Pregunta 1: Encuentra el valor de x para el cual (8x + 4), (6x – 2) y (2x + 7) están en AP
Solución:
Como (8x + 4), (6x – 2) y (2x + 7) están en AP
Ahora sabemos que la condición para que tres números estén en AP-
⇒2*(Medio Término)=(Primer Término)+(Último Término)
⇒2(6x-2)=(8x+4)+(2x+7)
⇒12x-4=10x+11
⇒(12x-10x)=11+4
⇒2x=15
⇒x=15/2
Valor medio de x=15/2.
Pregunta 2: Si x + 1, 3x y 4x + 2 están en AP, encuentra el valor de x.
Solución:
Como x + 1, 3x y 4x + 2 están en AP
Ahora sabemos que la condición para que tres números estén en AP-
⇒2*(Medio Término)=(Primer Término)+(Último Término)
⇒2(3x)=(x+1)+(4x+2)
⇒6x=5x+3
⇒x=3
Valor medio de x=3.
Pregunta 3: Demuestra que (a – b)², (a² + b²) y (a + b)² están en AP
Solución:
Sabemos que la condición para que tres números estén en AP-
⇒2*(Término Medio)=(Primer Término)+(Último Término) ———-(1)
Primer término=(ab) 2
=a 2 -2ab+b 2
Término medio=a 2 +b 2
Último término=(a+b) 2
=a 2 +2ab+b 2
Ahora poniendo estos valores en la ecuación (1)-
⇒2(a 2 +b 2 )=(a 2 -2ab+b 2 )+(a 2 +2ab+b 2 )
⇒2(a 2 +b 2 )=2a 2 +2b 2
⇒2(a 2 +b 2 )=2(a 2 +b 2 )
Dado que LHS = RHS
Por lo tanto probado.
Pregunta 4: La suma de tres términos de un AP es 21 y el producto del primer y tercer término excede al segundo término por 6, encuentra tres términos.
Solución:
Sea el primer término del AP is=a
y la diferencia común es =d
Sean tres términos=(ad),a,(a+d)
Ahora de acuerdo con la primera condición-
⇒(anuncio)+a+(a+d)=21
⇒3a=21
⇒a=7
Ahora de acuerdo con la segunda condición-
⇒(anuncio)(a+d)=a+6
⇒a 2 -d 2 =a+6
Poniendo a=7-
⇒49-d 2 =7+6
⇒d 2 =49-13
⇒d 2 =36
⇒d=6 o d=-6
Cuando a=7 y d=6
Primer número=anuncio=1
Segundo numero=a=7
Tercer número=a+d=13
Cuando a=7 y d=-6
Primer número=anuncio=13
Segundo numero=a=7
Tercer número=a+d=1
Entonces los números requeridos son 1,7 y 13 o 13,7 y 1.
Pregunta 5: Tres números están en AP Si la suma de estos números es 27 y el producto 648, encuentre los números.
Solución:
Sea el primer término del AP is=a
y la diferencia común es =d
Sean tres términos=(ad),a,(a+d)
Ahora de acuerdo con la primera condición-
⇒(anuncio)+a+(a+d)=27
⇒3a=27
⇒a=9
Ahora de acuerdo con la segunda condición-
⇒(anuncio)*a*(a+d)=648
⇒(a 2 -d 2 )*a=648
poniendo a=9-
⇒(81-d 2 )*9=648
⇒81-d 2 =648/9
⇒81-d 2 =72
⇒d 2 =81-72
⇒d 2 =9
⇒d=-3 o d=3
Cuando a=9 y d=-3
Primer término=anuncio=12
Segundo término=a=9
Tercer término=a+d=6
Cuando a=9 y d=3
Primer término=anuncio=6
Segundo término=a=9
Tercer término=a+d=12
significa que los números requeridos son 6,9 y 12 o 12,9 y 6.
Pregunta 6: Encuentra los cuatro números en AP, cuya suma es 50 y en los que el número mayor es 4 veces el menor.
Solución:
Sea el primer término del AP is=a
y la diferencia común es =d
Sean tres términos=(a-3d), (ad), (a+d), (a+3d)
Ahora de acuerdo con la primera condición-
⇒(a-3d)+(anuncio)+(a+d)+(a+3d)=50
⇒4a=50
⇒a=50/4
⇒a=25/2
Ahora de acuerdo con la segunda condición-
⇒(número mayor)=4*(número menor)
⇒a+3d=4(a-3d)
⇒a+3d=4a-12d
⇒3d+12d=4a-a
⇒15d=3a
Dividiendo por 3-
⇒5d=a
⇒5d=25/2
⇒d=5/2
con la ayuda de a=25/2 y d=5/2-
⇒a-3d=(25/2)-(15/2)=10/2=5
⇒anuncio=(25/2)-(5/2)=20/2=10
⇒a+d=(25/2)+(5/2)=30/2=15
⇒a+3d=(25/2)+(15/2)=40/2=20
Entonces los números requeridos son 5,10,15 y 20.
Pregunta 7: La suma de tres números en AP es 12 y la suma de sus cubos es 288. Encuentra los números.
Solución:
Sea el primer término del AP is=a
y la diferencia común es =d
Sean tres términos=(ad),a,(a+d)
Ahora de acuerdo con la primera condición-
⇒(anuncio)+a+(a+d)=12
⇒3a=12
⇒a=4
Y según la segunda condición-
⇒(anuncio) 3 +a 3 +(a+d) 3 =288
usando (A+B) 3 =A 3 +3AB(A+B)+B 3
y (AB) 3 =A 3 -3AB(AB)-B 3
⇒{a 3 -3ad(ad)-d 3 }+a 3 +{a 3 +3ad(a+d)+d 3 }=288
⇒3a 3 -3a 2 d+3ad 2 +3a 2 d+3ad 2 =288
⇒3a 3 +6ad 2 =288
dividiendo por 3-
⇒a 3 +2ad 2 =96
poniendo a=4-
⇒64+8d 2 =96
dividiendo por 8-
⇒8+d2 = 12
⇒d 2 =4
⇒d=-2 o d=2
cuando a=4 y d=-2
anuncio=6
un=4
a+d=2
cuando a=4 y d=2
anuncio=2
un=4
a+d=6
entonces los números requeridos son 6,4 y 2 o 2,4 y 6.
Pregunta 8: Dividir 56 en cuatro partes en AP tal que la razón del producto de sus extremos al producto de sus medios sea 5 : 6.
Solución:
Sea el primer término del AP is=a
y la diferencia común es =d
Deje que las cuatro partes requeridas sean = (a-3d), (ad), (a + d), (a + 3d)
ahora que (a-3d), (ad), (a+d), (a+3d) son partes de 56.
asi que-
⇒(a-3d)+(anuncio)+(a+d)+(a+3d)=56
⇒4a=56
⇒a=14
Ahora las partes extremas son=(a-3d) y (a+3d)
y las partes medias son=(ad) y (a+d)
Según la condición dada-
⇒{(a-3d)(a+3d)}/{(anuncio)(a+d)}=5/6
⇒6{(a-3d)(a+3d)}=5{(anuncio)(a+d)}
usando (AB)(A+B)=A 2 -B 2 –
⇒6{a 2 -9d 2 }=5{a 2 -d 2 }
poniendo a=14
⇒6{196-9d 2 }=5{196-d 2 }
⇒6*196-54d 2 =5*196-5d 2
⇒6*196-5*196=54d 2 -5d 2
⇒196=49d 2
⇒d 2 =4
⇒d=2 o d=-2
Cuando a=14 y d=2 –
a-3d=8
anuncio=12
a+d=16
a+3d=20
Cuando a=14 y d=-2
a-3d=20
anuncio=16
a+d=12
a+3d=8
Entonces, las partes requeridas son 8,12,16 y 20 o 20,16,12 y 8.
Pregunta 9: Los ángulos de un cuadrilátero están en AP cuya diferencia común es 10°. Encuentra los ángulos.
Solución:
Sean los ángulos del cuadrilátero:
(a-3d), (anuncio), (a+d), (a+3d)
Ahora sabemos que la suma de los ángulos en un cuadrilátero es = 360°
⇒(a-3d)+(anuncio)+(a+d)+(a+3d)=360°
⇒4a=360°
⇒a=90°
Ahora diferencia común=10°
⇒(Segundo ángulo)-(Primer ángulo)=10°
⇒(ad)-(a-3d)=10°
⇒ad-a+3d=10°
⇒2d=10°
⇒d=5°
Entonces cuando a=90° y d=5° –
a-3d=75°
anuncio=85°
a+d=95°
a+3d=105°
Entonces, los ángulos requeridos son 75°, 85°, 95° y 105°.
Pregunta 10: Divida 207 en tres partes tales que estas estén en AP y el producto de las dos partes más pequeñas sea 4623.
Solución:
Sea el primer término del AP is=a
y la diferencia común es =d
Sean tres partes=(ad),a,(a+d)
Como (ad),a y (a+d) son partes de 207—
⇒(anuncio)+a+(a+d)=207
⇒3a=207
⇒a=69
Ahora de acuerdo con la condición dada-
⇒(anuncio)*a=4623
⇒(69-d)*69=4623
dividiendo por 69-
⇒69-d=67
⇒d=2
Así que cuando a=69 y d=2 –
anuncio=67
un=69
a+d=71
significa que las tres partes requeridas de 207 son 67,69 y 71.