Clase 11 Soluciones RD Sharma – Capítulo 12 Inducción matemática – Ejercicio 12.2 | conjunto 2

Demostrar lo siguiente por el principio de inducción matemática:

Pregunta 17. a + ar + ar 2 + … + ar n-1  = a [(r n – 1)/(r – 1)], r ≠ 1

Solución:

Sea P (n) = a + ar + ar 2 + … + ar n-1 = a [(r n – 1)/(r – 1)]

Paso 1:

Ahora, comprobemos P(n) para n = 1.

P (1) = un = un (r 1 – 1)/(r – 1)

o, un = un

Entonces, P(1) es verdadero.

Paso 2:

Consideremos que P (n) es la verdadera para n = k,

P (k) = a + ar + ar2 + … + ar k-1 = a [(r k – 1)/(r – 1)] … (i)

Paso 3:

Ahora, tenemos que demostrar que P(k + 1) es cierto.

Entonces, a + ar + ar 2 + … + ar k-1 + ar k

Ahora, poniendo el valor (i), obtenemos,

= a [(r k – 1)/(r – 1)] + ar k              (usando la ecuación (i))

= a[r k – 1 + r k (r – 1)] / (r – 1)

= a[r k – 1 + r k+1 – r -k ] / (r – 1)

= a[r k+1 – 1] / (r – 1)

Entonces, P (n) es cierto para n = k + 1

es decir, P (n) es cierto para todo n ∈ N

Por lo tanto, por el principio de Inducción Matemática (PMI), P (n) es cierto para todo n ∈ N.

Pregunta 18. a + (a + d) + (a + 2d) + … + (a + (n – 1)d) = n/2 [2a + (n – 1)d]

Solución:

Sea P (n) = a + (a + d) + (a + 2d) + … + (a + (n – 1)d) = n/2 [2a + (n – 1)d]

Paso 1:

Ahora, comprobemos P(n) para n = 1.

P (1) = a = 1/2[2a + (1 – 1)d]

o, un = un

Entonces, P(1) es verdadero.

Paso 2:

Consideremos que P (n) es la verdadera para n = k,

P (k) = a + (a + d) + (a + 2d) + … + (a + (k – 1)d) = k/2 [2a + (k – 1)d] … (i)

Paso 3:

Ahora, tenemos que demostrar que P(k+1) es cierto.

Entonces, a + (a + d) + (a + 2d) + … + (a + (k – 1)d) + (a + (k)d)

Ahora, poniendo el valor eq(i), obtenemos,

= k/2 [2a + (k – 1)d] + (a + kd) (Usando la ecuación (i))

= [2ka + k(k – 1)d + 2(a + kd)] / 2

= [2ka + k2d – kd + 2a + 2kd] / 2

= [2ka + 2a + k2d + kd] / 2

= [2a(k + 1) + d(k2 + k)] / 2

= (k + 1)/2 [2a + kd]

Entonces, P (n) es cierto para n = k + 1

es decir, P (n) es cierto para todo n ∈ N

Por lo tanto, por el principio de Inducción Matemática (PMI), P (n) es cierto para todo n ∈ N.

Pregunta 19. 5 2n – 1 es divisible por 24 para todo n ∈ N

Solución:

Sea P(n) = 5 2n – 1 es divisible por 24

Paso 1: 

Ahora, comprobemos P(n) para n = 1.

P (1) = 5 2 – 1 = 25 – 1 = 24

Entonces, P(1) es cierto ya que P(n) es divisible por 24.

Paso 2:

Consideremos que P (n) es la verdadera para n = k,

P (k) = 5 2k – 1 es divisible por 24

o bien, 5 2k – 1 = 24λ … (i)

Paso 3:

Ahora, tenemos que demostrar que P(k + 1) es cierto.

es decir, 5 2(k+1) – 1 es divisible por 24

O, 5 2(k+1) – 1 = 24μ

Entonces, 5 2(k + 1) – 1

= 5 2k .5 2 – 1

= 25,5 2k – 1

Ahora, poniendo el valor eq(i), obtenemos,

= 25.(24λ + 1) – 1 (Usando la ecuación (i))

= 25.24λ + 24

= 24λ

Entonces, P (n) es cierto para n = k + 1

es decir, P (n) es cierto para todo n ∈ N

Por lo tanto, por el principio de Inducción Matemática (PMI), P (n) es cierto para todo n ∈ N.

Pregunta 20. 3 2n + 7 es divisible por 8 para todo n ∈ N

Solución:

Sea P (n) = 3 2n + 7 es divisible por 8

Paso 1:

Ahora, comprobemos P(n) para n = 1.

PAG (1) = 32 + 7 = 9 + 7 = 16

Entonces, P(1) es cierto ya que P(n) es divisible por 8.

Paso 2:

Consideremos que P (n) es la verdadera para n = k,

P (k) = 3 2k + 7 es divisible por 8

o, 3 2k + 7 = 8λ

o, 3 2k = 8λ – 7 … (i)

Paso 3:

Ahora, tenemos que demostrar que P(k+1) es cierto.

es decir, 3 2(k+1) + 7 es divisible por 8

o, 3 2k+2 + 7 = 8μ

Después,

= 3 2k+2 + 7

= 3 2k .3 2 + 7

= 9.3 2k + 7

Ahora, poniendo el valor eq(i), obtenemos,

= 9.(8λ – 7) + 7 (Usando la ecuación (i))

= 72λ – 63 + 7

= 72λ – 56

= 8(9λ – 7)

= 8μ

Entonces, P (n) es cierto para n = k + 1

es decir, P (n) es cierto para todo n ∈ N

Por lo tanto, por el principio de Inducción Matemática (PMI), P (n) es cierto para todo n ∈ N.

Pregunta 21. 5 2n+2 – 24n – 25 es divisible por 576 para todo n ∈ N

Solución:

Sea P (n) = 5 2n+2 – 24n – 25 es divisible por 576

Paso 1:

Ahora, comprobemos P(n) para n=1.

P (1) = 5 2,1 + 2 – 24,1 – 25 = 625 – 49 = 576

Entonces, P(1) es cierto ya que P(n) es divisible por 576.

Paso 2:

Consideremos que P (n) es la verdadera para n = k,

P (k) = 5 2k+2 – 24k – 25 es divisible por 576

o, 5 2k+2 – 24k – 25 = 576λ … (i)

Paso 3:

Ahora, tenemos que demostrar que P(k + 1) es cierto.

es decir, 5 2k + 4 – 24(k + 1) – 25 es divisible por 576

o, 5 2k + 2 – 24k – 25 = 576λ

Después,

= 5 (2k + 2) + 2 – 24(k + 1) – 25

= 5 2k+2 .5 2 – 24k – 24 – 25

Ahora, poniendo el valor eq(i), obtenemos,

= (576λ + 24k + 25)25 – 24k – 49 (usando la ecuación (i))

= 25. 576λ + 576k + 576

= 576(25λ + k + 1)

= 576 μ

Entonces, P (n) es cierto para n = k + 1

es decir, P (n) es cierto para todo n ∈ N

Por lo tanto, por el principio de Inducción Matemática (PMI), P (n) es cierto para todo n ∈ N.

Pregunta 22. 3 2n + 2 – 8n – 9 es divisible por 8 para todo n ∈ N

Solución:

Sea P (n) = 3 2n + 2  – 8n – 9 es divisible por 8

Paso 1:

Ahora, comprobemos P(n) para n = 1.

P (1) = 3 2.1 + 2 – 8.1 – 9 = 81 – 17 = 64

Entonces, P(1) es cierto ya que P(n) es divisible por 8.

Paso 2:

Consideremos que P (n) es la verdadera para n = k,

P (k) = 3 2k + 2 – 8k – 9 es divisible por 8

o, 3 2k + 2 – 8k – 9 = 8λ … (i)

Paso 3:

Ahora, tenemos que demostrar que P(k + 1) es cierto.

es decir, 3 2k + 4 – 8(k + 1) – 9 es divisible por 8

3 (2k + 2) + 2 – 8(k + 1) – 9 = 8μ

Después,

= 3 2(k+1) .3 2 – 8(k + 1) – 9

= (8λ + 8k + 9)9 – 8k – 8 – 9

Ahora, poniendo el valor (i), obtenemos,

= 72λ + 72k + 81 – 8k – 17 (usando la ecuación (i))

= 8(9λ + 8k + 8)

= 8μ

Entonces, P (n) es cierto para n = k + 1

es decir, P (n) es cierto para todo n ∈ N

Por lo tanto, por el principio de Inducción Matemática (PMI), P (n) es cierto para todo n ∈ N.

Pregunta 23. (ab) n = a n b n para todo n ∈ N

Solución:

Sea P (n) = (ab) n = a n b n 

Paso 1:

Ahora, comprobemos P(n) para n = 1.

P (1) = ab = ab

Entonces, P(1) es verdadero.

Paso 2:

Consideremos que P (n) es la verdadera para n = k,

PAGS (k) = (ab) k = un k segundo k   … (i)

Paso 3:

Ahora, tenemos que demostrar que P(k + 1) es cierto.

es decir, (ab) k+1 = a k+1 .b k+1

Después,

= (ab) k+1

= (ab) k .(ab)

Ahora, poniendo el valor eq(i), obtenemos,

= (a k b k ) (ab) (usando eq(i))

= (a k+1 ) (b k+1 )

Entonces, P (n) es cierto para n = k + 1

es decir, P (n) es cierto para todo n ∈ N

Por lo tanto, por el principio de Inducción Matemática (PMI), P (n) es cierto para todo n ∈ N.

Pregunta 24. n (n + 1) (n + 5) es múltiplo de 3 para todo n ∈ N.

Solución:-

Sea P (n) = n (n + 1) (n + 5) es un múltiplo de 3

Paso 1: 

Ahora, comprobemos P(n) para n = 1.

PAG (1) = 1 (1 + 1) (1 + 5)

o, 2 × 6

o, 12

Entonces, P(1) es cierto ya que P(n) es múltiplo de 3.

Paso 2:

Consideremos que P (n) es la verdadera para n = k,

P (k) = k (k + 1) (k + 5) es múltiplo de 3

o bien, k(k + 1) (k + 5) = 3λ … (i)

Paso 3:

Ahora, tenemos que demostrar que P(k+1) es cierto.

es decir, (k + 1)[(k + 1) + 1][(k + 1) + 5] es un múltiplo de 3

o, (k + 1)[(k + 1) + 1][(k + 1) + 5] = 3μ

Después,

 (k + 1) [(k + 1) + 1] [(k + 1) + 5]

= (k + 1) (k + 2) [(k + 1) + 5]

= [k (k + 1) + 2 (k + 1)] [(k + 5) + 1]

= k (k + 1) (k + 5) + k (k + 1) + 2 (k + 1) (k + 5) + 2 (k + 1)

= 3λ + k2 + k + 2(k2 + 6k + 5) + 2k + 2

= 3λ + k2 + k + 2k2 + 12k + 10 + 2k + 2

= 3λ + 3k2 + 15k + 12

= 3(λ + k2 + 5k + 4)

= 3μ

Entonces, P (n) es cierto para n = k + 1

es decir, P (n) es cierto para todo n ∈ N

Por lo tanto, por el principio de Inducción Matemática (PMI), P (n) es cierto para todo n ∈ N.

Pregunta 25. 7 2n + 2 3n-3 .3 n-1 es divisible por 25 para todo n ∈ N

Solución:

Sea P (n) = 7 2n + 2 3n-3 . 3 n-1 es divisible por 25

Paso 1:

Ahora, comprobemos P(n) para n = 1.

P (1) = 7 2 + 2 0 .3 0

o, 49 + 1 = 50

Entonces, P(1) es cierto ya que P(n) es divisible por 25.

Paso 2:

Consideremos que P (n) es la verdadera para n = k,

PAG (k) = 7 2k + 2 3k-3 . 3 k-1 es divisible por 25

o, 7 2k + 2 3k-3 . 3 k-1 = 25λ … (i)

Paso 3:

Ahora, tenemos que demostrar que P(k + 1) es cierto.

es decir, 7 2(k+1) + 2 3k . 3k es divisible por 25

o, 7 2k+2 + 2 3k . 3k = 25μ

Después,  

7 2(k+1) + 2 3k . 3k _

= 7 2k .7 2 + 2 3k . 3k _

Ahora, poniendo el valor (i), obtenemos,

= (25λ – 2 3k-3 . 3 k-1 ) 49 + 2 3k . 3 k                 (usando la ecuación (i))

= 25λ. 49 – 2 3k /8. 3 k /3. 49 + 2 3k . 3k _

= 24×25×49λ – 2 3k . 3k _ _ 49 + 24 . 2 3k .3k _

= 24×25×49λ – 25 . 2 3k . 3k _

= 25(24 . 49λ – 2 3k . 3 k )

= 25μ

Entonces, P (n) es cierto para n = k + 1

es decir, P (n) es cierto para todo n ∈ N

Por lo tanto, por el principio de Inducción Matemática (PMI), P (n) es cierto para todo n ∈ N.

Pregunta 26. 2.7 n + 3.5 n – 5 es divisible por 24 para todo n ∈ N

Solución:-

Sea P (n) = 2.7 n + 3.5 n – 5 es divisible por 24

Paso 1:

Ahora, comprobemos P(n) para n=1.

PAG (1) = 14 + 15 – 5 = 24

Entonces, P(1) es cierto ya que P(n) es divisible por 24.

Paso 2:

Consideremos que P (n) es la verdadera para n = k,

P (k) = 2,7 k + 3,5 k – 5 es divisible por 24

o bien, 2,7 k + 3,5 k – 5 = 24q … (i)

Paso 3:

Ahora, tenemos que demostrar que P(k + 1) es cierto.

es decir, 2,7 k+1 + 3,5 k+1 – 5

2.7.7k + 3.5.5k 5

Ahora, sumaremos y restaremos por 3.7.5k- 7.5,

o, 2.7.7 k + 3.5.5 k – 5 + 3.7.5 k – 7.5 – (3.7.5 k – 7.5)

o, 7(2,7 k + 3,5 k – 5) + 3,5,5 k – 5 – (3,7,5 k – 7,5)

Ahora de la ecuación (1) tenemos

o, 7(24q) + 3.5.5k- 5 – 3.7.5k+ 7.5

o, 7(24q) – 2.3.5k- 5 + 35

o, 7(24q) – 2.3.5k+ 30

o, 7(24q) – 6(5k- 5)

Ahora sabemos que (5k – 5) es múltiplo de 4. 

Entonces podemos escribir (4p) donde (p) es un número natural.

o, 7(24q) – 6(4p)

o, 24(7q – p)

Entonces, P (n) es cierto para n = k + 1

es decir, P (n) es cierto para todo n ∈ N

Por lo tanto, por el principio de Inducción Matemática (PMI), P (n) es cierto para todo n ∈ N.

Pregunta 27. 11 n+2 + 12 2n+1 es divisible por 133 para Todo N ∈ N.

Solución:

Sea P (n) = 11 n+2 + 12 2n+1 es Divisible por 133

Paso 1:

Ahora, comprobemos P(n) para n=1.

P(1) = 11 1+2 + 12 2+1 = 1331 + 1728 = 3059

Entonces, P(1) es cierto ya que P(n) es divisible por 133.

Paso 2:

Consideremos que P (n) es la verdadera para n = k,

P (k) = 11 k+2 + 12 2k+1 es Divisible por 133

o bien, 11 k+2 + 12 2k+1 = 133p… (i)

Paso 3:

Ahora, tenemos que demostrar que P(k+1) es cierto.

es decir, 11 k+3 + 12 2k+3

= 11k+2 . 11 + 12 2k+1 . 12 2 + 11. 12 2k+1 − 11. 12 2k+1

= 11 (11 k+2 + 12 2k+1 ) + 12 2k+1 (144 − 11)

Ahora de la ecuación (i) tenemos

= 11. 133p + 12 2k+1 . 133 [De la ecuación (i)]

= 133 (11p + 12 2k+1 )

Entonces, P (n) es cierto para n = k + 1

es decir, P (n) es cierto para todo n ∈ N

Por lo tanto, por el principio de Inducción Matemática (PMI), P (n) es cierto para todo n ∈ N.

Pregunta 28. 1×1! + 2×2! +3×3! +…+ n×n! = (n + 1)! – 1 para todo n ∈ N

Solución:

Sea P(n) = 1×1! + 2×2! +3×3! +…+ n×n

Paso 1:

Ahora, comprobemos P(n) para n=1.

PAG (1) = 1 × 1! = (2)! – 1 = 1

Entonces, P(1) es verdadero.

Paso 2:

Consideremos que P (n) es la verdadera para n = m,

P(k) = 1×1! + 2×2! +3×3! +…+ m×m! = (m + 1)! – 1… (yo)

Paso 3:

Ahora, tenemos que demostrar que P(m + 1) es cierto.

es decir, 1×1! + 2×2! +3×3! +…+ m×m! + (metro + 1)×(metro + 1)!

Entonces, = (m + 1)! – 1 + (m + 1) × (m + 1)!

= (m + 1)!(m + 1 + 1) – 1

= (m + 1)!(m + 2) – 1

= (m + 2)! – 1

Entonces, P (n) es cierto para n = m + 1

es decir, P (n) es cierto para todo n ∈ N

Por lo tanto, por el principio de Inducción Matemática (PMI), P (n) es cierto para todo n ∈ N.

Pregunta 29. Demuestra que n 3 – 7n + 3 es divisible por 3 para todo n ∈ N.

Solución:

Sea P(n) = n 3 – 7n + 3 es divisible por 3 

Paso 1:

Ahora, comprobemos P(n) para n=1.

P(1) = 1 3 − (7 × 1) + 3 = 1 − 7 + 3 = −3

Entonces, P(1) es cierto ya que P(n) es divisible por 3.

Paso 2:

Consideremos que P (n) es la verdadera para n = k,

P (k) = k 3 – 7k + 3 es divisible por 3

o, k 3 – 7k + 3 = 3m … (i)

Paso 3:

Ahora, tenemos que demostrar que P(k + 1) es cierto.

es decir, = (k + 1) 3 − 7 (k + 1) + 3

= k 3 + 3k 2 + 3k + 1 − 7k − 7 + 3

= k 3 + 3k 2 − 4k − 3

= k 3 − 7k + 3 + 3k 2 + 3k − 6

Ahora de la ecuación (i), tenemos

= 3m + 3 (k 2 + k + 2)

= 3 (m + k 2 + k + 2)

= 3t (Aquí, t es cualquier número entero)

Entonces, P (n) es cierto para n = k + 1

es decir, P (n) es cierto para todo n ∈ N

Por lo tanto, por el principio de Inducción Matemática (PMI), P (n) es cierto para todo n ∈ N.

Pregunta 30. Demuestra que 1 + 2 + 2 2 + … + 2 n = 2 n+1 – 1 para todo n ∈ N

Solución:

Sea P (n) = 1 + 2 + 2 2 + … + 2 n = 2 n+1 – 1

Paso 1:

Ahora, comprobemos P(n) para n = 1.

PAG (1) = 1 + 2 = 2 1+1 – 1

o, 3 = 3

Entonces, P(1) es verdadero.

Paso 2:

Consideremos que P (n) es la verdadera para n = k,

PAG (k) = 1 + 2 + 2 2 + … + 2 k = 2 k+1 – 1 … (i)

Paso 3:

Ahora, tenemos que demostrar que P(k+1) es cierto.

es decir, 1 + 2 + 2 2 + … + 2 k+1 = 2 k+2 – 1

Entonces, 1 + 2 + 2 2 + … + 2k + 2k+1

Ahora de la ecuación (i), tenemos

o, 2k+1 – 1 + 2k+1 

o, 2,2 k+1 – 1

o, 2 k+2 – 1 

Entonces, P (n) es cierto para n = k + 1

es decir, P (n) es cierto para todo n ∈ N

Por lo tanto, por el principio de Inducción Matemática (PMI), P (n) es cierto para todo n ∈ N.

Pregunta 31. 7 + 77 + 777 + … + 777 . . . . . . . . . . . n − Dígitos 7 = 7/81 (10 n+1 − 9n − 10)

Solución:

Sea P(n) = 7 + 77 + 777 + … + 777 . . . . . . . . . . . n − Dígitos 7 = 7/81 (10 n+1 − 9n − 10)

Paso 1:

Ahora, comprobemos P(n) para n = 1.

P (1) = 7 = 7/81 (10 2 – 9 – 10)

o, 7 = 7/81 (100 – 19)

o, 7 = 7/81 (81)

o, 7 = 7

Entonces, P(1) es verdadero.

Paso 2:

Consideremos que P (n) es la verdadera para n = k,

PAG (k) = 7 + 77 + 777 + … + 777 . . . . . . . . . . . k− Dígitos7 = 7/81 (10 k+1 − 9k − 10) … (i)

Paso 3:

Ahora, tenemos que demostrar que P(k+1) es cierto.

es decir, 7 + 77 + 777 + … + 777. . . . . . . . . . . (k + 1) − Dígitos7

Entonces, es básicamente GP (progresión geométrica) con k + 1 términos.

Entonces, suma P(k + 1)

o, 7/9[9 + 99 + 999 + ……………..+ (k + 1) término]

o, 7/9 [10 – 1 + 100 – 1 +………………..+ (k + 1)término]

o, 7/9 [10 + 100 + 1000 +…………+ (k + 1)término – (1 + 1 + 1 +….+ (k + 1) veces)]

o, 7/81 [10 k+2 – 9(k+1) – 10]

Entonces, P (n) es cierto para n = k + 1

es decir, P (n) es cierto para todo n ∈ N

Por lo tanto, por el principio de Inducción Matemática (PMI), P (n) es cierto para todo n ∈ N.

Pregunta 32. Demostrar que (n 7 /7) + (n 5 /5) + (n 3 /3) + (n 2 /2) – (37/210)n es un entero positivo para todo n ∈ N.

Solución:

Sea P(n) (n 7 /7) + (n 5 /5) + (n 3 /3) + (n 2 /2) – (37/210)n

Paso 1:

Ahora, comprobemos P(n) para n = 1.

Entonces, P(1) = 1/7+1/5+1/3+1/2-37/210 =1

Entonces, P(1) es verdadero.

Paso 2:

Consideremos que P (n) es la verdadera para n = m,

Entonces, sea P(m) (m 7 /7) + (m 5 /5) + (m 3 /3) + (m 2 /2) – (37/210)m

Ahora, (m 7 /7) + (m 5 /5) + (m 3 /3) + (m 2 /2) – (37/210)m = λ, donde λ ∈ N es un número entero positivo.

Paso 3:

Ahora, tenemos que demostrar que P(m+1) es cierto.

P(m + 1) = ((m + 1) 7 /7) + ((m + 1) 5 /5) + ((m + 1) 3 /3) + ((m + 1) 2 /2) – (37/210)(m+1)

= 1/7(m 7 + 7m 6 + 21m 5 + 35m 4 + 35m 3 + 21m 2 + 7m + 1) +

1/5(m 5 + 5m 4 + 10m 3 + 10m 2 + 5m + 1) + 1/3(m 3 + 3m 2 + 3m + 1) +

1/2(m2 + 2m + 1) + 37/210(m + 1)

= (m 7 /7 + m 5 /5 + m 3 /3 + m 2 /2 − 37/210m) + m 6 + 3m 5 + 5m 4 + 5m 3 + 3m 2 +

 m + m 4 + 2m 3 + 2m 2 + m + m 2 + m + m + 1/7 + 1/5 + 1/3 + 1/2 – 37/210

= λ + 3m 5 + 5m 4 + 5m 3 + 3m 2 + metro + metro 4 + 2m 3 + 2m 2 + metro + metro 2 + metro + metro + 1

Como λ es positivo, entonces es un entero positivo.

Entonces, P (n) es cierto para n = m + 1

es decir, P (n) es cierto para todo n ∈ N

Por lo tanto, por el principio de Inducción Matemática (PMI), P (n) es cierto para todo n ∈ N.

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Artículo escrito por manjeetks007 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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