Clase 11 Soluciones RD Sharma – Capítulo 12 Inducción matemática – Ejercicio 12.2

Pregunta 33. Demuestra que n ¹¹ /11 + n ⁵ /5 + n ³ /3 – 62/165n es cierto para todo n ∈ N.

Solución:

Sea, P(n) = n ¹¹ /11 + n ⁵ /5 + n ³ /3 – 62/165n

Paso 1:

Ahora, comprobemos P(n) para n = 1.

Entonces, P(1) = 1/11 + 1/5 + 1/3 – 62/165 = 1

Entonces, P(1) es verdadero.

Paso 2:

Consideremos que P (n) es la verdadera para n = m,

Sea, P(m) = m ¹¹ /11 + m ⁵ /5 + m ³ /3 – 62/165m

Entonces, m ^11/11 + m 5/5 + m ^3/3 – 62/165m = λ, donde λ ∈ N es un número entero positivo ^.

Paso 3:

Ahora, tenemos que demostrar que P(m + 1) es cierto.

P(m + 1) = (m + 1) ¹¹ /11 + (m + 1) ⁵ /5 + (m + 1) ³ /3 – 62/165(m + 1)

= 1/11(m ¹¹ + 11m ¹⁰ + 55m ⁹ + 165m ⁸ + 330m ⁷ + 462m ⁶ + 462m ⁵ + 330m ⁴ +

165m ³ + 55m ² + 11m + 1) + 1/5(m ⁵ + 5m ⁴ + 10m ³ + 10m ² + 5m + 1) +

1/3(m3 ⁺ 3m2 + 3m ⁺ 1) + 62/165(m + 1)

= λ + metro ⁶ + 3m ⁵ + 5m ⁴ + 5m ³ + 3m ² + metro + metro ⁴ + 2m ³ + 2m ² + metro + metro ² + metro + metro + 1

Como λ es positivo, entonces es un entero positivo.

Entonces, P (n) es cierto para n = m + 1

es decir, P (n) es cierto para todo n ∈ N

Por lo tanto, por el principio de Inducción Matemática (PMI), P (n) es cierto para todo n ∈ N.

Pregunta 34. Demuestra que (1/2)tan(x/2) + (1/4)tan(x/4) +…..+ (1/2 ⁿ )tan(x/2 ⁿ ) = (1/ 2 ⁿ )cot(x/2 ⁿ ) – cotx para todo n ∈ N y 0< x < π/2.

Solución:

Sea, P(n) = (1/2)tan(x/2) + (1/4)tan(x/4) +…..+ (1/2 ⁿ )tan(x/2 ⁿ ) = ( 1/2 ⁿ )cot(x/2 ⁿ ) – cotx, para todo n ∈ N y 0< x < π/2.

Paso 1:

Ahora, comprobemos P(n) para n = 1.

IZQ = 1/2 tan(x/2)

RHS = (1/2)cot(x/2) – cuna(x) = 1/(2tan(x/2)) – 1 tan(x)

= 1/(2tan(x/2)) – 1/(2tan(x/2))/(1 – tan ² (x/2))

= 1/(2tan(x/2)) – (1 – tan ² (x/2))/(2tan(x/2))

=(1/2)bronceado(x/2)

Entonces, P(1) es verdadero.

Paso 2:

Consideremos que P (n) es la verdadera para n = m,

P(m) = (1/2)tan(x/2) + (1/4)tan(x/4) +…..+ (1/2 ^m )tan(x/2 ^m ) = (1/ 2 ^m )cuna(x/2 ^m ) – cunax

Paso 3:

Ahora, tenemos que demostrar que P(m + 1) es cierto.

P(m + 1) = (1/2)tan(x/2) + (1/4)tan(x/4) +…..+ (1/2 ^m )tan(x/2 ^m ) + ( 1/2 ^{(m + 1)} )tan(x/2 ^{(m + 1)} ) = (1/2 ^{(m + 1)} )cot(x/2 ^{(m + 1)} ) – cotx

Entonces, = (1/2 ^m )cot(x/2 ^m ) – cotx + (1/2 ^(m+1) )cot(x/2 ^(m+1) )

= (1/2 ^m )cot (x/2 ^m ) + (1/2 ^(m+1) )tan(x/2 ^(m+1) ) – cotx

= 1/(2 ^m tan(2x/2 ^(m+1) ) + (1/2 ^(m+1) )tan(x/2 ^(m+1) ) – cox

= [(1 – tan ² (x/2 ^(m+1) ))/2 ^(m+1) .tan(x/2 ^(m+1) )] + (1/2 ^(m+1) )tan (x/2 ^(m+1) ) – cox

= (1/2 ^(m+1) )cota(x/2 ^(m+1) ) – cotax

Ahora,

(1/2)bronceado(x/2) + (1/4)bronceado(x/4)+…..+ (1/2 ^m )bronceado(x/2 ^m ) + (1/2 ^{(m+1 )} )tan(x/2 ^(m+1) ) = (1/2 ^(m+1) )cot(x/2 ^(m+1) ) – cox

Entonces, P (n) es cierto para n = m + 1

es decir, P (n) es cierto para todo n ∈ N

Por lo tanto, por el principio de Inducción Matemática (PMI), P (n) es cierto para todo n ∈ N.

Pregunta 35. Demuestre que (1 – 1/2 ² )(1 – 1/3 ² )(1 – 1/4 ² )……(1 – 1/n ² ) = (n + 1)/2n es cierto para todo n ∈ N.

Solución:

Sea, P(n) = (1 – 1/2 ² )(1 – 1/3 ² )(1 – 1/4 ² )……(1 – 1/n ² ) = (n + 1)/2n

Paso 1:

Ahora, comprobemos P(n) para n = 2.

P(2) = 1 – 1/2 ² = (2 + 1)/2.2

o, 3/4 = 3/4

Entonces, P(2) es verdadero.

Paso 2:

Consideremos que P(n) es la verdadera para n = k, entonces, P(k) es

P(k) = (1 – 1/2 ² )(1 – 1/3 ² )(1 – 1/4 ² )……(1 – 1/k ² ) = (k + 1)/2k

Paso 3:

Ahora, tenemos que demostrar que P(k + 1) es cierto. es decir

P(k + 1) = (1 – 1/2 ² )(1 – 1/3 ² )(1 – 1/4 ² )……(1 – 1/(k + 1) ² ) = (k + 2 )/2k

Ahora, (1 – 1/2 ² )(1 – 1/3 ² )(1 – 1/4 ² )……(1 – 1/k ² )(1 – 1/(k + 1) ² )

Ahora, del paso 2, obtenemos

Entonces, (1 – 1/(k + 1) ² )((k + 1)/2k)

o, ((k + 1)/2k)((k ² + 1 + 2k – 1)/(k + 1) ² )

o bien, k(k + 2)/2k(k + 1)

o, (k + 2)/2(k + 1)

Entonces, P (n) es cierto para n = k + 1

es decir, P (n) es cierto para todo n ∈ N

Por lo tanto, por el principio de Inducción Matemática (PMI), P (n) es cierto para todo n ∈ N.

Pregunta 36. Demuestra que (2n)!/2 ²ⁿ (n!) ² ≤ 1/√(3n + 1) es cierto para todo n ∈ N.

Solución:

Sea, P(n) = (2n)!/2 ²ⁿ (n!) ² ≤ 1/√(3n + 1)

Paso 1:

Ahora, comprobemos P(n) para n = 1.

P(1) = 1/2 ≤ 1/√3 + 1 = 1/2

Entonces, P(1) es verdadero.

Paso 2:

Consideremos que P (n) es la verdadera para n = m.

P(m) = (2m)!/2 ^2m (m!) ² ≤ 1/√(3m + 1)

Paso 3:

Ahora, tenemos que demostrar que P(m + 1) es cierto. es decir

P(m + 1) = (2m + 2)!/2 ^2m+2 (m!) ² ≤ 1/√(3m + 4)

Ahora,

P(m + 1) = ((2m + 1)(2m + 1)(2m)!)/(2m ² .2 ² (m + 1) ² (m!) ² )

o, (2m + 2)!/2{2m + 2}((m + 1)!) ² = ((2m)!/2 ^2m ) × (2m + 1)(m + 2)/2 ² (m + 1) ²

o, (2m + 2)!/2{2m + 2}((m + 1)!) ² ≤ (2m + 1)/2(m + 1)√(3m + 1)

o, (2m + 2)!/2{2m + 2}((m + 1)!) ² ≤ √((2m + 1) ² /4(m + 1) ² (3m + 1))

(2m + 2)!/2{2m + 2}((m + 1)!) ² ≤ √((2m + 1) ² /4(m + 1) ² (3m + 1))

o, (2m + 2)!/2{2m + 2}((m + 1)!) ² ≤ √(12m ³ + 28m ² + 19m + 4)/(12m ³ + 28m ² + 20m + 4)( 3 metros + 4)

ahora, (12m ³ + 28m ² + 19m + 4)/(12m ³ + 28m ² + 20m + 4) < 1

entonces, (2m + 2)!/2{2m + 2}((m + 1)!) ² ≤ 1/√(3m + 4)

Entonces, P (n) es cierto para n = m + 1

es decir, P (n) es cierto para todo n ∈ N

Por lo tanto, por el principio de Inducción Matemática (PMI), P (n) es cierto para todo n ∈ N.

Pregunta 37. Demostrar que 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + …..+ 1/n ² < 2 – 1/n para todo n > 2, n ∈ N.

Solución:

Sea P(n) = 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + …..+ 1/n ² < 2 – 1/n para todo n > 2, n ∈ N

Paso 1:

Ahora, comprobemos P(n) para n = 2.

P(2) = 1/2 ² < 2 – 1/2

Entonces, P(1) es verdadero.

Paso 2:

Consideremos que P (n) es la verdadera para n = m.

P(m) = 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 +…..+ 1/m ² < 2 – 1/m

Paso 3:

Ahora, tenemos que demostrar que P(m + 1) es cierto. es decir,

Del paso 2 tenemos, 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 +…..+ 1/m ² < 2 – 1/m

Ahora, sumando 1/(m + 1) ² a ambos lados, obtenemos

= 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 +…..+ 1/m ² + 1/(m + 1) ² < 2 – 1/m + 1/(m + 1) ²

o, (m + 1) ² > m + 1

o bien, 1/(m + 1) ² < 1/(m + 1)

o, 1/m – 1/(m + 1) ² < 1/(m + 1)

Entonces, P(m + 1) < 2 – 1/(m + 1)

Entonces, P (n) es cierto para n = m + 1

es decir, P (n) es cierto para todo n ∈ N

Por lo tanto, por el principio de Inducción Matemática (PMI), P (n) es cierto para todo n ∈ N.

Pregunta 38. Demuestra que x ^2n-1 + y ^2n-1 es divisible por x + y.

Solución:

Sea P(n) x ^2n-1 + y ^2n-1

Paso 1:

Ahora, comprobemos P(n) para n = 1.

P(1) = x + y

Entonces, P(1) es divisible por x + y.

Entonces, P(1) es verdadera.

Paso 2:

Consideremos que P (n) es la verdadera para n = m.

P(m) = x ^2m-1 + y ^2m-1 = λ(x + y) ……….. (i)

Paso 3:

Ahora, tenemos que demostrar que P(m + 1) es cierto.

es decir, P(m + 1) = x ^2m+1 + y ^2m+1

= x2m ⁺¹ + y2m ⁺¹ – x2m ^-1 . y ² + x ^2m-1 . ² años

= x2m ^-1 (x2 ^– y2 ⁾ + y2 ⁽ x2m ^-1 + ^y2m-1 )

= (x + y)(x ^2m-1 (x – y) + λy ² )

Entonces, P (n) es cierto para n = m + 1

es decir, P (n) es cierto para todo n ∈ N

Por lo tanto, por el principio de Inducción Matemática (PMI), P (n) es cierto para todo n ∈ N.

Pregunta 39. Demuestra que senx + sen3x + …+ sen(2n – 1)x = sen ² nx/senx es cierto para todo n ∈ N.

Solución:

Sea, P(n) = senx + sen3x + …+ sen(2n – 1)x = sen ² nx/senx

Paso 1:

Ahora, comprobemos P(n) para n = 1.

P(1) = sen x = sen ² x / sen x = sen x

Entonces, P(1) es verdadera.

Paso 2:

Consideremos que P (n) es la verdadera para n = m.

P(m) = senx + sen3x + …+ sen(2m – 1)x = sen ² mx/senx

Paso 3:

Ahora, tenemos que demostrar que P(m + 1) es cierto.

es decir,

P(m + 1) = senx + sen3x +…+ sen(2m – 1)x + sen(2m + 1)x = (sen 2 ^mx /senx) + sen(2m+1)x

ahora,

P(m + 1) = {(sen ² mx + senx[sen(mx) + cos(m + 1)x + sen(m + 1)x + cos(mx)])}/senx

= {(sen ² mx + 2senx.cosx.cos(mx) – sen ² x.sen ² mx + cos ² mx.sen ² x)}/senx

= {(sen ² mx(1 – sen ² x) + 2senx.cosx.cos(mx) + cos ² mx.sen ² x)}/senx

= {(sen ² mx.cos ² x + 2senx.cosx.cos(mx) + cos ² mx.sen ² x)}/senx

= {(sen(mx).cosx + cos(mx).senx) ² }/senx

= {(sen(m + 1)x) ² }/senx

Entonces, P (n) es cierto para n = m + 1

es decir, P (n) es cierto para todo n ∈ N

Por lo tanto, por el principio de Inducción Matemática (PMI), P (n) es cierto para todo n ∈ N.

Pregunta 40. Demuestra que $cosα + cos(α +β) +cos(α +2β)+....+cos(α +(n-1)β)=\frac{(cos[α +(\frac{n-1}{2})β] sin(\frac{nβ}{2}))}{sin(\frac{β}{2})}$ es cierto para todo n ∈ N.

Solución:

Sea, P(n) = $cosα + cos(α +β) +cos(α +2β)+....+cos(α +(n-1)β)=\frac{(cos[α +(\frac{n-1}{2})β] sin(\frac{nβ}{2}))}{sin(\frac{β}{2})}$

Paso 1:

Ahora, comprobemos P(n) para n = 1.

LHS = cos [α + (1 – 1)β] = cos α

lado derecho = $\frac{(cos[α +(\frac{1-1}{2})β] sin(\frac{β}{2}))}{sin(\frac{β}{2})} = cosα$

Entonces, P(1) es verdadero ya que LHS y RHS son iguales.

Paso 2:

Consideremos que P(n) es la verdadera para n = k.

P(k) = $cosα + cos(α +β) +cos(α +2β)+....+cos(α +(k-1)β)=\frac{(cos[α +(\frac{k-1}{2})β] sin(\frac{kβ}{2}))}{sin(\frac{β}{2})}$

Paso 3:

Ahora, tenemos que demostrar que P(k + 1) es cierto.

Entonces, sumando cos(α + kβ) a ambos lados de P(k), obtenemos

$P(k+1)= cosα + cos(α +β) +cos(α +2β)+....+cos(α +(k-1)β) +cos(α +kβ)=\frac{(cos[α +(\frac{k-1}{2})β] sin(\frac{kβ}{2}))}{sin(\frac{β}{2})}+cos(α +kβ)$

$=\frac{(cos[α +(\frac{k-1}{2})β] sin(\frac{kβ}{2})+cos(α +kβ)sin(\frac{β}{2})}{sin(\frac{β}{2})}$

$=\frac{(-sin(α-\frac{β}{2}) + sin(α+kβ+\frac{β}{2}))}{2sin(\frac{β}{2})}$

$=\frac{2cos(\frac{(2α +kβ)}{2})sin(\frac{(kβ+β)}{2})}{2sin(\frac{β}{2})}$

$=\frac{cos(α +\frac{kβ}{2})sin(\frac{(k+1)β}{2})}{sin(\frac{β}{2})}$

Ahora,

$RHS= \frac{(cos[α +(\frac{kβ}{2})] sin(\frac{(k+1)β}{2}))}{sin(\frac{β}{2})}$

Entonces, P (n) es cierto para n = k + 1

es decir, P (n) es cierto para todo n ∈ N

Por lo tanto, por el principio de Inducción Matemática (PMI), P (n) es cierto para todo n ∈ N.

Pregunta 41. Demuestra que 1/(n+1) + 1/(n+2) +…..+ 1/2n > 13/24 para todos los números naturales, n > 1.

Solución:-

Sea,P(n) = 1/(n+1) + 1/(n+2) +…..+ 1/2n > 13/24

Paso 1:

Ahora, comprobemos P(n) para n = 2.

P(2) = 1/(2 + 1) + 1/(2 + 2) = 1/3 + 1/4 = 7/12 > 13/24

Entonces, P(2) es verdadero.

Paso 2:

Consideremos que P(n) es la verdadera para n = k, entonces, P(k) es

P(k) = 1/(k + 1) + 1/(k + 2) +…..+ 1/2k > 13/24

Paso 3:

Ahora, tenemos que demostrar que P(k + 1) es cierto. Cuando P(k) es verdadera.

Entonces, P(k + 1) = 1/(k + 2) + 1/(k + 3) +…..+ 1/2k + 1/2(k + 1)

Aquí, como LHS = RHS

Entonces, P (n) es cierto para n = k + 1

es decir, P (n) es cierto para todo n ∈ N

Por lo tanto, por el principio de Inducción Matemática (PMI), P (n) es cierto para todo n ∈ N.

Pregunta 42. Dado un ₁ = 1/2(a ₀ + A/a ₀ ), un ₂ = 1/2(a ₁ + A/a ₁ ) y un _n+1 = 1/2(a _n + A/ a _n ), a, A > 0

Probar: $\frac{(a_n - √A)}{(a_n + √A)} = (\frac{ a_1 - √A}{a_1 + √A})^{2^{(n-1)}}$

Solución:

Sea, P(n) = $\frac{(a_n - √A)}{(a_n + √A)} = (\frac{ a_1 - √A}{a_1 + √A})^{2^{(n-1)}}$

Paso 1:

Ahora, comprobemos P(n) para n=1.

IZQ = (a ₁ – √A) / (a ₁ + √A)

lado derecho = $(\frac{ a_1 - √A}{a_1 + √A})^{2^{(1-1)}}$

= (a ₁ – √A) / (a ₁ + √A)

Entonces, P(1) es verdadera.

Paso 2:

Consideremos que P(n) es la verdadera para n = k, entonces, P(k) es

Entonces, P(k) = $\frac{(a_k - √A)}{(a_k + √A)} = (\frac{ a_1 - √A}{a_1 + √A})^{2^{(k-1)}}$

Paso 3:

Ahora, tenemos que demostrar que P(k + 1) es cierto. Cuando P(k) es verdadera.

Entonces, P(k + 1) = LHS = (a _k+1 – √A) / (a _k+1 + √A)

= (1/2(a _k + A/a _k ) – √A) / (1/2(a _k + A/a _k ) + √A)

= (1/2(a _k² + A – 2a _k √A)/a _k ) / (1/2(a _k² + A + 2a _k √A)/a _k )

= (a _k+1 – √A) ² / (a _k+1 + √A) ²

= $[ [\frac{a_1 - √A}{a_1 + √A}]^{2^{k-1}}]^2$

= $[\frac{a_1 - √A}{a_1 + √A}]^{2^k}$

aquí, como LHS = RHS

Entonces, P (n) es cierto para n = k + 1

es decir, P (n) es cierto para todo n ∈ N

Por lo tanto, por el principio de Inducción Matemática (PMI), P (n) es cierto para todo n ∈ N.

Pregunta 43. Sea P(n) el enunciado: 2 ⁿ ≥ 3n. Si P(r) es verdadera, entonces demuestre que P(r + 1) es verdadera. ¿Concluye que P(n) es verdadera para todo n ∈ N?.

Solución:

Sea P(n) = 2 ⁿ ≥ 3n

Paso 1:

Ahora, comprobemos P(n) para n = 1.

IZQ = 2

lado derecho = 3

Como LHS < RHS

Entonces, P(1) es verdadera.

Paso 2:

Consideremos que P (n) es la verdadera para n = r, entonces, P (r) es 2 ^r ≥ 3r

Paso 3:

Ahora, tenemos que demostrar que P(k + 1) es cierto. Cuando P(k) es verdadera.

Entonces, P(k + 1) = 2 ^r+1 = 2.2 ^r

Para, x > 3, 2x > x + 3

Entonces, 2.2 ^r > 2 ^r +3 para r > 1

o,2 ^r+1 > 2 ^r +3 para r > 1

o bien, 2 ^r+1 > 3r +3 para r > 1

o, 2 ^r+1 > 3(r + 1) para r >1

Entonces, P (n) es cierto para n = r + 1

es decir, P (n) es cierto para todo n ∈ N

Por lo tanto, por el principio de Inducción Matemática (PMI), P (n) es cierto para todo n ∈ N.

Pregunta 44. Demostrar por el principio de Inducción Matemática que la suma Sn de los n términos de la serie 1 2 ⁺ 2 × 2 ² + 3 ² + 2 × 4 ² + 5 ² + 2 × 6 ² + 7 ² +… es dada por

$S_n= \begin{cases} \frac{n(n+1)^2}{2}, if \ n \ is \ even, \\ \frac{n^2(n+1)}{2}, if \ n \ is \ odd \end{cases}$

Solución:

Sea, P(n) = S _n = 1 ² + 2 × 2 ² + 3 ² + 2 × 4 ² + 5 ² + 2 × 6 ² + 7 ² +… = $\begin{cases} \frac{n(n+1)^2}{2}, if \ n \ is \ even, \\ \frac{n^2(n+1)}{2}, if \ n \ is \ odd \end{cases}$

Paso 1:

Ahora, comprobemos P(n) para n = 1.

LHS = 1 = RHS

Entonces, P(1) es verdadera.

Paso 2:

Consideremos que P(n) es la verdadera para n = k, entonces, P(k) es

P(k) = 1 ² + 2,2 ² + 3 ² + 2,4 ² + 5 ² = $\begin{cases} \frac{k(k+1)^2}{2}, if \ k \ is \ even, \\ \frac{k^2(k+1)}{2}, if \ k \ is \ odd \end{cases}$

Paso 3:

Ahora, tenemos que demostrar que P(k + 1) es cierto. Cuando P(k) es verdadera.

Caso 1: cuando k es impar, entonces (k + 1) es par

P(k + 1) = LHS = 1 ² + 2.2 ² + 3 ² + 2.4 ² + 5 ² …. k ² + 2.(k + 1) ²

= k ² (k + 1)/2 + 2.(k + 1) ²

= {(k ² (k + 1) + 4(k + 1) ² )}/2

= (k + 1)(k + 2) ² /2

ahora, RHS = (k + 1)(k + 1 + 1 ) ^2/2

= (k + 1)(k + 2) ² /2

Entonces, es cierto para n = k + 1, cuando k es impar.

Caso 2: cuando k es par, entonces (k + 1) es impar

P(k + 1) = LHS = 1 ² + 2.2 ² + 3 ² + 2.4 ² + 5 ² ….+ 2. k ² + (k + 1) ²

= k(k + 1) ² /2 + (k + 1) ²

= (k(k + 1) ² + 2.(k + 1) ² )/2

= (k + 1) ² (k + 2)/2

RHS = (k + 1) ² (k + 1 + 1)/2

= (k + 1) ² (k + 2)/2

ahora, LHS = RHS.

Entonces, es cierto para n=k+1, cuando k es par.

Entonces, P (n) es cierto para n = k + 1

es decir, P (n) es cierto para todo n ∈ N

Por lo tanto, por el principio de Inducción Matemática (PMI), P (n) es cierto para todo n ∈ N.

Pregunta 45. Demostrar que el número de subconjuntos de un conjunto que contiene n elementos distintos es 2 ⁿ para todo n ∈ N.

Solución:

Sea, P(n): El número de subconjuntos de un conjunto que contiene n elementos distintos = 2 ⁿ , para todo n ∈ N.

Paso 1:

Ahora, comprobemos P(n) para n = 1.

LHS = As, los subconjuntos del conjunto que contiene solo 1 elemento son:

Φ y el propio conjunto

es decir, el número de subconjuntos de un conjunto que contiene solo el elemento = 2

lado derecho = 2 ¹ = 2

ahora, LHS = RHS

Entonces, P(1) es verdadera.

Paso 2:

Consideremos que P (n) es la verdadera para n = k,

Entonces, P(k) es El número de subconjuntos de un conjunto que contiene k elementos distintos = 2 ^k

Paso 3:

Ahora, tenemos que demostrar que P(k + 1) es cierto. Cuando P(k) es verdadera.

P(k + 1) = Sea A = {a ₁ , a ₂ , a ₃ , a ₄ ,..…, a _k , b} de modo que A tiene (k + 1) elementos.

Ahora, el subconjunto t de A se puede dividir en dos conjuntos tales que

Primero contiene subconjuntos de A que no tienen b en ellos y

El segundo contiene subconjuntos de A que tienen b en ellos.

Entonces, Primera colección: {}, {a ₁ }, {a ₁ , a ₂ }, {a ₁ , a ₂ , a ₃ },…,{a ₁ , a ₂ , a ₃ , a ₄ ,…, a _k } y

y la segunda colección: {b}, {a ₁ , b}, {a ₁ , a ₂ , b}, {a ₁ , a ₂ , a ₃ , b},…,{a ₁ , a ₂ , a ₃ , a ₄ ,…, a _k , b}

Se puede ver claramente que:

El número de subconjuntos de A en la primera colección.

= El número de subconjuntos del conjunto con k elementos, es decir, {a ₁ , a ₂ , a ₃ , a ₄ ,…, a _k } = 2k

Además, se deduce que la segunda colección debe tener

el mismo número de los subconjuntos que el del primero = 2 ^k

Así que el número total de subconjuntos de A = 2 ^k + 2 ^k = 2 ^k+1

Entonces, P (n) es cierto para n = k + 1

es decir, P (n) es cierto para todo n ∈ N

Por lo tanto, por el principio de Inducción Matemática (PMI), P (n) es cierto para todo n ∈ N.

Pregunta 46. Una sucesión a ₁ , a ₂ , a ₃ ,….. se define haciendo a ₁ = 3 y a _k = 7a _k-1 para todos los números naturales k ≥ 2. Demostrar que a _n = 3.7 ^{n- 1} para todo n ∈ N.

Solución:

Sea P(n) un _n = 3.7 ^n-1 para todo n ∈ N

Paso 1:

Ahora, comprobemos P(n) para n = 1.

entonces, a ₁ = 3.7 ^1-1 = 3

Entonces, P(1) es verdadera.

Paso 2:

Consideremos que P (n) es la verdadera para n = k,

P(k) = un _k = 3,7 ^k-1

Paso 3:

Ahora, tenemos que demostrar que P(k + 1) es cierto. Cuando P(k) es verdadera.

P(k + 1) = un _k+1 = 7.un _k

= 7.3.7 ^k-1

= 3,7 ^k-1+1

= 3,7 ^(k+1)-1

Entonces, P (n) es cierto para n = k + 1

es decir, P (n) es cierto para todo n ∈ N

Por lo tanto, por el principio de Inducción Matemática (PMI), P (n) es cierto para todo n ∈ N.

Pregunta 47. Una sucesión x ₁ , x ₂ , x ₃ ,….. se define haciendo x ₁ = 2 y x _k = x _k-1 /k para todos los números naturales k, k ≥ 2. Demostrar que x _n = 2/n! para todo n ∈ N.

Solución:

Sea P(n) x _n = 2/n! para todo n ∈ N.

Paso 1:

Ahora, comprobemos P(n) para n = 1.

P(1) = x1 ₌ 2/1! = 2

Entonces, P(1) es verdadera.

Paso 2:

Consideremos que P (n) es la verdadera para n = k,

P(k) = xk ₌ 2/k!

Paso 3:

Ahora, tenemos que demostrar que P(k + 1) es cierto. Cuando P(k) es verdadera.

entonces, x _k+1 = 2/(k + 1)!

o bien, 2/(k + 1).k!

o bien, 2/(k + 1)!

Entonces, P (n) es cierto para n = k + 1

es decir, P (n) es cierto para todo n ∈ N

Por lo tanto, por el principio de Inducción Matemática (PMI), P (n) es cierto para todo n ∈ N.

Pregunta 48. Una secuencia x ₀ , x ₁ , x ₂ , x ₃ , ……. se define haciendo x ₀ = 5 y x _k = 4 + x _{k -1} para todo número natural k. Demuestre que x _n = 5 + 4 _n para todo n ∈ N usando inducción matemática.

Solución:-

Sea, P(n) = x _n = 5 + 4n para todo n ∈ N

Paso 1:

Ahora, comprobemos P(n) para n = 0.

P(0) = 5 + 4(0) = 5

Entonces, P(0) es verdadera.

Paso 2:

Consideremos que P (n) es la verdadera para n = k,

P(k) = x _k = 5 + 4k

Paso 3:

Ahora, tenemos que demostrar que P(k + 1) es cierto. Cuando P(k) es verdadera.

entonces, P(k + 1) = x _k+1 = 4 + x _{k+1 -1}

= 4 + _xk

= 4 + 5 + 4k

= 5 + 4(k + 1)

Entonces, P (n) es cierto para n = k + 1

es decir, P (n) es cierto para todo n ∈ N

Por lo tanto, por el principio de Inducción Matemática (PMI), P (n) es cierto para todo n ∈ N.

Pregunta 49. Usando el principio de inducción matemática, demuestre que

√n < 1/√1 + 1/√2+ 1/√3 +…..+1/√n para todos los números naturales n ≥2.

Solución:

Sea, P(n) = √n < 1/√1 + 1/√2+ 1/√3 +…..+1/√n para todo n ≥ 2.

Paso 1:

Ahora, comprobemos P(n) para n=2.

P(2) = √2 < 1 + 1/√2

o bien, 1,41 < 1 + 0,707 = 1,707

Entonces, P(2) es verdadero.

Paso 2:

Consideremos que P (n) es la verdadera para n = k,

P(k) = √k < 1/√1 + 1/√2+ 1/√3 +…..+1/√k

Paso 3:

Ahora, tenemos que demostrar que P(k+1) es cierto. Cuando P(k) es verdadera.

Ahora, LHS = √(k + 1)

Ahora, RHS = 1/√1 + 1/√2+ 1/√3 +…..+1/√k + 1/√(k + 1)

o, k/√{(k + 1)} < √k

o, k + 1/√{(k + 1)} – 1/√(k + 1) < √k

o, √(k + 1) – 1/√(k + 1)< √k

o, √(k + 1) < √k + 1/√(k + 1)

entonces, LHS < RHS.

Entonces, P (n) es cierto para n = k + 1

es decir, P (n) es cierto para todo n ≥ 2

Por lo tanto, por el principio de Inducción Matemática (PMI), P (n) es cierto para todo n ≥ 2.

Pregunta 50. La ley distributiva del álgebra establece que para todos los números reales, a ₁ y a ₂ , tenemos c (a ₁ + a ₂ ) = ca ₁ + ca ₂ . Utilice esta ley y la inducción matemática para demostrar que, para todos los números naturales, n ≥ 2, si c, a ₁ , a ₂ ,…,an _son números reales cualesquiera, entonces c (a ₁ +a ₂ +…+a _n ) = ca ₁ +ca ₂ +…+ca _n .

Solución:

Sea, P(n) = c (a ₁ +a ₂ +…+a _n ) = ca ₁ +ca ₂ +…+ca _n , para todos los números naturales, n ≥ 2.

Paso 1:

Ahora, comprobemos P(n) para n=2.

IZQ = c(a ₁ + a ₂ )

RHS = aproximadamente ₁ + aproximadamente ₂

Entonces, P(2) es verdadero.

Paso 2:

Consideremos que P (n) es la verdadera para n = k,

P(k) = c(a ₁ +a ₂ +…+a _k ) = ca ₁ +ca _{2 ++} …+ca _k

Paso 3:

Ahora, tenemos que demostrar que P(k+1) es cierto. Cuando P(k) es verdadera.

IZQ = c(a ₁ +a ₂ +…+a _k + a _k+1 )

= c[(a ₁ +a ₂ +…+a _k ) + a _k+1 ]

= c(a ₁ +a ₂ +…+a _k ) + ca _k+1

= ca ₁ +ca ₂ +…+ca _k + ca _k+1

= lado derecho

Entonces, P (n) es cierto para n = k + 1

es decir, P (n) es cierto para todo n ≥ 2

Por lo tanto, por el principio de Inducción Matemática (PMI), P (n) es cierto para todo n ≥ 2.

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por manjeetks007 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Clase 11 Soluciones RD Sharma – Capítulo 12 Inducción matemática – Ejercicio 12.2 | conjunto 3

Pregunta 33. Demuestra que n ¹¹ /11 + n ⁵ /5 + n ³ /3 – 62/165n es cierto para todo n ∈ N.

Pregunta 34. Demuestra que (1/2)tan(x/2) + (1/4)tan(x/4) +…..+ (1/2 ⁿ )tan(x/2 ⁿ ) = (1/ 2 ⁿ )cot(x/2 ⁿ ) – cotx para todo n ∈ N y 0< x < π/2.

Pregunta 35. Demuestre que (1 – 1/2 ² )(1 – 1/3 ² )(1 – 1/4 ² )……(1 – 1/n ² ) = (n + 1)/2n es cierto para todo n ∈ N.

Pregunta 36. Demuestra que (2n)!/2 ²ⁿ (n!) ² ≤ 1/√(3n + 1) es cierto para todo n ∈ N.

Pregunta 37. Demostrar que 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + …..+ 1/n ² < 2 – 1/n para todo n > 2, n ∈ N.

Pregunta 38. Demuestra que x ^2n-1 + y ^2n-1 es divisible por x + y.

Pregunta 39. Demuestra que senx + sen3x + …+ sen(2n – 1)x = sen ² nx/senx es cierto para todo n ∈ N.

Pregunta 40. Demuestra que $cosα + cos(α +β) +cos(α +2β)+....+cos(α +(n-1)β)=\frac{(cos[α +(\frac{n-1}{2})β] sin(\frac{nβ}{2}))}{sin(\frac{β}{2})}$ es cierto para todo n ∈ N.

Pregunta 41. Demuestra que 1/(n+1) + 1/(n+2) +…..+ 1/2n > 13/24 para todos los números naturales, n > 1.

Pregunta 42. Dado un ₁ = 1/2(a ₀ + A/a ₀ ), un ₂ = 1/2(a ₁ + A/a ₁ ) y un _n+1 = 1/2(a _n + A/ a _n ), a, A > 0

Probar: $\frac{(a_n - √A)}{(a_n + √A)} = (\frac{ a_1 - √A}{a_1 + √A})^{2^{(n-1)}}$

Pregunta 43. Sea P(n) el enunciado: 2 ⁿ ≥ 3n. Si P(r) es verdadera, entonces demuestre que P(r + 1) es verdadera. ¿Concluye que P(n) es verdadera para todo n ∈ N?.

Pregunta 44. Demostrar por el principio de Inducción Matemática que la suma Sn de los n términos de la serie 1 2 ⁺ 2 × 2 ² + 3 ² + 2 × 4 ² + 5 ² + 2 × 6 ² + 7 ² +… es dada por

$S_n= \begin{cases} \frac{n(n+1)^2}{2}, if \ n \ is \ even, \\ \frac{n^2(n+1)}{2}, if \ n \ is \ odd \end{cases}$

Pregunta 45. Demostrar que el número de subconjuntos de un conjunto que contiene n elementos distintos es 2 ⁿ para todo n ∈ N.

Pregunta 46. Una sucesión a ₁ , a ₂ , a ₃ ,….. se define haciendo a ₁ = 3 y a _k = 7a _k-1 para todos los números naturales k ≥ 2. Demostrar que a _n = 3.7 ^{n- 1} para todo n ∈ N.

Pregunta 47. Una sucesión x ₁ , x ₂ , x ₃ ,….. se define haciendo x ₁ = 2 y x _k = x _k-1 /k para todos los números naturales k, k ≥ 2. Demostrar que x _n = 2/n! para todo n ∈ N.

Pregunta 48. Una secuencia x ₀ , x ₁ , x ₂ , x ₃ , ……. se define haciendo x ₀ = 5 y x _k = 4 + x _{k -1} para todo número natural k. Demuestre que x _n = 5 + 4 _n para todo n ∈ N usando inducción matemática.

Pregunta 49. Usando el principio de inducción matemática, demuestre que

√n < 1/√1 + 1/√2+ 1/√3 +…..+1/√n para todos los números naturales n ≥2.

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Pregunta 33. Demuestra que n 11 /11 + n 5 /5 + n 3 /3 – 62/165n es cierto para todo n ∈ N.

Pregunta 34. Demuestra que (1/2)tan(x/2) + (1/4)tan(x/4) +…..+ (1/2 n )tan(x/2 n ) = (1/ 2 n )cot(x/2 n ) – cotx para todo n ∈ N y 0< x < π/2.

Pregunta 35. Demuestre que (1 – 1/2 2 )(1 – 1/3 2 )(1 – 1/4 2 )……(1 – 1/n 2 ) = (n + 1)/2n es cierto para todo n ∈ N.

Pregunta 36. Demuestra que (2n)!/2 2n (n!) 2 ≤ 1/√(3n + 1) es cierto para todo n ∈ N.

Pregunta 37. Demostrar que 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + …..+ 1/n 2 < 2 – 1/n para todo n > 2, n ∈ N.

Pregunta 38. Demuestra que x 2n-1 + y 2n-1 es divisible por x + y.

Pregunta 39. Demuestra que senx + sen3x + …+ sen(2n – 1)x = sen 2 nx/senx es cierto para todo n ∈ N.

Pregunta 40. Demuestra que es cierto para todo n ∈ N.

Pregunta 41. Demuestra que 1/(n+1) + 1/(n+2) +…..+ 1/2n > 13/24 para todos los números naturales, n > 1.

Pregunta 42. Dado un 1 = 1/2(a 0 + A/a 0 ), un 2 = 1/2(a 1 + A/a 1 ) y un n+1 = 1/2(a n + A/ a n ), a, A > 0

Probar:

Pregunta 43. Sea P(n) el enunciado: 2 n ≥ 3n. Si P(r) es verdadera, entonces demuestre que P(r + 1) es verdadera. ¿Concluye que P(n) es verdadera para todo n ∈ N?.

Pregunta 44. Demostrar por el principio de Inducción Matemática que la suma Sn de los n términos de la serie 1 2 + 2 × 2 2 + 3 2 + 2 × 4 2 + 5 2 + 2 × 6 2 + 7 2 +… es dada por

Pregunta 45. Demostrar que el número de subconjuntos de un conjunto que contiene n elementos distintos es 2 n para todo n ∈ N.

Pregunta 46. Una sucesión a 1 , a 2 , a 3 ,….. se define haciendo a 1 = 3 y a k = 7a k-1 para todos los números naturales k ≥ 2. Demostrar que a n = 3.7 n- 1 para todo n ∈ N.

Pregunta 47. Una sucesión x 1 , x 2 , x 3 ,….. se define haciendo x 1 = 2 y x k = x k-1 /k para todos los números naturales k, k ≥ 2. Demostrar que x n = 2/n! para todo n ∈ N.

Pregunta 48. Una secuencia x 0 , x 1 , x 2 , x 3 , ……. se define haciendo x 0 = 5 y x k = 4 + x k -1 para todo número natural k. Demuestre que x n = 5 + 4 n para todo n ∈ N usando inducción matemática.

Pregunta 49. Usando el principio de inducción matemática, demuestre que

√n < 1/√1 + 1/√2+ 1/√3 +…..+1/√n para todos los números naturales n ≥2.

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Pregunta 33. Demuestra que n ¹¹ /11 + n ⁵ /5 + n ³ /3 – 62/165n es cierto para todo n ∈ N.

Pregunta 34. Demuestra que (1/2)tan(x/2) + (1/4)tan(x/4) +…..+ (1/2 ⁿ )tan(x/2 ⁿ ) = (1/ 2 ⁿ )cot(x/2 ⁿ ) – cotx para todo n ∈ N y 0< x < π/2.

Pregunta 35. Demuestre que (1 – 1/2 ² )(1 – 1/3 ² )(1 – 1/4 ² )……(1 – 1/n ² ) = (n + 1)/2n es cierto para todo n ∈ N.

Pregunta 36. Demuestra que (2n)!/2 ²ⁿ (n!) ² ≤ 1/√(3n + 1) es cierto para todo n ∈ N.

Pregunta 37. Demostrar que 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + …..+ 1/n ² < 2 – 1/n para todo n > 2, n ∈ N.

Pregunta 38. Demuestra que x ^2n-1 + y ^2n-1 es divisible por x + y.

Pregunta 39. Demuestra que senx + sen3x + …+ sen(2n – 1)x = sen ² nx/senx es cierto para todo n ∈ N.

Pregunta 40. Demuestra que $cosα + cos(α +β) +cos(α +2β)+....+cos(α +(n-1)β)=\frac{(cos[α +(\frac{n-1}{2})β] sin(\frac{nβ}{2}))}{sin(\frac{β}{2})}$ es cierto para todo n ∈ N.

Pregunta 42. Dado un ₁ = 1/2(a ₀ + A/a ₀ ), un ₂ = 1/2(a ₁ + A/a ₁ ) y un _n+1 = 1/2(a _n + A/ a _n ), a, A > 0

Probar: $\frac{(a_n - √A)}{(a_n + √A)} = (\frac{ a_1 - √A}{a_1 + √A})^{2^{(n-1)}}$

Pregunta 43. Sea P(n) el enunciado: 2 ⁿ ≥ 3n. Si P(r) es verdadera, entonces demuestre que P(r + 1) es verdadera. ¿Concluye que P(n) es verdadera para todo n ∈ N?.

Pregunta 44. Demostrar por el principio de Inducción Matemática que la suma Sn de los n términos de la serie 1 2 ⁺ 2 × 2 ² + 3 ² + 2 × 4 ² + 5 ² + 2 × 6 ² + 7 ² +… es dada por

Pregunta 45. Demostrar que el número de subconjuntos de un conjunto que contiene n elementos distintos es 2 ⁿ para todo n ∈ N.

Pregunta 46. Una sucesión a ₁ , a ₂ , a ₃ ,….. se define haciendo a ₁ = 3 y a _k = 7a _k-1 para todos los números naturales k ≥ 2. Demostrar que a _n = 3.7 ^{n- 1} para todo n ∈ N.

Pregunta 47. Una sucesión x ₁ , x ₂ , x ₃ ,….. se define haciendo x ₁ = 2 y x _k = x _k-1 /k para todos los números naturales k, k ≥ 2. Demostrar que x _n = 2/n! para todo n ∈ N.

Pregunta 48. Una secuencia x ₀ , x ₁ , x ₂ , x ₃ , ……. se define haciendo x ₀ = 5 y x _k = 4 + x _{k -1} para todo número natural k. Demuestre que x _n = 5 + 4 _n para todo n ∈ N usando inducción matemática.