Clase 11 Soluciones RD Sharma – Capítulo 1 Conjuntos – Ejercicio 1.4 | conjunto 2

Pregunta 9. Escriba todos los subconjuntos de los siguientes subconjuntos: 

(I a}

(ii) {0,1}

(iii){a,b,c}

(iv){1,{1}}

(v) {ϕ}

Solución:

Sabemos que si A es un conjunto y B es un subconjunto de A, entonces B es un subconjunto de A, entonces B se llama un subconjunto propio de A si B ⊆ A y B≠A, ϕ, ilustrado por B ⊆ A o B ⊂ A. 

Para cualquier conjunto S con n elementos, el conjunto potencia tiene 2 ⁿ elementos. 

(i) Como n=1, el conjunto potencia tiene 2 ¹ = 2 elementos. Los subconjuntos son {a} y ϕ, pero el conjunto no tiene subconjuntos propios. 

(ii) Como n=2, el conjunto potencia tiene 2 ² = 4 elementos. Los elementos del subconjunto de potencias son ϕ, {0}, {1}, {0,1}.

(iii)Como n=3, el conjunto potencia tiene 2 ³ = 8 elementos. Los elementos del subconjunto potencia son ϕ, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {b,c} , {a, c}, {a, b, c}.

(iv) Como n=2, el conjunto potencia tiene 2 ² = 4 elementos. Los elementos del subconjunto de potencias son ϕ, {1}, {{1}}, {1,{1}}.

(v)Como n=1, el conjunto potencia tiene 2 ¹ = 2 elementos, que son ϕ y {ϕ}.

Pregunta 10. Escribe todos los subconjuntos propios de los siguientes subconjuntos: 

(yo) {1,2}

(ii) {1,2,3}

(iii){1}

Solución: 

Sabemos que si A es un conjunto y B es un subconjunto de A, entonces B es un subconjunto de A, entonces B se llama un subconjunto propio de A si B ⊆ A y B≠A, ϕ, ilustrado por B ⊆ A o B ⊂ A.

(i) Los subconjuntos propios son {1}, {2}

(ii) Los subconjuntos propios son {1}, {2}, {3}, {1,3}, {2,3}, {1,2}

(iii) Los subconjuntos son {1} y ϕ, pero el conjunto no tiene subconjuntos propios. 

Pregunta 11. ¿Cuál es el número total de subconjuntos propios de un conjunto que consta de n elementos?

Solución

Sabemos que, para cualquier conjunto finito A, que tenga n elementos, el número total de subconjuntos de A tiene 2 ⁿ elementos. Sin embargo, el número de subconjuntos propios es 2 ⁿ – 1, donde A no está incluido. 

Pregunta 12. Si A es un conjunto cualquiera, probar que A ⊆ ∅ <=> A = ∅

Solución:

Para probar que dos conjuntos A y B son iguales, necesitamos demostrar lo siguiente:

A ⊆ B y B ⊆ A.

Como ∅ es un subconjunto de todo conjunto, entonces A ⊆ ∅.

Por lo tanto, ∅ ⊆ A.

Por lo tanto, A = ∅

Supongamos ahora que A =∅

Ahora bien, todo conjunto es un subconjunto de sí mismo, 

∅ = UN ⊆ ∅ 

Por lo tanto, probado.  

Pregunta 13. Demuestra que A ⊆ B, B ⊆ C y C ⊆ A => A = C

Solución:

Tenemos, A ⊆ B, B ⊆ C y C ⊆ A, por lo tanto, A ⊆ B ⊆ C ⊆ A. 

Ahora, A es un subconjunto de B y B es un subconjunto de C,

Entonces A es un subconjunto de C, es decir A ⊆ C.

Además, se da, C ⊆ A.

Sabemos, si A ⊆ C y C ⊆ A => A = C. 

Por lo tanto, probado. 

Pregunta 14. ¿Cuántos elementos tiene P(A)=?, si A = ∅.

Solución:

Un conjunto vacío tiene cero elementos. 

Por lo tanto, tamaño de A = n = 0. 

Conjunto potencia de AP(A) = 2 ⁿ = 2 ⁰ = 1 elemento. 

Pregunta 15. ¿Qué conjunto(s) universal(es) propondría para lo siguiente? 

(i) El conjunto de triángulos rectángulos.

(ii) El conjunto de triángulos isósceles. 

Solución:

(i) El triángulo rectángulo es un subconjunto de los triángulos. Por tanto, el conjunto de los triángulos rectángulos es un subconjunto del conjunto de los triángulos. 

=> Conjunto de triángulos rectángulos ⊆ Conjunto de triángulos, que en este caso se convierte en Conjunto universal (U). 

(ii) El triángulo isósceles es un caso especial de los triángulos donde dos lados son iguales. Por tanto, el conjunto de los triángulos isósceles es un subconjunto del conjunto de los triángulos.

=> Conjunto de triángulos isósceles ⊆ Conjunto de triángulos, que en este caso se convierte en Conjunto universal (U). 

Pregunta 16. Si X= {8 ⁿ – 7n -1 : n ∈ N} y Y = {49(n-1): n ∈ N}. Demuestre que X ⊆ Y.

Solución:

Para probar X ⊆ Y, necesitamos mostrar que cada elemento de X pertenece a Y. 

Tenemos, 

X= {8 norte – ⁷ⁿ -1 : norte ∈ norte} 

Y = {49(n-1): norte ∈ norte}

Entonces, sea x ∈ X => x = 8 ^m – 7m – 1 para algún m ∈ N

=> x = (1 + 7 ) ^metro – 7m – 1

= {n \elegir x}

= 

=({m \elegir 0}1^m + {m \elegir 1}1^{m-1} 7 +….+ {m \elegir m}7^{m}) – 7m -1 

=49({m \elegir 2}7^2 + {m \elegir 3}7^{3} +…+ {m \elegir m}7^{m-2}), m >=2 

= 49t _m , m >=2 donde t _m = {m \elegir 2}7^2 + {m \elegir 3}7^{3} +…+ {m \elegir m}7^{m-2}

Para m = 1, tenemos, 

X = 8 – 7 x 1 – 1

   = 0

Por lo tanto, X contiene todos los múltiplos enteros positivos de 49. 

Por lo tanto, Y contiene todos los múltiplos enteros positivos de 49 y 0, para n =1.

Por lo tanto, 

 X ⊆ Y.