Clase 11 Soluciones RD Sharma – Capítulo 12 Inducción matemática – Ejercicio 12.2 | Serie 1

Demostrar lo siguiente por el principio de inducción matemática:

Pregunta 1. 1 + 2 + 3 + … + n = n (n +1)/2 es decir, la suma de los primeros n números naturales es n (n + 1)/2.

Solución:

Sea, P (n) = 1 + 2 + 3 + ….. + n = n (n +1)/2.

Paso 1:

Ahora, comprobemos P(n) para n = 1.

Entonces, P (1) = 1 (1 + 1)/2 = 1.

Entonces, P(1) es verdadero.

Paso 2:

Consideremos que P (n) es la verdadera para n = k,

Entonces, 1 + 2 + 3 + …. + k = k (k + 1)/2 … (i)

Paso 3:

Ahora, tenemos que demostrar que P(k+1) es cierto.

(1 + 2 + 3 + … + k) + (k + 1) = k (k + 1)/2 + (k + 1)

= (k + 1) (k/2 + 1)

= [(k + 1) (k + 2)] / 2

= [(k + 1) [(k + 1) + 1]] / 2

Entonces, P (n) es cierto para n = k + 1

es decir, P (n) es cierto para todo n ∈ N 

Por lo tanto, por el principio de Inducción Matemática (PMI) P (n) es cierto para todo n ∈ N.

Pregunta 2. 1 2 + 2 2 + 3 2 + … + n 2 = [n (n + 1) (2n + 1)]/6

Solución:

Sea, P (n) = 1 2 + 2 2 + 3 2 + … + n 2 = [n (n + 1) (2n + 1)]/6

Paso 1:

Ahora, comprobemos P(n) para n = 1.

Entonces, P (1) = [1 (1 + 1) (2 + 1)]/6

o, 1 = 1.

Entonces, P(1) es verdadero.

Paso 2:

Consideremos que P (n) es la verdadera para n = k,

Entonces, 1 2 + 2 2 + 3 2 + … + k 2 = [k (k + 1) (2k + 1)]/6

Paso 3:

Ahora, tenemos que demostrar que P(k + 1) es cierto.

P (k) = 1 2 + 2 2 + 3 2 + …….. + k 2 + (k + 1) 2 = [k + 1 (k + 2) (2k + 3)] /6

= 1 2 + 2 2 + 3 2 + ……. + k 2 + (k + 1) 2

= [k + 1 (k + 2) (2k + 3)] /6 + (k + 1) 2

= (k +1) [(2k 2 + k)/6 + (k + 1)/1]

= (k +1) [2k 2 + k + 6k + 6]/6

= (k +1) [2k 2 + 7k + 6]/6

= (k +1) [2k 2 + 4k + 3k + 6]/6

= (k + 1) [2k (k + 2) + 3 (k + 2)]/6

= [(k +1) (2k + 3) (k + 2)] / 6

Entonces, P (n) es cierto para n = k + 1

es decir, P (n) es cierto para todo n ∈ N

Por lo tanto, por el principio de Inducción Matemática (PMI), P (n) es cierto para todo n ∈ N.

Pregunta 3. 1 + 3 + 3 2 + … + 3n – 1 = (3n – 1)/2

Solución:

Sea P (n) = 1 + 3 + 3 2 + ……. + 3n – 1 = (3n – 1)/2

Paso 1:

Ahora, comprobemos P(n) para n=1.

P (1) = 1 = (3(1) – 1)/2 = (3 – 1)/2 = 2/2 =1

Entonces, P(1) es verdadero.

Paso 2:

Consideremos que P (n) es la verdadera para n = k,

P(k) = 1 + 3 + 3 2 + ……. + 3k – 1 = (3k – 1)/2 … (yo)

Paso 3:

Ahora, tenemos que demostrar que P(k + 1) es cierto.

Después, 

{1 + 3 + 3 2 + ……. + 3k – 1} + 3k + 1 – 1

Usando la ecuación (i), obtenemos

= (3k – 1)/2 + 3k 

= (3k – 1 + 2 × 3k)/2

= (3 × 3k – 1)/2

= ( 3k + 1 – 1)/2

Entonces, P (n) es cierto para n = k + 1

es decir, P (n) es cierto para todo n ∈ N

Por lo tanto, por el principio de Inducción Matemática (PMI), P (n) es cierto para todo n ∈ N.

Pregunta 4. 1/1.2 + 1/2.3 + 1/3.4 + … + 1/n(n + 1) = n/(n + 1)

Solución:

Sea P (n) = 1/1.2 + 1/2.3 + 1/3.4 + … + 1/n(n + 1) = n/(n + 1)

Paso 1:

Ahora, comprobemos P(n) para n=1.

P (1) = 1/1,2 = 1/(1 + 1)

1/2 = 1/2

Entonces, P(1) es verdadero.

Paso 2:

Consideremos que P (n) es la verdadera para n = k,

P (k) = 1 /1,2 + 1/2,3 + 1/3,4 + … + 1/k(k + 1) + k/(k + 1) (k + 2) = (k + 1)/(k + 2) … (yo)

Paso 3:

Ahora, tenemos que demostrar que P(k + 1) es cierto.

Después,

1/1,2 + 1/2,3 + 1/3,4 + … + 1/k(k + 1) + k/(k + 1) (k + 2)

= 1/(k + 1)/(k + 2) + k/(k + 1)

= 1/(k + 1) [k(k + 2)+1]/(k + 2)

= 1/(k + 1) [k 2 + 2k + 1]/(k + 2)

=1/(k + 1) [(k + 1) (k + 1)]/(k + 2)

= (k + 1) / (k + 2)

Entonces, P (n) es cierto para n = k + 1

es decir, P (n) es cierto para todo n ∈ N

Por lo tanto, por el principio de Inducción Matemática (PMI), P (n) es cierto para todo n ∈ N.

Pregunta 5. 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n 2 es decir, la suma de los primeros n números naturales impares es n 2 .

Solución:

Sea P (n) = 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n 2

Paso 1:

Ahora, comprobemos P(n) para n=1.

P (1) = 1 = 1 2 = 1

Entonces, P(1) es verdadero.

Paso 2:

Consideremos que P (n) es la verdadera para n = k,

P (k) = 1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) = k 2  … (i)

Paso 3:

Ahora, tenemos que demostrar que P(k + 1) es cierto.

Entonces, 1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + 2(k + 1) – 1

= k2 + (2k + 1)

= k2 + 2k + 1

= (k + 1) 2

Entonces, P (n) es cierto para n = k + 1

es decir, P (n) es cierto para todo n ∈ N

Por lo tanto, por el principio de Inducción Matemática (PMI), P (n) es cierto para todo n ∈ N.

Pregunta 6. 1/2.5 + 1/5.8 + 1/8.11 + … + 1/(3n – 1) (3n + 2) = n/(6n + 4)

Solución:

Sea P (n) = 1/2,5 + 1/5,8 + 1/8,11 + … + 1/(3n – 1) (3n + 2) = n/(6n + 4)

Paso 1:

Ahora, comprobemos P(n) para n = 1.

P (1) = 1/2,5 = 1/(6,1 + 4)

o, 1/10 = 1/10

Entonces, P(1) es verdadero.

Paso 2:

Consideremos que P (n) es la verdadera para n = k,

P (k) = 1/2,5 + 1/5,8 + 1/8,11 + … + 1/(3k – 1) (3k + 2) = k/(6k + 4) … (i)

Paso 3:

Ahora, tenemos que demostrar que P(k+1) es cierto.

Entonces, 1/2,5 + 1/5,8 + 1/8,11 + … + 1/(3k – 1)(3k + 2) + 1/(3k + 3 – 1)(3k + 3 + 2)

= k/(6k + 4) + 1/(3k + 2)(3k + 5)

= [k(3k + 5) + 2] / [2(3k + 2)(3k + 5)]

= (k + 1) / (6(k + 1) + 4)

Entonces, P (n) es cierto para n = k + 1

es decir, P (n) es cierto para todo n ∈ N

Por lo tanto, por el principio de Inducción Matemática (PMI), P (n) es cierto para todo n ∈ N.

Pregunta 7. 1/1,4 + 1/4,7 + 1/7,10 + … + 1/(3n – 2)(3n + 1) = n/3n + 1

Solución:

Sea P (n) = 1/1,4 + 1/4,7 + 1/7,10 + … + 1/(3n – 2)(3n + 1) = n/3n + 1

Paso 1:

Ahora, comprobemos P(n) para n = 1.

P (1) = 1/1,4 = 1/4

O, 1/4 = 1/4

Entonces, P(1) es verdadero.

Paso 2:

Consideremos que P (n) es la verdadera para n = k,

P (k) = 1/1,4 + 1/4,7 + 1/7,10 + … + 1/(3k – 2)(3k + 1) = k/3k + 1 … (i)

Paso 3:

Ahora, tenemos que demostrar que P(k+1) es cierto.

Entonces, [1/1,4 + 1/4,7 + 1/7,10 + … + 1/(3k – 2)(3k + 1)] + 1/(3k + 1)(3k + 4)

= k/(3k + 1) + 1/(3k + 1)(3k + 4)

= 1/(3k + 1) [k/1 + 1/(3k + 4)]

= 1/(3k + 1) [k(3k + 4) + 1]/(3k + 4)

= 1/(3k + 1) [3k 2 + 4k + 1]/ (3k + 4)

= 1/(3k + 1) [3k 2 + 3k + k + 1]/(3k + 4)

= [3k(k + 1) + (k + 1)] / [(3k + 4) (3k + 1)]

= [(3k + 1)(k + 1)] / [(3k + 4) (3k + 1)]

= (k + 1) / (3k + 4)

Entonces, P (n) es cierto para n = k + 1

es decir, P (n) es cierto para todo n ∈ N

Por lo tanto, por el principio de Inducción Matemática (PMI), P (n) es cierto para todo n ∈ N.

Pregunta 8. 1/3,5 + 1/5,7 + 1/7,9 + … + 1/(2n + 1)(2n + 3) = n/3(2n + 3)

Solución:

Sea P (n) = 1/3,5 + 1/5,7 + 1/7,9 + … + 1/(2n + 1)(2n + 3) = n/3(2n + 3)

Paso 1:

Ahora, comprobemos P(n) para n = 1.

P(1) = 1/3,5 = 1/3(2,1 + 3)

o, 1/15 = 1/15

Entonces, P(1) es verdadero.

Paso 2:

Consideremos que P (n) es la verdadera para n = k,

P(k) = 1/3,5 + 1/5,7 + 1/7,9 + … + 1/(2k + 1)(2k + 3) = k/3(2k + 3) … (i)

Paso 3:

Ahora, tenemos que demostrar que P(k + 1) es cierto.

Entonces, 1/3,5 + 1/5,7 + 1/7,9 + … + 1/(2k + 1)(2k + 3) + 1/[2(k + 1) + 1][2(k + 1) + 3 ]

1/3,5 + 1/5,7 + 1/7,9 + … + 1/(2k + 1)(2k + 3) + 1/(2k + 3)(2k + 5)

Ahora poniendo el valor de (i), obtenemos,

= k/3(2k + 3) + 1/(2k + 3)(2k + 5)

= [k(2k + 5) + 3] / [3(2k + 3)(2k + 5)]

= (k + 1) / [3(2(k + 1) + 3)]

Entonces, P (n) es cierto para n = k + 1

es decir, P (n) es cierto para todo n ∈ N

Por lo tanto, por el principio de Inducción Matemática (PMI), P (n) es cierto para todo n ∈ N.

Pregunta 9. 1/3.7 + 1/7.11 + 1/11.15 + … + 1/(4n – 1)(4n + 3) = n/3(4n + 3)

Solución:

Sea P (n) = 1/3,7 + 1/7,11 + 1/11,15 + … + 1/(4n – 1)(4n + 3) = n/3(4n + 3)

Paso 1:

Ahora, comprobemos P(n) para n = 1.

PAG (1) = 1/(3.7) = 1/((4.1 – 1)(4 + 3))

O, 1/21 = 1/21

Entonces, P(1) es verdadero.

Paso 2:

Consideremos que P (n) es la verdadera para n = k,

P (k) = 1/3,7 + 1/7,11 + 1/11,15 + … + 1/(4k – 1)(4k + 3) = k/3(4k + 3) … (i)

Paso 3:

Ahora, tenemos que demostrar que P(k + 1) es cierto.

Entonces, 1/3,7 + 1/7,11 + 1/11,15 + … + 1/(4k – 1)(4k + 3) + 1/(4k + 3)(4k + 7)

Ahora poniendo el valor de (i), obtenemos,

= k/(4k + 3) + 1/(4k + 3)(4k + 7)

= 1/(4k + 3) [k(4k + 7) + 3] / [3(4k + 7)]

= 1/(4k + 3) [4k 2 + 7k + 3]/ [3(4k + 7)]

= 1/(4k + 3) [4k 2 + 3k + 4k + 3] / [3(4k + 7)]

= 1/(4k + 3) [4k(k + 1) + 3(k + 1)]/ [3(4k + 7)]

= 1/(4k + 3) [(4k + 3)(k + 1)] / [3(4k + 7)]

= (k + 1) / [3(4k + 7)]

Entonces, P (n) es cierto para n = k + 1

es decir, P (n) es cierto para todo n ∈ N

Por lo tanto, por el principio de Inducción Matemática (PMI), P (n) es cierto para todo n ∈ N.

Pregunta 10. 1.2 + 2.2 2 + 3.2 3 + … + n.2 n = (n – 1) 2 n+1 + 2

Solución:

Sea P (n) = 1.2 + 2.2 2 + 3.2 3 + … + n.2 n = (n – 1) 2 n+1 + 2

Paso 1:

Ahora, comprobemos P(n) para n = 1.

P (1) = 1,2 = 0,2 0 + 2

o, 2 = 2

Entonces, P(1) es verdadero.

Paso 2:

Consideremos que P (n) es la verdadera para n = k,

P (k) =1.2 + 2.2 2 + 3.2 3 + … + k.2 k = (k – 1) 2 k+1 + 2 … (i)

Paso 3:

Ahora, tenemos que demostrar que P(k+1) es cierto.

Entonces, [1.2 + 2.2 2 + 3.2 3 + … + k.2 k ] + (k + 1)2k + 1

Ahora, poniendo el valor de (i), obtenemos,

= [(k – 1)2 k+1 + 2] + (k + 1)2 k+1 

= (k – 1)2 k+1 + 2 + (k + 1)2 k+1

= 2 k+1 (k – 1 + k + 1) + 2

= 2k+ 1 × 2k + 2

= k.2 k+2 + 2

Entonces, P (n) es cierto para n = k + 1

es decir, P (n) es cierto para todo n ∈ N

Por lo tanto, por el principio de Inducción Matemática (PMI), P (n) es cierto para todo n ∈ N.

Pregunta 11. 2 + 5 + 8 + 11 + … + (3n – 1) = 1/2 n (3n + 1)

Solución:

Sea P (n) = 2 + 5 + 8 + 11 + … + (3n – 1) = 1/2 n (3n + 1)

Paso 1:

Ahora, comprobemos P(n) para n = 1.

P (1) = 2 = 1/2 × 1 × 4

o, 2 = 2

Entonces, P(1) es verdadero.

Paso 2:

Consideremos que P (n) es la verdadera para n = k,

P (k) = 2 + 5 + 8 + 11 + … + (3k – 1) = 1/2 k (3k + 1) … (i)

Paso 3:

Ahora, tenemos que demostrar que P(k+1) es cierto.

Entonces, 2 + 5 + 8 + 11 + … + (3k – 1) + (3k + 2)

Ahora, poniendo el valor (i), obtenemos,

= 1/2 × k (3k + 1) + (3k + 2) (usando la ecuación (i))

= [3k 2 + k + 2 (3k + 2)] / 2

= [3k 2 + k + 6k + 2] / 2

= [3k 2 + 7k + 2] / 2

= [3k 2 + 4k + 3k + 2] / 2

= [3k (k + 1) + 4 (k + 1)] / 2

= [(k + 1) (3k + 4)] /2

Entonces, P (n) es cierto para n = k + 1

es decir, P (n) es cierto para todo n ∈ N

Por lo tanto, por el principio de Inducción Matemática (PMI), P (n) es cierto para todo n ∈ N.

Pregunta 12. 1.3 + 2.4 + 3.5 + … + n. (n + 2) = 1/6 norte (n + 1) (2n + 7)

Solución:

Sea P (n) = 1.3 + 2.4 + 3.5 + … + n. (n + 2) = 1/6 norte (n + 1) (2n + 7)

Paso 1:

Ahora, comprobemos P(n) para n=1.

P (1) = 1,3 = 1/6 × 1 × 2 × 9

O, 3 = 3

Entonces, P(1) es verdadero.

Paso 2:

Consideremos que P (n) es la verdadera para n = k,

P(k) = 1,3 + 2,4 + 3,5 + … + k. (k + 2) = 1/6 k (k + 1) (2k + 7) … (yo)

Paso 3:

Ahora, tenemos que demostrar que P(k+1) es cierto.

Entonces, 1.3 + 2.4 + 3.5 + … + k. (k + 2) + (k + 1) (k + 3)

Ahora, poniendo el valor (i), obtenemos,

= 1/6 k (k + 1) (2k + 7) + (k + 1) (k + 3) (usando la ecuación (i))

= (k + 1) [{k(2k + 7)/6} + {(k + 3)/1}]

= (k + 1) [(2k 2 + 7k + 6k + 18)] / 6

= (k + 1) [2k 2 + 13k + 18] / 6

= (k + 1) [2k 2 + 9k + 4k + 18] / 6

= (k + 1) [2k(k + 2) + 9(k + 2)] / 6

= (k + 1) [(2k + 9) (k + 2)] / 6

= 1/6 (k + 1) (k + 2) (2k + 9)

Entonces, P (n) es cierto para n = k + 1

es decir, P (n) es cierto para todo n ∈ N

Por lo tanto, por el principio de Inducción Matemática (PMI), P (n) es cierto para todo n ∈ N.

Pregunta 13. 1.3 + 3.5 + 5.7 + … + (2n – 1) (2n + 1) = n(4n 2 + 6n – 1)/3

Solución:

Sea P (n) = 1.3 + 3.5 + 5.7 + … + (2n – 1) (2n + 1) = n(4n 2 + 6n – 1)/3

Paso 1:

Ahora, comprobemos P(n) para n = 1.

P (1) = : (2.1 – 1) (2.1 + 1) = 1(4.1 2 + 6.1 – 1)/3

o, 1 × 3 = 1(4 + 6 – 1)/3

o, 3 = 3

Entonces, P(1) es verdadero.

Paso 2:

Consideremos que P (n) es la verdadera para n = k,

P (k) = 1,3 + 3,5 + 5,7 + … + (2k – 1) (2k + 1) = k(4k 2 + 6k – 1)/3 … (i)

Paso 3:

Ahora, tenemos que demostrar que P(k+1) es cierto.

Entonces, 1.3 + 3.5 + 5.7 + … + (2k – 1) (2k + 1) + (2k + 1) (2k + 3)

Ahora, poniendo el valor (i), obtenemos,

= k(4k 2 + 6k – 1)/3 + (2k + 1) (2k + 3) (usando la ecuación (i))

= [k(4k 2 + 6k-1) + 3 (4k 2 + 6k + 2k + 3)] / 3

= [4k 3 + 6k 2 – k + 12k 2 + 18k + 6k + 9] /3

= [4k 3 + 18k 2 + 23k + 9] /3

= [4k 3 + 4k 2 + 14k 2 + 14k + 9k + 9] /3

= [(k + 1) (4k 2 + 8k +4 + 6k + 6 – 1)] / 3

= [(k + 1) 4[(k + 1) 2 + 6(k + 1) -1]] /3

Entonces, P (n) es cierto para n = k + 1

es decir, P (n) es cierto para todo n ∈ N

Por lo tanto, por el principio de Inducción Matemática (PMI), P (n) es cierto para todo n ∈ N.

Pregunta 14. 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n(n + 1) = [n (n + 1) (n + 2)] / 3

Solución:

Sea P (n) = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n(n + 1) = [n (n + 1) (n + 2)] / 3

Paso 1:

Ahora, comprobemos P(n) para n = 1.

PAG (1) = 1(1 + 1) = [1(1 + 1) (1 + 2)] /3

o, 2 = 2

Entonces, P(1) es verdadero.

Paso 2:

Consideremos que P (n) es la verdadera para n = k,

P (k) = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + k(k+1) = [k (k + 1) (k + 2)] / 3 … (i)

Paso 3:

Ahora, tenemos que demostrar que P(k + 1) es cierto.

Entonces, 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + k(k + 1) + (k + 1) (k + 2)

Ahora, poniendo el valor (i), obtenemos,

= [k (k + 1) (k + 2)] / 3 + (k + 1) (k + 2) 

= (k + 2) (k + 1) [k/2 + 1]

= [(k + 1) (k + 2) (k + 3)] /3

Entonces, P (n) es cierto para n = k + 1

es decir, P (n) es cierto para todo n ∈ N

Por lo tanto, por el principio de Inducción Matemática (PMI), P (n) es cierto para todo n ∈ N.

Pregunta 15. 1/2 + 1/4 + 1/8 + … + 1/2 n = 1 – 1/2 n

Solución:

Sea P (n) = 1/2 + 1/4 + 1/8 + … + 1/2 n = 1 – 1/2 n

Paso 1:

Ahora, comprobemos P(n) para n=1.

P (1) = 1/2 1 = 1 – 1/2 1

o, 1/2 = 1/2

Entonces, P(1) es verdadero.

Paso 2:

Consideremos que P (n) es la verdadera para n = k,

P (k) = : 1/2 + 1/4 + 1/8 + … + 1/2 k = 1 – 1/2 k    … (i)

Paso 3:

Ahora, tenemos que demostrar que P(k+1) es cierto.

Entonces, 1/2 + 1/4 + 1/8 + … + 1/2 k + 1/2 k+1

Ahora, poniendo el valor (i), obtenemos,

= 1 – 1/2 k + 1/2 k+1   (usando la ecuación (i))

= 1 – ((2 – 1)/ 2k+1 )

Entonces, P (n) es cierto para n = k + 1

es decir, P (n) es cierto para todo n ∈ N

Por lo tanto, por el principio de Inducción Matemática (PMI), P (n) es cierto para todo n ∈ N.

Pregunta 16. 1 2 + 3 2 + 5 2 + … + (2n – 1) 2 = 1/3 n (4n 2 – 1)

Solución:

Sea P (n) = 1 2 + 3 2 + 5 2 + … + (2n – 1) 2 = 1/3 n (4n 2 – 1)

Paso 1:

Ahora, comprobemos P(n) para n=1.

P (1) = (2.1 – 1) 2 = 1/3 × 1 × (4 – 1)

o, 1 = 1

Entonces, P(1) es verdadero.

Paso 2:

Consideremos que P (n) es la verdadera para n = k,

P (k) = 1 2 + 3 2 + 5 2 + … + (2k – 1) 2 = 1/3 k (4k 2 – 1) … (i)

Paso 3:

Ahora, tenemos que demostrar que P(k+1) es cierto.

Entonces, 1 2 + 3 2 + 5 2 + … + (2k – 1) 2 + (2k + 1) 2

Ahora, poniendo el valor (i), obtenemos,

O, 1/3 k (4k 2 – 1) + (2k + 1) 2                         (usando eq(i))

= 1/3k (2k + 1) (2k – 1) + (2k + 1) 2

= (2k + 1) [{k(2k – 1)/3} + (2k + 1)]

= (2k + 1) [2k 2 – k + 3(2k + 1)] / 3

= (2k + 1) [2k 2 – k + 6k + 3] / 3

= [(2k + 1) 2k 2 + 5k + 3] /3

= [(2k + 1) (2k(k + 1)) + 3 (k + 1)] /3

= [(2k + 1) (2k + 3) (k + 1)] /3

= (k + 1)/3 [4k 2 + 6k + 2k + 3]

= (k + 1)/3 [4k 2 + 8k – 1]

= (k + 1)/3 [4(k + 1) 2 – 1]

Entonces, P (n) es cierto para n = k + 1

es decir, P (n) es cierto para todo n ∈ N

Por lo tanto, por el principio de Inducción Matemática (PMI), P (n) es cierto para todo n ∈ N.

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por manjeetks007 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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