Clase 11 Soluciones RD Sharma – Capítulo 15 Inecuaciones lineales – Ejercicio 15.4

Pregunta 1: Encuentre todos los pares de enteros positivos impares consecutivos, los cuales son menores que 10, de modo que su suma sea mayor que 11.

Solución:

Sean x y x + 2 los dos enteros positivos impares consecutivos.

Dado que los enteros son menores que 10 y su suma es mayor que 11.

Por lo tanto,

x + 2 < 10 y x + (x + 2) > 11

x < 10 – 2 y 2x + 2 > 11

x < 8 y 2x > 11 – 2

x < 8 y 2x > 9

x < 8 y x > 9/2

9/2 < x < 8

Por lo tanto, los dos enteros positivos impares consecutivos son x = 5, 7

Los pares de enteros impares consecutivos son

Sea x = 5, entonces (x + 2) = (5 + 2) = 7.

Sea x = 7, entonces (x + 2) = (7 + 2) = 9.

Por lo tanto, los pares requeridos de enteros impares son (5, 7) y (7, 9).

Pregunta 2: Encuentre todos los pares de números naturales impares consecutivos, los cuales son mayores que 10, de modo que su suma sea menor que 40.

Solución:

Sean x y x + 2 los dos enteros positivos impares consecutivos.

Dado que tanto los números naturales impares son mayores que 10 como su suma es menor que 40.

Por lo tanto,

x > 10 y x + x + 2 < 40

x > 10 y 2x < 38

x > 10 y x < 38/2

x > 10 y x < 19

10 < x < 19

Por lo tanto, los dos enteros positivos impares consecutivos son x = 11, 13, 15, 17

Los pares de enteros impares consecutivos son

Sea x = 11, entonces (x + 2) = (11 + 2) = 13

Sea x = 13, entonces (x + 2) = (13 + 2) = 15

Sea x = 15, entonces (x + 2) = (15 + 2) = 17

Sea x = 17, entonces (x + 2) = (17 + 2) = 19.

Por lo tanto, los pares requeridos de números naturales impares son (11, 13), (13, 15), (15, 17) y (17, 19)

Pregunta 3: Encuentre todos los pares de enteros positivos pares consecutivos, los cuales son mayores que 5, de modo que su suma sea menor que 23.

Solución:

Sean x y x + 2 los dos enteros pares positivos consecutivos.

Dado que tanto los enteros pares son mayores que 5 como su suma es menor que 23.

Por lo tanto,

x > 5 y x + x + 2 < 23

x > 5 y 2x < 21

x > 5 y x < 21/2

5 < x < 21/2

5 < x < 10,5

Por lo tanto, los enteros positivos pares consecutivos son x = 6, 8, 10

Los pares de enteros pares consecutivos son

Sea x = 6, entonces (x + 2) = (6 + 2) = 8

Sea x = 8, entonces (x + 2) = (8 + 2) = 10

Sea x = 10, entonces (x + 2) = (10 + 2) = 12.

Por lo tanto, los pares necesarios de enteros positivos son (6, 8), (8, 10) y (10, 12)

Pregunta 4. Las calificaciones obtenidas por Rohit en dos pruebas fueron 65 y 70. Encuentra las calificaciones mínimas que debe obtener en la tercera prueba para tener un promedio de al menos 65 calificaciones.

Solución:

Dado: las calificaciones obtenidas por Rohit en dos pruebas son 65 y 70.

Sean x las marcas obtenidas por Rohit en la tercera prueba.

La nota media en los tres trabajos ≥ 65 

Promedio = (puntos en los primeros dos trabajos + puntos en el tercer examen)/3

(65 + 70 + x)/3 ≥ 65

(135 + x)/3 ≥ 65

(135 + x) ≥ 65 × 3

(135 + x) ≥ 195

x ≥ 195 – 135

x ≥ 60

Ya que, la puntuación mínima para sacar una media de 65 puntos es 60.

Por tanto, la nota mínima exigida en la tercera prueba es de 60. 

Pregunta 5: Una solución debe mantenerse entre 86° y 95°F. ¿Cuál es el rango de temperatura en grados Celsius, si la fórmula de conversión Celsius (C)/Fahrenheit (F) está dada por F = 9/5C+ 32?

Solución:

Consideremos F 1 = 86° F y F 2 = 95°

Dado, F = 9/5C+ 32

F 1 = 9/5 C 1 + 32

F 1 – 32 = 9/5 C 1

C 1 = 5/9 (F 1 – 32)

C1 = 5/9 (86 – 32 )

C1 = 5/9 (54 )

C1 = 5 × 6

C1 = 30° C

Ahora,

F 2 = 9/5 C 2 + 32

F 2 – 32 = 9/5 C 2

DO 2 = 5/9 (F 2 – 32)

C2 = 5/9 (95 – 32)

C2 = 5/9 (63)

C2 = 5 × 7

C2 = 35°C

Por lo tanto, el rango de temperatura de la solución es de 30°C y 35°C.

Pregunta 6: Una solución debe mantenerse entre 30°C y 35°C. ¿Cuál es el rango de temperatura en grados Fahrenheit?

Solución:

Consideremos C 1 = 30°C y C 2 = 35°C

Sabemos, F = 9/5C+ 32

F 1 = 9/5 C 1 + 32

= 9/5 × 30 + 32

= 9 × 6 + 32

= 54 + 32

= 86°F

Ahora,

F 2 = 9/5 C 2 + 32

= 9/5 × 35 + 32

= 9 × 7 + 32

= 63 + 32

= 95°F

Por lo tanto, el rango de temperatura de la solución es 86°F y 95°F.

Pregunta 7: Para recibir la calificación ‘A’ en un curso, se debe obtener un promedio de 90 puntos o más en cinco trabajos de 100 puntos cada uno. Si Shikha obtuvo 87, 95, 92 y 94 puntos en los primeros cuatro exámenes, los puntos mínimos que debe obtener en el último examen para obtener la calificación ‘A’ en el curso.

Solución:

Dado: las calificaciones obtenidas por Shikha en los primeros cuatro exámenes son 87, 95, 92 y 94.

Sean x las marcas obtenidas por Shikha en la quinta prueba.

Las notas medias en los cinco trabajos ≥ 90

Promedio = (puntos en los primeros cuatro trabajos + puntos en el quinto examen)/5

(87 + 95 + 92 + 94 + x)/5 ≥ 90

182 + 186 + x ≥ 90 × 5

368 + x ≥ 450

x ≥ 450 – 368

x ≥ 82

Ya que, la puntuación mínima para obtener una media de 0 puntos es 82.

Por tanto, la nota mínima exigida en la quinta prueba es de 82. 

Pregunta 8: Una empresa fabrica casetes y sus funciones de costo e ingresos para una semana son C = 300 + (3/2)x y R = 2x respectivamente, donde x es el número de casetes producidos y sólidos en una rueda. ¿Cuántos casetes se deben vender para que la empresa obtenga una utilidad?

Solución:

Dado: Costo = 300 + (3/2)x e Ingresos = 2x

Como ganancia = Ingresos – Costo

Por lo tanto, para obtener una ganancia, el ingreso debe ser mayor que el costo.

Ingresos > Costo

2x > 300 + (3/2)x

2x – (3/2)x > 300

(4x – 3x) > 600

X > 600

Por lo tanto, el fabricante debe vender más de 600 casetes para obtener ganancias.

Pregunta 9: El lado más largo de un triángulo es tres veces el lado más corto y el tercer lado es 2 cm más corto que el lado más largo si el perímetro de los triángulos es de al menos 61 cm. Encuentra la longitud mínima del lado más corto.

Solución:

Sea x la longitud del lado más corto.

Dado, el lado más largo de un triángulo es tres veces el lado más corto = 3x

y el tercer lado mide 2 cm menos que el lado más largo = 3x – 2

También dado que el perímetro del triángulo ≥ 61

Por lo tanto,

x + 3x – 2 + 3x ≥ 61

7x ≥ 61 + 2

7x ≥ 63

x ≥ 63/7

X ≥ 9

Por lo tanto, la longitud mínima del lado más corto es de 9 cm.

Pregunta 10: ¿Cuántos litros de agua habrá que agregar a 1125 litros de la solución de ácido al 45% para que la mezcla resultante contenga más del 25% pero menos del 30% de contenido de ácido?

Solución:

Sea x la cantidad de agua a añadir en litros

Por lo tanto,

25% de (1125 + x) < 45% de 1125

25/100(1125 + x) < 45/100 1125

1125 + x < (45 × 1125)/25

1125 + x < 45 × 45

1125 + x < 2025

x < 2025 – 1125

x < 900 ……. (1)

También dado que 45% de 1125 < 30% de (1125 + x)

Por lo tanto,

45/100 × 1125 < 30/100 (1125 + x)

45/30 × 1125 < 1125 + x

3/2 × 1125 < 1125 + x

1687.5 < 1125 + x

1687.5 – 1125 <x

562.5 < x ……. (2)

Ahora, usando la ecuación 1 y 2, obtenemos

562,5 < x < 900

Por tanto, la cantidad de agua a añadir estará entre 562,5 litros y 900 litros.

Pregunta 11: Una solución de ácido bórico al 8 % se diluye agregándole una solución de ácido bórico al 2 %. La mezcla resultante debe tener más del 4% pero menos del 6% de ácido bórico. Si hay 640 litros de solución al 8%, ¿cuántos litros de solución al 2% habrá que agregar?

Solución: 

Sea x la solución al 2% a 640 litros de la solución al 8%.

Por tanto, la cantidad total de mezcla = (640 + x)

El ácido total en (640 + x) litros de mezcla es 

(2/100)x + (8/100)640

Teniendo en cuenta que la mezcla resultante debe ser superior al 4% e inferior al 6%.

4/100(640 + x) < (2x/100 + (8 ×640)/100 < 6/100(640 + x)

4(640 + x) < (2x + 8640) < 6(640 + x)

2560 + 4x < 2x + 8640 y 2x + 8640 < 3840 + 6x

2560 – 8640 < 2x – 4x y 2x – 6x < 3840 – 8640

x < 1280 y x > 320

Por lo tanto, se agregarán más de 320 litros pero menos de 1280 litros del 2%.

Pregunta 12: La acidez del agua de una piscina se considera normal cuando la lectura media de pH de tres mediciones diarias está entre 7,2 y 7,8. Si las dos primeras lecturas de pH son 7.48 y 7.85, encuentre el rango del valor de pH para la tercera lectura que resultará en que el nivel de acidez sea normal.

Solución:

Sea x el valor de pH de la tercera lectura.

Por lo tanto,

7,2 < (7,48 + 7,85 + x)/3 < 7,8

21,6 < 7,48 + 7,85 + x < 23,4

21,6 < 15,33 + x < 23,4

21,6 – 15,33 < x y x < 23,4 – 15,33

6,27 < x y x < 8,07

Por lo tanto, el rango de valores de pH para la tercera lectura se encuentra entre 6,27 y 8,07.

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por Mandeep_Sheoran y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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