Clase 11 Soluciones RD Sharma – Capítulo 1 Conjuntos – Ejercicio 1.8 | Serie 1

Pregunta 1. Si A y B son dos conjuntos tales que n (A ∪ B) = 50, n (A) = 28 y n (B) = 32, encuentra n (A ∩ B).

Solución:

n(A∪B) = 50
n(A) = 28
n(B) = 32
Conocemos la fórmula, n(A∪B) = n(A) + n(B) – n(A∩B)
Poniendo el valores que obtenemos
50 = 28 + 32 – n(A∩B)
50 = 60 – n(A∩B)
–10 = – n(A∩B)
n(A∩B) = 10

Pregunta 2. Si P y Q son dos conjuntos tales que P tiene 40 elementos, P ∪ Q tiene 60 elementos y P ∩ Q tiene 10 elementos, ¿cuántos elementos tiene Q?

Solución:

n(P) = 40
n(P ∪ Q)= 60
n(P ∩ Q) =10
Sabemos, n(P∪Q) = n(P) + n(Q) – n(P∩Q)
Poniendo el valores que obtenemos
60 = 40 + n(Q)–10
60 = 30 + n(Q)
N(Q) = 30
Q tiene 30 elementos.

Pregunta 3. En una escuela hay 20 profesores que enseñan matemáticas o física. De estos, 12 enseñan matemáticas y 4 enseñan física y matemáticas. ¿Cuántos enseñan física?

Solución:

Profesores que enseñan física o matemáticas = 20
Profesores que enseñan física y matemáticas = 4
Profesores que enseñan matemáticas = 12
Que los profesores que enseñan física sean ‘n(P)’ y para Matemáticas sean ‘n(M)’
20 profesores que enseñan física o matemáticas = n (P ∪ M) = 20
4 profesores que enseñan física y matemáticas = n (P ∩ M) = 4
12 profesores que enseñan matemáticas = n (M) = 12
Conocemos la fórmula
n (P ∪ M) = n (M) + n (P) – n (P ∩ M)
Poniendo los valores que obtenemos,
20 = 12 + n (P) – 4
20 = 8 + n (P)
n (P) =12
Hay 12 profesores de física.

Pregunta 4. En un grupo de 70 personas, a 37 les gusta el café, a 52 les gusta el té y a cada persona le gusta al menos una de las dos bebidas. ¿A cuántos les gusta tanto el café como el té?

Solución:

Número total de personas = 70
Número de personas a las que les gusta el café = n(C) = 37
Número de personas a las que les gusta el té = n(T) = 52
Número total = n(C∪T) = 70 La
persona a la que le gustan ambos sería n (C∩T)
Sabemos como fórmula
n(C∪T) = n(C) + n(T) – n(C ∩ T)
Poniendo los valores obtenemos
70 = 37 + 52 – n (C ∩ T)
70 = 89 – n (C∩T)
n(C∩T)=19

Pregunta 5. Sean A y B dos conjuntos tales que: n (A) = 20, n (A ∪ B) = 42 y n (A ∩ B) = 4. Halla

(yo) norte (B)

Solución:

n (A ∪ B) = n (A) + n (B) – n (A ∩ B)
(Como sabemos la fórmula)
Poniendo los valores obtenemos
42 = 20 + n (B) – 4
42 = 16 + n (B)
n (B) = 26
n (B) = 26

(ii) norte (A – B)

Solución:

Ya sabemos, la fórmula
n(A – B) = n (A ∪ B) – n (B)
Poniendo los valores obtenemos
n(A – B) = 42 – 26
= 16

(iii) norte (B – A)

n(B – A) = n(B) – n(A ∩ B)
Poniendo los valores obtenemos
n(B – A) = 26 – 4 = 22
n(B–A) = 22

Pregunta 6. Una encuesta muestra que al 76% de los indios les gustan las naranjas, mientras que al 62% les gustan los plátanos. ¿A qué porcentaje de indios les gustan tanto las naranjas como los plátanos?

Solución:

Según la pregunta
Personas a las que les gustan las naranjas = 76%
Personas a las que les gustan las bananas = 62%
Supongamos que las personas a las que les gustan las naranjas sean n(O)
Supongamos que las personas a las que les gustan las bananas sean n(B)
Número total de personas a las que les gustan las naranjas o las bananas = n (O ∪ B) = 100
Personas a las que les gustan tanto las naranjas como las bananas = n (O ∩ B)
Conocemos la fórmula
n(O∪B) = n(O) + n(B) – n(O ∩ B)
Sustituyendo los valores obtenemos
100 = 76 + 62 – n (O ∩ B)
100 = 138 – n (O ∩ B)
n(O∩B) = 38

Pregunta 7. En un grupo de 950 personas, 750 pueden hablar hindi y 460 pueden hablar inglés. Encontrar:

(i) ¿Cuántos pueden hablar hindi e inglés?

(ii) ¿Cuántos pueden hablar solo hindi?

(iii) cuántos solo pueden hablar inglés.

Solución:

Sea el número total de personas n (P) = 950
Personas que pueden hablar inglés n (E) = 460
Personas que pueden hablar hindi n (H) = 750
Dado en la pregunta:
(i) Personas que pueden hablar tanto hindi como Inglés = n (H ∩ E)
Conocemos la fórmula
n(P) = n(E) + n(H) – n(H ∩ E)
Poniendo los valores
950 = 460 + 750 – n (H ∩ E)
950 = 1210 – n(H∩E)
n(H ∩ E) = 260
El número de personas que pueden hablar inglés e hindi es 260.

(ii) H es la unión disjunta de n(H–E) y n(H ∩ E).
(Si A y B son disjuntos entonces n (A ∪ B) = n (A) + n (B))
H = n (H–E) ∪ n (H ∩ E)
n (H) = n (H–E ) + n (H ∩ E)
750 = n(H – E) + 260
n(H–E) = 490
490 personas solo pueden hablar hindi.

(iii) ¿Cuántos pueden hablar inglés solamente? (Según la pregunta)
E es la unión disjunta de n (E–H) y n (H ∩ E)
(Si A y B son disjuntos entonces n (A ∪ B) = n (A) + n (B))
E = n(E–H) ∪ n(H ∩ E).
n(E) = n(E–H) + n(H ∩ E).
460 = n(H – E) + 260
n H–E) = 460 – 260 = 200
200 personas solo pueden hablar inglés.

Pregunta 8. Una encuesta muestra que al 76% de los indios les gustan las naranjas, mientras que al 62% les gustan las bananas. ¿A qué porcentaje de indios les gustan tanto las naranjas como los plátanos?

Solución:

Supongamos que n(p) denota el porcentaje total de indios. 
n(o) denota el porcentaje de a quienes les gustan las naranjas. (let)
n(B) denota el porcentaje de a quienes les gusta el plátano. (sea)
n(p) = 100 n(O)=76 n(B)=62
Necesitamos encontrar n(O∩B)
n(p) = n(O)+n(B) – n(O∩ B)
100 = 76 + 62 – n(O∩B)
n(O∩B) = 138 – 100
= 38

Pregunta 9. En un grupo de 950 personas , 750 pueden hablar hindi y 460 pueden hablar inglés. Encontrar

(i) ¿Cuántos pueden hablar hindi e inglés?

(ii) ¿Cuántos pueden hablar solo hindi?

(iii) ¿Cuántos solo pueden hablar inglés?

Solución:

(i) Supongamos que n(P) denota ese número de personas.
n(H) asume esa cantidad de personas que hablan hindi.
n(E) suponer ese número de personas que hablan inglés.
n(p) = 950 , n(H) = 750 y n(E) = 460
necesitamos encontrar n(H∩E)
De acuerdo con la fórmula n(P) = n(H) + n(E) – n( H∩E)
950 = 750 + 460 – n(H∩E)
n(H∩E) = 260
(ii) Aquí podemos decir que H es una unión disjunta de HE y H∩E 
que implica que H = (H – E) ∪ (H ∩ E)
n(H) = n(H – E) + n(H∩E)
750 = n(H – E) – 260
n(H – E) = 490
(iii) E = (E – H) ∪ ( H ∩ E)
n(E) = n(EH) + n(H ∩ E)
n(EH) = 460 – 260
= 200

Pregunta 10. En un grupo de 50 personas, 14 beben té pero no café y 30 beben té. Encontrar:

(i) ¿Cuántos beben té y café?

(ii) ¿Cuántos beben café pero no té?

(i) Supongamos que, n(p) denota el número total de personas
n(T) denota el número de personas que beben té
n(C) denota el número de personas que beben café
Necesitamos encontrar n(T∩C )
T es claro;y unión disjunta de TC y T∩C
T = (T – C) ∪ (T ∩ C)
30 = 14 + n(T ∩ C)
n(T ∩ C) = 16
(ii) Aquí tenemos necesitamos encontrar CT
De acuerdo con la fórmula: n(P) = n(C) + n(T) – n(T ∩ C)
50 = n(C) + 14
n(C) = 36
Ahora, C es la disjunta unión de CT y (T ∩ C)
C = (CT) ∪ (T ∩ C)
n(C) = n(CT) + n(C ∩ T)
n(C- T) = 36 – 20
= 20