Pregunta 1: Si P (n) es el enunciado “n (n + 1) es par”, entonces ¿qué es P (3)?
Solución:
Dado: P (n) = n (n + 1) es par.
Sustituyendo n por 3 obtenemos,
PAG (3) = 3 (3 + 1)
P (3) = 3 (4)
P (3) = 12
Como P (3) = 12, y 12 es par
Por lo tanto, P (3) también es par.
Pregunta 2: Si P (n) es el enunciado “n 3 + n es divisible por 3”, demuestre que P (3) es verdadero pero P (4) no lo es.
Solución:
Dado: P (n) = n 3 + n es divisible por 3
En primer lugar, reemplazando n con 3 obtenemos,
PAG (3) = 3 3 + 3
P (3) = 27 + 3
P (3) = 30
Como P (3) = 30, y 30 es divisible por 3
Por lo tanto, P (3) es verdadera.
Ahora, reemplazando n con 4 obtenemos,
PAG (4) = 4 3 + 4
P (4) = 64 + 4
P (4) = 68
Como P(4) = 68, y 68 no es divisible por 3
Pregunta 3: Si P (n) es el enunciado “2 n ≥ 3n”, y si P (r) es verdadero, pruebe que P (r + 1) es verdadero.
Solución:
Dado: P (n) = 2 n ≥ 3n y p(r) es verdadero.
también dado que P (r) es verdadero
Cuando sustituimos n por r obtenemos
PAGS (r) = 2 r ≥ 3r
Ahora, multiplicando ambos lados por 2 obtenemos,
2 × 2 r ≥ 3r × 2
2 r + 1 ≥ 6r
Podemos escribir 6r como 3r + 3r
2 r + 1 ≥ 3r + 3r
Como 3 r ≥ 3, entonces 3r + 3r ≥ 3 + 3r
Sustituyendo 3r + 3r con 3 + 3r obtenemos,
2 r + 1 ≥ 3 + 3r
2 r + 1 ≥ 3(r + 1) [Tomando 3 como común]
Ya que, 2 r+1 ≥ 3(r + 1) es igual a P (r + 1)
Por lo tanto, P (r + 1) es verdadera.
Pregunta 4: Si P (n) es el enunciado “n 2 + n es par”, y si P (r) es verdadero, entonces P (r + 1) es verdadero
Solución:
Dado: P (n) = n 2 + n es par
También dado que P (r) es verdadero,
Por lo tanto, P (r) = r 2 + r es par
Consideremos r 2 + r = 2x … (i)
Sustituyendo r con r + 1
Ahora, (r + 1) 2 + (r + 1)
r 2 + 1 + 2r + r + 1 [ fórmula = (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 ]
(r 2 + r) + 2r + 2
2x + 2r + 2 [de la ecuación (i) obtenemos 2x = r 2 + r]
2(x + r + 1)
2μ
Ya que, (r + 1) 2 + (r + 1) es Par que es igual a P (r + 1).
Por lo tanto, P (r + 1) es verdadera.
Pregunta 5: Dado un ejemplo de una declaración P (n) tal que es verdadera para todo n ϵ N.
Solución:
Consideremos P(n) como
P(n) = 1 + 2 + 3 + – – – – – + n = n(n+1)/2
Dado que P (n) es cierto para todos los números naturales.
Por lo tanto, P(n) es cierto para todo n ∈ N.
Pregunta 6: Si P (n) es el enunciado “n 2 – n + 41 es primo”, demuestre que P (1), P (2) y P (3) son verdaderas. Demuestre también que P (41) no es verdadera.
Solución:
Dado: P(n) = n 2 – n + 41 es primo.
Sustituyendo n por 1, obtenemos
P (1) = 1 – 1 + 41
P (1) = 41
Dado que P (1) = 41, y 41 es primo.
Por lo tanto, P (1) es verdadero.
Ahora reemplazando n con 2, obtenemos
P(2) = 2 2 – 2 + 41
P(2) = 4 – 2 + 41
P(2) = 43
Dado que P (2) = 43, y 43 es primo.
Por lo tanto, P (2) es verdadera.
Ahora reemplazando n con 3, obtenemos
P(3) = 3 2 – 3 + 41
P(3) = 9 – 3 + 41
P (3) = 47
Dado que P (3) = 47, y 47 es primo.
Por lo tanto, P (3) es verdadera.
Ahora reemplazando n con 41, obtenemos
PAG (41) = (41) 2 – 41 + 41
P (41) = 1681
Dado que P (41) = 1681 y 1681 no es primo.
Por lo tanto, P (41) no es verdadera.
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por Mandeep_Sheoran y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA