … ,88
donde, a = 1 y d = (4 – 1) = 3
el último término es 88
an = 1 + (n – 1)3 = 88
1 + 3n – 3 = 8
3n = 90
norte = 30
Por lo tanto, el AP tiene 30 términos.
por lo tanto, el término 12 desde el final es igual a (30 – 12 + 1) del AP, que es el término 19.
= un 89 = 1 + (19 – 1)3
= 1 + 18(3) = 1 + 54 = 55
Por lo tanto, el término 12 desde el final del AP es 55.
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Artículo escrito por ronilpatil y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA