Demostrar lo siguiente por el principio de inducción matemática:
Pregunta 17. a + ar + ar 2 + … + ar n-1 = a [(r n – 1)/(r – 1)], r ≠ 1
Solución:
Sea P (n) = a + ar + ar 2 + … + ar n-1 = a [(r n – 1)/(r – 1)]
Paso 1:
Ahora, comprobemos P(n) para n = 1.
P (1) = un = un (r 1 – 1)/(r – 1)
o, un = un
Entonces, P(1) es verdadero.
Paso 2:
Consideremos que P (n) es la verdadera para n = k,
P (k) = a + ar + ar2 + … + ar k-1 = a [(r k – 1)/(r – 1)] … (i)
Paso 3:
Ahora, tenemos que demostrar que P(k + 1) es cierto.
Entonces, a + ar + ar 2 + … + ar k-1 + ar k
Ahora, poniendo el valor (i), obtenemos,
= a [(r k – 1)/(r – 1)] + ar k (usando la ecuación (i))
= a[r k – 1 + r k (r – 1)] / (r – 1)
= a[r k – 1 + r k+1 – r -k ] / (r – 1)
= a[r k+1 – 1] / (r – 1)
Entonces, P (n) es cierto para n = k + 1
es decir, P (n) es cierto para todo n ∈ N
Por lo tanto, por el principio de Inducción Matemática (PMI), P (n) es cierto para todo n ∈ N.
Pregunta 18. a + (a + d) + (a + 2d) + … + (a + (n – 1)d) = n/2 [2a + (n – 1)d]
Solución:
Sea P (n) = a + (a + d) + (a + 2d) + … + (a + (n – 1)d) = n/2 [2a + (n – 1)d]
Paso 1:
Ahora, comprobemos P(n) para n = 1.
P (1) = a = 1/2[2a + (1 – 1)d]
o, un = un
Entonces, P(1) es verdadero.
Paso 2:
Consideremos que P (n) es la verdadera para n = k,
P (k) = a + (a + d) + (a + 2d) + … + (a + (k – 1)d) = k/2 [2a + (k – 1)d] … (i)
Paso 3:
Ahora, tenemos que demostrar que P(k+1) es cierto.
Entonces, a + (a + d) + (a + 2d) + … + (a + (k – 1)d) + (a + (k)d)
Ahora, poniendo el valor eq(i), obtenemos,
= k/2 [2a + (k – 1)d] + (a + kd) (Usando la ecuación (i))
= [2ka + k(k – 1)d + 2(a + kd)] / 2
= [2ka + k2d – kd + 2a + 2kd] / 2
= [2ka + 2a + k2d + kd] / 2
= [2a(k + 1) + d(k2 + k)] / 2
= (k + 1)/2 [2a + kd]
Entonces, P (n) es cierto para n = k + 1
es decir, P (n) es cierto para todo n ∈ N
Por lo tanto, por el principio de Inducción Matemática (PMI), P (n) es cierto para todo n ∈ N.
Pregunta 19. 5 2n – 1 es divisible por 24 para todo n ∈ N
Solución:
Sea P(n) = 5 2n – 1 es divisible por 24
Paso 1:
Ahora, comprobemos P(n) para n = 1.
P (1) = 5 2 – 1 = 25 – 1 = 24
Entonces, P(1) es cierto ya que P(n) es divisible por 24.
Paso 2:
Consideremos que P (n) es la verdadera para n = k,
P (k) = 5 2k – 1 es divisible por 24
o bien, 5 2k – 1 = 24λ … (i)
Paso 3:
Ahora, tenemos que demostrar que P(k + 1) es cierto.
es decir, 5 2(k+1) – 1 es divisible por 24
O, 5 2(k+1) – 1 = 24μ
Entonces, 5 2(k + 1) – 1
= 5 2k .5 2 – 1
= 25,5 2k – 1
Ahora, poniendo el valor eq(i), obtenemos,
= 25.(24λ + 1) – 1 (Usando la ecuación (i))
= 25.24λ + 24
= 24λ
Entonces, P (n) es cierto para n = k + 1
es decir, P (n) es cierto para todo n ∈ N
Por lo tanto, por el principio de Inducción Matemática (PMI), P (n) es cierto para todo n ∈ N.
Pregunta 20. 3 2n + 7 es divisible por 8 para todo n ∈ N
Solución:
Sea P (n) = 3 2n + 7 es divisible por 8
Paso 1:
Ahora, comprobemos P(n) para n = 1.
PAG (1) = 32 + 7 = 9 + 7 = 16
Entonces, P(1) es cierto ya que P(n) es divisible por 8.
Paso 2:
Consideremos que P (n) es la verdadera para n = k,
P (k) = 3 2k + 7 es divisible por 8
o, 3 2k + 7 = 8λ
o, 3 2k = 8λ – 7 … (i)
Paso 3:
Ahora, tenemos que demostrar que P(k+1) es cierto.
es decir, 3 2(k+1) + 7 es divisible por 8
o, 3 2k+2 + 7 = 8μ
Después,
= 3 2k+2 + 7
= 3 2k .3 2 + 7
= 9.3 2k + 7
Ahora, poniendo el valor eq(i), obtenemos,
= 9.(8λ – 7) + 7 (Usando la ecuación (i))
= 72λ – 63 + 7
= 72λ – 56
= 8(9λ – 7)
= 8μ
Entonces, P (n) es cierto para n = k + 1
es decir, P (n) es cierto para todo n ∈ N
Por lo tanto, por el principio de Inducción Matemática (PMI), P (n) es cierto para todo n ∈ N.
Pregunta 21. 5 2n+2 – 24n – 25 es divisible por 576 para todo n ∈ N
Solución:
Sea P (n) = 5 2n+2 – 24n – 25 es divisible por 576
Paso 1:
Ahora, comprobemos P(n) para n=1.
P (1) = 5 2,1 + 2 – 24,1 – 25 = 625 – 49 = 576
Entonces, P(1) es cierto ya que P(n) es divisible por 576.
Paso 2:
Consideremos que P (n) es la verdadera para n = k,
P (k) = 5 2k+2 – 24k – 25 es divisible por 576
o, 5 2k+2 – 24k – 25 = 576λ … (i)
Paso 3:
Ahora, tenemos que demostrar que P(k + 1) es cierto.
es decir, 5 2k + 4 – 24(k + 1) – 25 es divisible por 576
o, 5 2k + 2 – 24k – 25 = 576λ
Después,
= 5 (2k + 2) + 2 – 24(k + 1) – 25
= 5 2k+2 .5 2 – 24k – 24 – 25
Ahora, poniendo el valor eq(i), obtenemos,
= (576λ + 24k + 25)25 – 24k – 49 (usando la ecuación (i))
= 25. 576λ + 576k + 576
= 576(25λ + k + 1)
= 576 μ
Entonces, P (n) es cierto para n = k + 1
es decir, P (n) es cierto para todo n ∈ N
Por lo tanto, por el principio de Inducción Matemática (PMI), P (n) es cierto para todo n ∈ N.
Pregunta 22. 3 2n + 2 – 8n – 9 es divisible por 8 para todo n ∈ N
Solución:
Sea P (n) = 3 2n + 2 – 8n – 9 es divisible por 8
Paso 1:
Ahora, comprobemos P(n) para n = 1.
P (1) = 3 2.1 + 2 – 8.1 – 9 = 81 – 17 = 64
Entonces, P(1) es cierto ya que P(n) es divisible por 8.
Paso 2:
Consideremos que P (n) es la verdadera para n = k,
P (k) = 3 2k + 2 – 8k – 9 es divisible por 8
o, 3 2k + 2 – 8k – 9 = 8λ … (i)
Paso 3:
Ahora, tenemos que demostrar que P(k + 1) es cierto.
es decir, 3 2k + 4 – 8(k + 1) – 9 es divisible por 8
3 (2k + 2) + 2 – 8(k + 1) – 9 = 8μ
Después,
= 3 2(k+1) .3 2 – 8(k + 1) – 9
= (8λ + 8k + 9)9 – 8k – 8 – 9
Ahora, poniendo el valor (i), obtenemos,
= 72λ + 72k + 81 – 8k – 17 (usando la ecuación (i))
= 8(9λ + 8k + 8)
= 8μ
Entonces, P (n) es cierto para n = k + 1
es decir, P (n) es cierto para todo n ∈ N
Por lo tanto, por el principio de Inducción Matemática (PMI), P (n) es cierto para todo n ∈ N.
Pregunta 23. (ab) n = a n b n para todo n ∈ N
Solución:
Sea P (n) = (ab) n = a n b n
Paso 1:
Ahora, comprobemos P(n) para n = 1.
P (1) = ab = ab
Entonces, P(1) es verdadero.
Paso 2:
Consideremos que P (n) es la verdadera para n = k,
PAGS (k) = (ab) k = un k segundo k … (i)
Paso 3:
Ahora, tenemos que demostrar que P(k + 1) es cierto.
es decir, (ab) k+1 = a k+1 .b k+1
Después,
= (ab) k+1
= (ab) k .(ab)
Ahora, poniendo el valor eq(i), obtenemos,
= (a k b k ) (ab) (usando eq(i))
= (a k+1 ) (b k+1 )
Entonces, P (n) es cierto para n = k + 1
es decir, P (n) es cierto para todo n ∈ N
Por lo tanto, por el principio de Inducción Matemática (PMI), P (n) es cierto para todo n ∈ N.
Pregunta 24. n (n + 1) (n + 5) es múltiplo de 3 para todo n ∈ N.
Solución:-
Sea P (n) = n (n + 1) (n + 5) es un múltiplo de 3
Paso 1:
Ahora, comprobemos P(n) para n = 1.
PAG (1) = 1 (1 + 1) (1 + 5)
o, 2 × 6
o, 12
Entonces, P(1) es cierto ya que P(n) es múltiplo de 3.
Paso 2:
Consideremos que P (n) es la verdadera para n = k,
P (k) = k (k + 1) (k + 5) es múltiplo de 3
o bien, k(k + 1) (k + 5) = 3λ … (i)
Paso 3:
Ahora, tenemos que demostrar que P(k+1) es cierto.
es decir, (k + 1)[(k + 1) + 1][(k + 1) + 5] es un múltiplo de 3
o, (k + 1)[(k + 1) + 1][(k + 1) + 5] = 3μ
Después,
(k + 1) [(k + 1) + 1] [(k + 1) + 5]
= (k + 1) (k + 2) [(k + 1) + 5]
= [k (k + 1) + 2 (k + 1)] [(k + 5) + 1]
= k (k + 1) (k + 5) + k (k + 1) + 2 (k + 1) (k + 5) + 2 (k + 1)
= 3λ + k2 + k + 2(k2 + 6k + 5) + 2k + 2
= 3λ + k2 + k + 2k2 + 12k + 10 + 2k + 2
= 3λ + 3k2 + 15k + 12
= 3(λ + k2 + 5k + 4)
= 3μ
Entonces, P (n) es cierto para n = k + 1
es decir, P (n) es cierto para todo n ∈ N
Por lo tanto, por el principio de Inducción Matemática (PMI), P (n) es cierto para todo n ∈ N.
Pregunta 25. 7 2n + 2 3n-3 .3 n-1 es divisible por 25 para todo n ∈ N
Solución:
Sea P (n) = 7 2n + 2 3n-3 . 3 n-1 es divisible por 25
Paso 1:
Ahora, comprobemos P(n) para n = 1.
P (1) = 7 2 + 2 0 .3 0
o, 49 + 1 = 50
Entonces, P(1) es cierto ya que P(n) es divisible por 25.
Paso 2:
Consideremos que P (n) es la verdadera para n = k,
PAG (k) = 7 2k + 2 3k-3 . 3 k-1 es divisible por 25
o, 7 2k + 2 3k-3 . 3 k-1 = 25λ … (i)
Paso 3:
Ahora, tenemos que demostrar que P(k + 1) es cierto.
es decir, 7 2(k+1) + 2 3k . 3k es divisible por 25
o, 7 2k+2 + 2 3k . 3k = 25μ
Después,
7 2(k+1) + 2 3k . 3k _
= 7 2k .7 2 + 2 3k . 3k _
Ahora, poniendo el valor (i), obtenemos,
= (25λ – 2 3k-3 . 3 k-1 ) 49 + 2 3k . 3 k (usando la ecuación (i))
= 25λ. 49 – 2 3k /8. 3 k /3. 49 + 2 3k . 3k _
= 24×25×49λ – 2 3k . 3k _ _ 49 + 24 . 2 3k .3k _
= 24×25×49λ – 25 . 2 3k . 3k _
= 25(24 . 49λ – 2 3k . 3 k )
= 25μ
Entonces, P (n) es cierto para n = k + 1
es decir, P (n) es cierto para todo n ∈ N
Por lo tanto, por el principio de Inducción Matemática (PMI), P (n) es cierto para todo n ∈ N.
Pregunta 26. 2.7 n + 3.5 n – 5 es divisible por 24 para todo n ∈ N
Solución:-
Sea P (n) = 2.7 n + 3.5 n – 5 es divisible por 24
Paso 1:
Ahora, comprobemos P(n) para n=1.
PAG (1) = 14 + 15 – 5 = 24
Entonces, P(1) es cierto ya que P(n) es divisible por 24.
Paso 2:
Consideremos que P (n) es la verdadera para n = k,
P (k) = 2,7 k + 3,5 k – 5 es divisible por 24
o bien, 2,7 k + 3,5 k – 5 = 24q … (i)
Paso 3:
Ahora, tenemos que demostrar que P(k + 1) es cierto.
es decir, 2,7 k+1 + 3,5 k+1 – 5
⇒ 2.7.7k + 3.5.5k – 5
Ahora, sumaremos y restaremos por 3.7.5k- 7.5,
o, 2.7.7 k + 3.5.5 k – 5 + 3.7.5 k – 7.5 – (3.7.5 k – 7.5)
o, 7(2,7 k + 3,5 k – 5) + 3,5,5 k – 5 – (3,7,5 k – 7,5)
Ahora de la ecuación (1) tenemos
o, 7(24q) + 3.5.5k- 5 – 3.7.5k+ 7.5
o, 7(24q) – 2.3.5k- 5 + 35
o, 7(24q) – 2.3.5k+ 30
o, 7(24q) – 6(5k- 5)
Ahora sabemos que (5k – 5) es múltiplo de 4.
Entonces podemos escribir (4p) donde (p) es un número natural.
o, 7(24q) – 6(4p)
o, 24(7q – p)
Entonces, P (n) es cierto para n = k + 1
es decir, P (n) es cierto para todo n ∈ N
Por lo tanto, por el principio de Inducción Matemática (PMI), P (n) es cierto para todo n ∈ N.
Pregunta 27. 11 n+2 + 12 2n+1 es divisible por 133 para Todo N ∈ N.
Solución:
Sea P (n) = 11 n+2 + 12 2n+1 es Divisible por 133
Paso 1:
Ahora, comprobemos P(n) para n=1.
P(1) = 11 1+2 + 12 2+1 = 1331 + 1728 = 3059
Entonces, P(1) es cierto ya que P(n) es divisible por 133.
Paso 2:
Consideremos que P (n) es la verdadera para n = k,
P (k) = 11 k+2 + 12 2k+1 es Divisible por 133
o bien, 11 k+2 + 12 2k+1 = 133p… (i)
Paso 3:
Ahora, tenemos que demostrar que P(k+1) es cierto.
es decir, 11 k+3 + 12 2k+3
= 11k+2 . 11 + 12 2k+1 . 12 2 + 11. 12 2k+1 − 11. 12 2k+1
= 11 (11 k+2 + 12 2k+1 ) + 12 2k+1 (144 − 11)
Ahora de la ecuación (i) tenemos
= 11. 133p + 12 2k+1 . 133 [De la ecuación (i)]
= 133 (11p + 12 2k+1 )
Entonces, P (n) es cierto para n = k + 1
es decir, P (n) es cierto para todo n ∈ N
Por lo tanto, por el principio de Inducción Matemática (PMI), P (n) es cierto para todo n ∈ N.
Pregunta 28. 1×1! + 2×2! +3×3! +…+ n×n! = (n + 1)! – 1 para todo n ∈ N
Solución:
Sea P(n) = 1×1! + 2×2! +3×3! +…+ n×n
Paso 1:
Ahora, comprobemos P(n) para n=1.
PAG (1) = 1 × 1! = (2)! – 1 = 1
Entonces, P(1) es verdadero.
Paso 2:
Consideremos que P (n) es la verdadera para n = m,
P(k) = 1×1! + 2×2! +3×3! +…+ m×m! = (m + 1)! – 1… (yo)
Paso 3:
Ahora, tenemos que demostrar que P(m + 1) es cierto.
es decir, 1×1! + 2×2! +3×3! +…+ m×m! + (metro + 1)×(metro + 1)!
Entonces, = (m + 1)! – 1 + (m + 1) × (m + 1)!
= (m + 1)!(m + 1 + 1) – 1
= (m + 1)!(m + 2) – 1
= (m + 2)! – 1
Entonces, P (n) es cierto para n = m + 1
es decir, P (n) es cierto para todo n ∈ N
Por lo tanto, por el principio de Inducción Matemática (PMI), P (n) es cierto para todo n ∈ N.
Pregunta 29. Demuestra que n 3 – 7n + 3 es divisible por 3 para todo n ∈ N.
Solución:
Sea P(n) = n 3 – 7n + 3 es divisible por 3
Paso 1:
Ahora, comprobemos P(n) para n=1.
P(1) = 1 3 − (7 × 1) + 3 = 1 − 7 + 3 = −3
Entonces, P(1) es cierto ya que P(n) es divisible por 3.
Paso 2:
Consideremos que P (n) es la verdadera para n = k,
P (k) = k 3 – 7k + 3 es divisible por 3
o, k 3 – 7k + 3 = 3m … (i)
Paso 3:
Ahora, tenemos que demostrar que P(k + 1) es cierto.
es decir, = (k + 1) 3 − 7 (k + 1) + 3
= k 3 + 3k 2 + 3k + 1 − 7k − 7 + 3
= k 3 + 3k 2 − 4k − 3
= k 3 − 7k + 3 + 3k 2 + 3k − 6
Ahora de la ecuación (i), tenemos
= 3m + 3 (k 2 + k + 2)
= 3 (m + k 2 + k + 2)
= 3t (Aquí, t es cualquier número entero)
Entonces, P (n) es cierto para n = k + 1
es decir, P (n) es cierto para todo n ∈ N
Por lo tanto, por el principio de Inducción Matemática (PMI), P (n) es cierto para todo n ∈ N.
Pregunta 30. Demuestra que 1 + 2 + 2 2 + … + 2 n = 2 n+1 – 1 para todo n ∈ N
Solución:
Sea P (n) = 1 + 2 + 2 2 + … + 2 n = 2 n+1 – 1
Paso 1:
Ahora, comprobemos P(n) para n = 1.
PAG (1) = 1 + 2 = 2 1+1 – 1
o, 3 = 3
Entonces, P(1) es verdadero.
Paso 2:
Consideremos que P (n) es la verdadera para n = k,
PAG (k) = 1 + 2 + 2 2 + … + 2 k = 2 k+1 – 1 … (i)
Paso 3:
Ahora, tenemos que demostrar que P(k+1) es cierto.
es decir, 1 + 2 + 2 2 + … + 2 k+1 = 2 k+2 – 1
Entonces, 1 + 2 + 2 2 + … + 2k + 2k+1
Ahora de la ecuación (i), tenemos
o, 2k+1 – 1 + 2k+1
o, 2,2 k+1 – 1
o, 2 k+2 – 1
Entonces, P (n) es cierto para n = k + 1
es decir, P (n) es cierto para todo n ∈ N
Por lo tanto, por el principio de Inducción Matemática (PMI), P (n) es cierto para todo n ∈ N.
Pregunta 31. 7 + 77 + 777 + … + 777 . . . . . . . . . . . n − Dígitos 7 = 7/81 (10 n+1 − 9n − 10)
Solución:
Sea P(n) = 7 + 77 + 777 + … + 777 . . . . . . . . . . . n − Dígitos 7 = 7/81 (10 n+1 − 9n − 10)
Paso 1:
Ahora, comprobemos P(n) para n = 1.
P (1) = 7 = 7/81 (10 2 – 9 – 10)
o, 7 = 7/81 (100 – 19)
o, 7 = 7/81 (81)
o, 7 = 7
Entonces, P(1) es verdadero.
Paso 2:
Consideremos que P (n) es la verdadera para n = k,
PAG (k) = 7 + 77 + 777 + … + 777 . . . . . . . . . . . k− Dígitos7 = 7/81 (10 k+1 − 9k − 10) … (i)
Paso 3:
Ahora, tenemos que demostrar que P(k+1) es cierto.
es decir, 7 + 77 + 777 + … + 777. . . . . . . . . . . (k + 1) − Dígitos7
Entonces, es básicamente GP (progresión geométrica) con k + 1 términos.
Entonces, suma P(k + 1)
o, 7/9[9 + 99 + 999 + ……………..+ (k + 1) término]
o, 7/9 [10 – 1 + 100 – 1 +………………..+ (k + 1)término]
o, 7/9 [10 + 100 + 1000 +…………+ (k + 1)término – (1 + 1 + 1 +….+ (k + 1) veces)]
o, 7/81 [10 k+2 – 9(k+1) – 10]
Entonces, P (n) es cierto para n = k + 1
es decir, P (n) es cierto para todo n ∈ N
Por lo tanto, por el principio de Inducción Matemática (PMI), P (n) es cierto para todo n ∈ N.
Pregunta 32. Demostrar que (n 7 /7) + (n 5 /5) + (n 3 /3) + (n 2 /2) – (37/210)n es un entero positivo para todo n ∈ N.
Solución:
Sea P(n) (n 7 /7) + (n 5 /5) + (n 3 /3) + (n 2 /2) – (37/210)n
Paso 1:
Ahora, comprobemos P(n) para n = 1.
Entonces, P(1) = 1/7+1/5+1/3+1/2-37/210 =1
Entonces, P(1) es verdadero.
Paso 2:
Consideremos que P (n) es la verdadera para n = m,
Entonces, sea P(m) (m 7 /7) + (m 5 /5) + (m 3 /3) + (m 2 /2) – (37/210)m
Ahora, (m 7 /7) + (m 5 /5) + (m 3 /3) + (m 2 /2) – (37/210)m = λ, donde λ ∈ N es un número entero positivo.
Paso 3:
Ahora, tenemos que demostrar que P(m+1) es cierto.
P(m + 1) = ((m + 1) 7 /7) + ((m + 1) 5 /5) + ((m + 1) 3 /3) + ((m + 1) 2 /2) – (37/210)(m+1)
= 1/7(m 7 + 7m 6 + 21m 5 + 35m 4 + 35m 3 + 21m 2 + 7m + 1) +
1/5(m 5 + 5m 4 + 10m 3 + 10m 2 + 5m + 1) + 1/3(m 3 + 3m 2 + 3m + 1) +
1/2(m2 + 2m + 1) + 37/210(m + 1)
= (m 7 /7 + m 5 /5 + m 3 /3 + m 2 /2 − 37/210m) + m 6 + 3m 5 + 5m 4 + 5m 3 + 3m 2 +
m + m 4 + 2m 3 + 2m 2 + m + m 2 + m + m + 1/7 + 1/5 + 1/3 + 1/2 – 37/210
= λ + 3m 5 + 5m 4 + 5m 3 + 3m 2 + metro + metro 4 + 2m 3 + 2m 2 + metro + metro 2 + metro + metro + 1
Como λ es positivo, entonces es un entero positivo.
Entonces, P (n) es cierto para n = m + 1
es decir, P (n) es cierto para todo n ∈ N
Por lo tanto, por el principio de Inducción Matemática (PMI), P (n) es cierto para todo n ∈ N.
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Artículo escrito por manjeetks007 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA